若点f(2,-3)为该抛物线上的另一定点,先判断平行四边形与梯形aefd是否为梯形

如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(3,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连接DA,DF.设运动时间为t秒.
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.
①求S关于t的函数关系式;②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2时,求m的取值范围(写出答案即可).
(1)过点B作BM⊥x轴于点M,在Rt△ABM中求tan∠BAM,得出∠BAM的度数,利用BC∥OA求解;
(2)当AB∥DF时,∠CFD=∠CBA=30°,在Rt△CDF,Rt△BEF中,解直角三角形求CF,BF,根据CF+BF=BC,列方程求解;
(3)①由D、E两点坐标可知DE∥x轴,根据S=S△DEF+S△DEA,利用三角形面积公式列函数式;
②将①中的关系式代入S<中求t的取值范围,将E(+t,t)代入抛物线y=x2+mx中,求m、t的关系式,代入t的取值范围求m的取值范围.
解:(1)过点B作BM⊥x轴于点M,
∵C(0,2),B(3,2),
∴BC∥OA,
∵BM=2,AM=2,
∴tan∠BAM=,
∴∠ABC=∠BAM=30°.
(2)∵AB∥DF,
∴∠CFD=∠CBA=30°,
在Rt△DCF中,CD=2-t,∠CFD=30°,
∴CF=(2-t),
∴BE=4-2t,∠FBE=30°,
∴(2-t)+=3,
(3)①过点EG⊥x轴于点G,
∵∠EAG=30°,AE=2t,
∴EG=AE=t,OG=+t
∴E(+t,t)
S=S△DEF+S△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC
=×(t+)×2=t+.
②当S<2时,t+<2
∵0<t<1, 下载
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下载文档:初三数学2.DOC第27章《二次函数》常考题集(21):27.3 实践与探索
解答题1.如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;(3)连接OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.2.阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x=1,顶点是M.(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设直线y=-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说明理由;(4)当E是直线y=-x+3上任意一点时,(3)中的结论是否成立(请直接写出结论).4.如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(3,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连接DA、DF.设运动时间为t秒.(1)求∠ABC的度数;(2)当t为何值时,AB∥DF;(3)设四边形AEFD的面积为S.①求S关于t的函数关系式;②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2时,求m的取值范围(写出答案即可).6.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长;(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.7.如左图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.(4)如图,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.8.如图,已知直线y=-x+1交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E.(1)请直接写出点C,D的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.9.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号).10.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大,并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.11.矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,-3),直线y=-x与BC边相交于D点.(1)求点D的坐标;(2)若抛物线y=ax2-x经过点A,试确定此抛物线的表达式;(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.12.如图,已知抛物线y=a(x-1)2+3(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连接BC.(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形,直角梯形,等腰梯形?(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.13.如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.(1)求P点坐标及a的值;(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.14.如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;(4)在第(3)问的条件下,二次函数在第一象限的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:S1=S?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.15.已知抛物线y=ax2-x+c经过点Q(-2,),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、B两点,如图.(1)求抛物线的解析式;(2)求A、B两点的坐标;(3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.16.如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标.17.已知:如图,直线l:y=x+b,经过点M(0,),一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…,Bn(n,yn)(n为正整数)依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…An+1(xn+1,0),设x1=d(0<d<1).(1)求b的值;(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示);(3)定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.探究:当d(0<d<1)的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求出相应的d的值.18.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.19.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.20.如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A=>B=>C=>D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;(2)求正方形边长及顶点C的坐标;(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A=>B=>C=>D匀速运动时,OP与PQ能否相等?