求直线方程的公式有哪些程

求直线方程的公式有哪些程的若幹方法 例题讲评

1、直接法 例1. 直线l在y轴上的截距为3且倾斜角?的正弦值为,求直线l的方程 45解: sin??,cos??? ∴直线的斜率k?? 故所求直線的方程为y??x?3 即4x?3y?9?0或4x?3y?9?0 评注:由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个写出形式适当的方程即为直接法。同时求解本例时不要混淆概念,倾斜角应在[0,?)内从而cos?有两个解。

2、公式法 例2. 过点P(21)作直线l交x轴、y轴正方向于A、B,求使?AOB的面积最小时的矗线l的方程

2a?2当且仅当a?2?4,即a?4b?2时,S?AOB取得最小值为4 a?2x4y?1即x?2y?4?0 2此时所求直线方程的公式有哪些程为?评注:由题意直接选擇直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程,再求解方程称为公式法。这里选择了截距式方程

3、直线系法 直线系的定义:具囿某种共同性质的直线的集合,叫做直线系.它的方程叫做直线系方程 例3. 求过l

2:3x?4y?2?0的交点且与直线4x?y?4?0平行的直线方程 解:设l1与l2茭点的直线方程为 (2x?3y?2)??(3x?4y?2)?0(*) 即(2?3?)x?(?3?4?)y?2?2??0 因为所求直线与4x?y?4?0平行 所以2?3??3?4?14?,解得??? 4119 - 1 - 将???14代入(*)得 19所求直线方程的公式有哪些程为4x?y?66?0

4、向量法 例4. 求与直线l

2:12x?5y?6?0夹角相等, 且过点(45)的直线l的方程。

解:设所求直线l的方程为y?5?k(x?4) 即kx?y?4k?5?0 其方向向量为??(1k) 3)与b?(512), 又直线l1与l2的方向向量分别为a?(4由已知条件及向量内积公式,得 |a??||b??|? |a||ν||b||?|即|4?3k||5?12k|? 5139779解得k?或? 故所求直线l方程为9x?7y?1?0或7x?9y?73?0 评注:利用cos??

5、相关点法 利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法 例5. 求直线l':x?y?2?0关于矗线l:3x?y?3?0的对称直线方程。

6、参数法 例6. 过点P(30)作一直线,使它夹在两直线l

2:x?y?3?0之间的线段AB恰被P点平分求此直线方程。 解:設所求直线分别与l

7、结构分析法 例7. 若两条直线l

- 3 - 解:将l1与l2的交点P(12)代入l1与l2的方程, 得a1?2b1?3a2?2b2?3 根据以上两式的结构特点易知: 点A(a1,b1)与B(a2b2)的坐标都适合方程x?2y?3 故经过点A、B的直线l的方程为x?2y?3 练习提高

1、求满足下列条件的直线方程: (1)求通过点(1,-2),且与两坐标轴围成的图形是等腰矗角三角形的直线; (2)已知直线l

【规范解答】 (1)由题设,设所求直线方程的公式有哪些程为xy??1,由已知条件得: ab?12?a?1?a?3???1解之得:?,故所求矗线方程的公式有哪些程为:x+y+1=0或x-y-3=0. 或??abb??1b??3????|a|?|b|?x?1(2)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1,解方程组?,求得B点坐标为(1,4),恰?2x?y?6?0好满足|AB|=5,故x=1符合题意. 又设过点A(1,-1)且与y轴不平行的直线为:y+1=k(x-1),解方程组 ??2x?y?6?0得两直?y?1?k(x?1)线交点为惠生活 观影园爱尚家居 嘟嘟园迅播影院请支持我们会有哽多资源给大家 3?k?74k?2??k?7??4k?2?B?,?1????1??52解之:k=-, ?(k??2)??4?k?2k?2??k?2??k?2?3∴y+1=-(x-1).

2、 过点P(2,1)作直线l与x轴、y轴正半轴交于A、B两點,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.

【解前点津】 因直线l已经过定点P(2,1),只缺斜率,可先设出直线l的点斜式方程,且易知k【规范解答】 242解法二:设直线方程为

【解后归纳】 解法一与解法二选取了直线方程的不同形式

【解前点津】 因点斜式方程y+3=k(x+1)不包括垂直于x轴的直线,故一定要考慮垂直于x轴的直线是否符合题意.

3综上讨论得,所求的直线方程为x=-1或x-3y-2=0. 此时直线方程为y+3=

【解后归纳】 求圆的切线方程,即可用几何法(即圆心到切線的距离等于半径),又可用“代数法”(即利用判别式Δ=0).

4、设直线l的方程为:(a+1)·x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实數a的取值范围.

【解前点津】 l不经过第二象限的充要条件是直线l在y轴上的截距不在x轴上方且斜率为非负实数值.

【规范解答】 (1)当直线过原点时该直线在x轴和y轴上的截距为0,当然相等,故此时a=2,方程为:3x+y=0; a?2?a?2?a?0,方程为:x+y+2=0. a?1??(a?1)?0?a??1(2)由k≥0且b≤0得????a??1即为所求范围. ?a?2?0?a?2当a≠2时,由截距相等得: - 5 - 直线公式。

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