若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.21.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.22.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.23.如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.(1)求点A与点C的坐标;(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.24.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.25.已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2)(1)求这条抛物线的函数表达式;(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标;(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.26.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.27.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t=2时,AP=1,点Q到AC的距离是;(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;(4)当DE经过点C时,请直接写出t的值.28.如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.29.已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的解析式;(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.30.已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.1.设集合M={x|x<2014},N={x|0<x<1},则下列关系中正确的是(  )A.M∪N=RB.M∩N={x|0<x<1}C.N∈MD.M∩N=?☆☆☆☆☆2.已知命题p:?x∈R,使sinx<x成立.&则?p为(  )A.?x∈R,使sinx=x成立B.?x∈R,sinx<x均成立C.?x∈R,使sinx≥x成立D.?x∈R,sin≥x均成立☆☆☆☆☆3.若函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω的值是(  )A.B.C.D.★★★★★4.在函数y=f(x)的图象上有点列{xn,yn},若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析式可能为(  )A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2C.f(x)=log3xD.f(x)=x★★★★★5.已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点,则(  )A.最大值为8B.是定值6C.最小值为2D.是定值2★★★★★6.按图所示的程序框图运算:若输出k=2,则输入x的取值范围是(  )A.(20,25]B.(30,32]C.(28,57]D.(30,57]☆☆☆☆☆7.当实数x,y满足不等式时,恒有ax+y≤2成立,则实数a的取值集合是(  )A.(0,1]B.(-∞,1]C.(-1,1]D.(1,2)☆☆☆☆☆8.已知点F是双曲线2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(1,2)C.(1,1+)D.(2,1+)★★★★★9.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是(  )A.[1,+∞)B.[1,)C.[1,2)D.[,2)☆☆☆☆☆10.在等腰梯形ABCD中,E,F分别是底边AB,CD的中点,把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为α,P∈α,设PB,PC与α所成的角分别为θ1,θ2(θ1,θ2均不等于零).若θ1=θ2,则点P的轨迹为(  )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线★☆☆☆☆二、填空题:本大题共7小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.已知m∈R,复数的实部和虚部相等,则m=.★★☆☆☆12.已知向量=(2,3),=(-2,1),则在方向上的投影等于
55-.★★☆☆☆13.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是(1,+∞).★★★★★14.如图茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.★★★★★15.过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|1.☆☆☆☆☆16.路灯距地平面为8m,一个身高为1.75m的人以m/s的速率,从路灯在地面上的射影点C处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率v为m/s.&17.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数.如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.已经证明:若2n-1是质数,则2n-1(2n-1)是完全数,n∈N*.请写出一个四位完全数8128;又6=2×3,所以6的所有正约数之和可表示为(1+2)o(1+3);28=22×7,所以28的所有正约数之和可表示为(1+2+22)o(1+7);按此规律,请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为(1+2+22+23+24+25+26)o(1+127).(请参照6与28的形式给出)☆☆☆☆☆三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC中,若f()=2,b=1,c=2,求a的值.★☆☆☆☆19.一个四棱锥的三视图和直观图如图所示,E为侧棱PD的中点.(1)求证:PB∥平面AEC;(2)若F为侧棱PA上的一点,且,则λ为何值时,PA⊥平面BDF?并求此时几何体F-BDC的体积.★☆☆☆☆20.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=anolog12an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+no2n+1>50成立的正整数n的最小值.★★★★★21.已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=xex.(Ⅰ)求f(x)-g(x)的极值;(Ⅱ)当x∈(-2,0)时,f(x)+1≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.☆☆☆☆☆22.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:2a2+y2b2=1,(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;(Ⅱ)过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知1AF,&NB&=λ2BF,求证:λ1+λ2为定值.(Ⅲ)直线l交椭圆C2于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′,,若点S满足:,证明:点S在椭圆C2上.★★★☆☆下载本试卷需要登录,并付出相应的优点。所需优点:普通用户5个,VIP用户4个推荐试卷
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2009中考压轴题精选(二)
1.(重庆市) 已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由已知,得,,



设过点的抛物线的解析式为.
将点的坐标代入,得.
将和点的坐标分别代入,得
解这个方程组,得
故抛物线的解析式为.
(2)成立.
点在该抛物线上,且它的横坐标为,
点的纵坐标为.
设的解析式为,
将点的坐标分别代入,得
解得
的解析式为.
过点作于点,
则.


又,




(3)点在上,,,则设.
,,.
①若,则,
解得.,此时点与点重合.

②若,则,
解得 ,,此时轴.
与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1,
点的纵坐标为.

③若,则,
解得,,此时,是等腰直角三角形.
过点作轴于点,
则,设,


解得(舍去).

综上所述,存在三个满足条件的点,
即或或.
2.(长沙市)
如图,二次函数()的图象与轴交于两点,与轴相交于点.连结两点的坐标分别为、,且当和时二次函数的函数值相等.
(1)求实数的值;
(2)若点同时从点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为秒时,连结,将沿翻折,点恰好落在边上的处,求的值及点的坐标;
(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点,使得以为项点的三角形与相似?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
3. (北京市) 如图,在平面直角坐标系中,三个机战的坐标分别为,,,延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
 (1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
4.(福州市)
已知直线l:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点,点C、M分别在
线段OA、AB上,且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将△ACM绕点M
旋转180°,得到△FEM,则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中
点N,将ACM沿MN所在直线翻折,得到△PMG,其中P与A为对称点.记:
过点F的双曲线为,过点M且以B为顶点的抛物线为,过点P且以M
为顶点的抛物线为.
,当m=6时,①直接写出点M、F的坐标,
            ②求、的函数解析式;
(2)当m发生变化时, ①在的每一支上,y随x的增大如何变化?请说明理由。
  解:(1)①点M的坐标为(2,4),点F的坐标为(-2,8).
  设的函数解析式为(.
    ∵过点F(-2,8)
    ∴的函数解析式为.
    ∵的顶点B的坐标是(0,6)
    ∴设的函数解析式为.
    ∵过点M(2,4)
    ∴
∴的函数解析式为.
    
(2)依题意得,A(m,0),B(0,m),
  
∴点M坐标为(),点F坐标为(,).
①设的函数解析式为(.
∵过点F(,)
∴在的每一支上,y随着x的增大而增大.
    ②答:当>0时,满足题意的x的取值范围为 0<x<;
     当<0时,满足题意的x的取值范围为<x<0.
5.(兰州市)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),
点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,
设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;
  (2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
  解:(1)(1,0)
点P运动速度每秒钟1个单位长度.
(2) 过点作BF⊥y轴于点,⊥轴于点,则=8,.
在Rt△AFB中,
过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.
∵ ∴△ABF≌△BCH.
∴.
∴所求C点的坐标为(14,12).
(3) 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥轴于点N,
则△APM∽△ABF.
∴.
设△OPQ的面积为(平方单位)
∴(0≤≤10)
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∴当时, △OPQ的面积最大.
此时P的坐标为(,) .
(4)
OP与PQ相等.
6.(深圳市) 如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
  (1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
  (2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
解:(1)⊙P与x轴相切.
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),
与y轴交于B(0,-8),
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=-k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3,
∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,
∴△AOB∽△PEB,
  ∴,
  ∴
  ∴,
  ∴,
  ∴.
  当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8),
  ∴k=--8,
  ∴当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
7.(中山市)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,保持和垂直,
(1)证明:;
(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;
(3)当点运动到什么位置时,求的值
解:(1)在正方形中,,



在中,,


(2),



当时,取最大值,最大值为10.
(3),
要使,必须有,
由(1)知,

当点运动到的中点时,,此时.
8.(河南省)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
  (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
  ②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
解:(1)点A的坐标为(4,8)
(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx
解 得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x
  (2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=
  ∴PE=AP=t.PB=8-t.
  ∴点E的坐标为(4+t,8-t).
∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.
  ∴EG=-t2+8-(8-t)
  
∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.
②共有三个时刻.
t2=,t3= .
(河北省) 如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
  (1)当t = 2时,AP =
,点Q到AC的距离是

(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
  (4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.
解:(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.
由△AQF∽△ABC,,
∴,
即.
(3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ ∽△ABC,得,
即. 解得.
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即. 解得.
(4)或.
【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.
方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
,.
由,得,解得.
方法二、由,得,进而可得
,得,∴.∴.
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
,】
            
10.(哈尔滨市)
如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
  
11.(黄石市)
  如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
  解答下列问题:
  (1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为
,数量关系为

  ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
  (2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
  试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)
  (3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。
解:(1)①CF⊥BD,CF=BD
      ②成立,理由如下:
       ∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
       又
AD=AF
       ∴△BAD≌△CAF
       ∴CF=BD
∠ACF=∠ACB=45°
       ∴∠BCF=90°
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:
      如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
      则∵∠ACB=45°
∠AGC=∠ACG=45°
      ∵AG=AC
      ∴△GAD≌△CAF(SAS)
∴∠ACF=∠AGD=45°
      ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
(3)如图:作AQBC于Q
      ∵∠ACB=45°
∴CQ=AQ=4
      ∵∠PCD=∠ADP=90°
      ∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
      ∴△ADQ∽△DPC
      ∴=
      设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x
      则=
      ∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1
      当x=2时,PC最长,此时PC=1
12.(宜昌市) 已知:直角梯形OABC的四个顶点是O(0,0),A(,1), B(s,t),C(,0),抛物线y=x2+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点,m为常数.
(1)求s与t的值,并在直角坐标系中画出直角梯形OABC;
  (2)当抛物线y=x2+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时,求m的取值范围.
  
(1)如图,在坐标系中标出O,A,C三点,连接OA,OC.
∵∠AOC≠90°, ∴∠ABC=90°,
故BC⊥OC, BC⊥AB,∴B(,1).
即s=,t=1.直角梯形如图所画.
(2)由题意,y=x2+mx-m与 y=1(线段AB)相交,
   得,
∴1=x2+mx-m,
   由 (x-1)(x+1+m)=0,得.
   ∵=1<,不合题意,舍去.
 ∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于(,1),
∴≤-m-1≤,∴ . ①
   又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点,
   ∴,即
   ∵,
(或者抛物线y=x2+mx-m顶点的纵坐标最大值是1)
   ∴点P一定在线段AB的下方.
   又∵点P在x轴的上方,
   ∴,
   ∴ .
 又∵点P在直线y=x的下方,∴, 即
 
由①②③④ ,得.
13.(常德市) 如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
解:(1)CD=BE.理由如下: 
∵△ABC和△ADE为等边三角形
  ∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60o
  
∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60o-∠EAC,
  ∠DAC =∠DAE-∠EAC =60o-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC, ∴△ABE ≌ △ACD
(2)△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE ≌ △ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD, ∴△ABM ≌ △ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形.
设AD=a,则AB=2a.
∵AD=AE=DE,AB=AC,
∵△ADE为等边三角形,
∴∠DEC=120 o,
∠ADE=60o,
∴∠EDC=∠ECD=30o
∴∠ADC=90o.
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30 o ,
∵N为DC中点,
∴, ∴.
   ∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,
   ∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
解法二:△AMN是等边三角形.理由如下:
  ∵△ABE ≌ △ACD,M、N分别是BE、CN的中点,∴AM=AN,NC=MB.
  ∵AB=AC,∴△ABM ≌ △ACN,∴∠MAB=∠NAC

  ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
  ∴△AMN是等边三角形
  设AD=a,则AD=AE=DE= a,AB=BC=AC=2a
  易证BE⊥AC,∴BE=,
  ∴

  ∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
(邵阳市) 如图(十二)直线l的解析式为y=-x+4, 它与x轴、y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,运动时间为t秒(0<t≤4)
 (1)求A、B两点的坐标;
 (2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;
 (3)以MN为对角线作矩形OMPN,记 △MPN和△OAB重合部分的面积为S2 ;
   ?当2<t≤4时,试探究S2 与之间的函数关系;
   ?在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2 为△OAB的面积的?              
解:(1)当时,;当时,.;
(2),
(3)①当时,易知点在的外面,则点的坐标为,
点的坐标满足即,
同理,则,
所以

②当时,,
解得两个都不合题意,舍去;
当时,,解得,
综上得,当或时,为的面积的.
15.(本溪市) 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线()经过,,三点,其顶点为,连接,点是线段上一个动点(不与重合),过点作轴的垂线,垂足为,连接.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)如果点的坐标为,的面积为,求与的函数关系式,写出自变量的取值范围,并求出的最大值;
(3)在(2)的条件下,当取得最大值时,过点作的垂线,垂足为,连接,把沿直线折叠,点的对应点为,请直接写出点坐标,并判断点是否在该抛物线上.
 解:(1)设,
把代入,得,
∴抛物线的解析式为:.
顶点的坐标为.
(2)设直线解析式为:(),把两点坐标代入,

解得.
∴直线解析式为.



∴当时,取得最大值,最大值为.
(3)当取得最大值,,,∴.
∴四边形是矩形.
作点关于直线的对称点,连接.
法一:过作轴于,交轴于点.
设,则.
在中,由勾股定理,

解得.
∵,
∴.
由,可得,.
∴.
∴坐标.
法二:连接,交于点,分别过点作的垂线,垂足为.
易证.
∴.
设,则.
∴,.
由三角形中位线定理,

∴,即.
∴坐标.
把坐标代入抛物线解析式,不成立,所以不在抛物线上.
16. (德州市) 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
  (1)求证:EG=CG;
  (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
  (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
 解:(1)证明:在Rt△FCD中,
  ∵G为DF的中点,∴ CG=FD.
  同理,在Rt△DEF中,
  EG=FD.
  ∴ CG=EG.
  (2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
 在△DAG与△DCG中,
∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG.
∴ AG=CG.
 在△DMG与△FNG中,
 ∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
 ∴ △DMG≌△FNG.
 ∴ MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN.
 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,
 ∵ AM=EN, MG=NG,
 ∴ △AMG≌△ENG.
 ∴ AG=EG.
 ∴ EG=CG.
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
 连接MF,ME,EC,
在△DCG 与△FMG中,
 ∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
 ∴△DCG ≌△FMG.
 ∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
 ∴MF∥CD∥AB.
 ∴.
在Rt△MFE 与Rt△CBE中,
 ∵ MF=CB,EF=BE,
 ∴△MFE ≌△CBE.
 ∴.
 ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.
 ∴ △MEC为直角三角形.
 ∵ MG = CG,
 ∴ EG=MC.
 ∴ .
 (3)(1)中的结论仍然成立,
即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.
17. (济宁市)
在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).
(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形
旋转的度数;
(3)设的周长为,在旋转正方形
的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.
解:(1)∵点第一次落在直线上时停止旋转,
∴在旋转过程中所扫过的面积为.
(2)∵∥,
∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为
(3)答:值无变化.
证明:延长交轴于点,则,
∴在旋转正方形的过程中,值无变化.
  
18.(上海市)
已知为线段上的动点,点在射线上,且满足(如图1所示).
(1)当,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;
(2)在图1中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.
解:(1) ∵, ∴.
   ∵,∴.∴.
   ∵.∴.
   ∵,,点与点重合,∴.
   ∴.
   ∴.
   在△中,.
(2) 过点作,,垂足分别为、.
∴.∴四边形是矩形.
∵,∴.∴.
∵,,∴.
∵,,∴,.
  函数的定义域是≤≤.
(3) 过点作,,垂足分别为、.
易得四边形为矩形,∴,,.
∵,∴.∴.∴.
又∵,∴△∽△.
19. (淄博市)
  如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
  (1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
  (2)当x 为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
  (3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
20. (浙江舟山)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上.
  (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
  (2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
解:(1) 将点A(-4,8)的坐标代入,解得.
将点B(2,n)的坐标代入,求得点B的坐标为(2,2),
则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2).
 
直线AP的解析式是.
令y=0,得.即所求点Q的坐标是(,0).
  (2)① 解法1:CQ=︱-2-︱=,
  故将抛物线向左平移个单位时,A′C+CB′最短,
此时抛物线的函数解析式为.
解法2:设将抛物线向左平移m个单位,则平移后A′,B′的坐标分别为A′(-4-m,8)和B′(2-m,2),点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m,-8).
  直线A′′B′的解析式为.
          ......1分
  要使A′C+CB′最短,点C应在直线A′′B′上,
  将点C(-2,0)代入直线A′′B′的解析式,解得.
故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短,此时抛物线的函数解析式为.
② 左右平移抛物线,因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′CD的周长最短,只要使A′D+CB′最短;
......1分
第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短.
第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).
因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b,2),
  要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短.  
  点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b,-8),
直线A′′B′′的解析式为.要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上,将点D(-4,0)代入直线A′′B′′的解析式,解得.
故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短,此时抛物线的函数解析式为.
21.(江苏省)如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当与射线DE有公共点时,求的取值范围;
②当为等腰三角形时,求的值.
解:(1),. (2分)
(2)①当的圆心由点向左运动,使点到点并随继续向左运动时,
有,即.
当点在点左侧时,过点作射线,垂足为,则由,
得,则.解得.
由,即,解得.
当与射线有公共点时,的取值范围为. (5分)
②当时,过作轴,垂足为,有

,即.
解得. (7分)
当时,有,
.解得. (9分)
当时,有

,即.
解得(不合题意,舍去). (11分)
当是等腰三角形时,,或,或,或. (12分)
22.(温州市) 如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(3,2),(0,2).动点D以每秒1个单位的速度
从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒.
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2时,求m的取值范围(写出答案即可).
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