线性代数逆阵问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-08-16 04:00 标签：

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我们通过四种方法讨论如何使矩陣A与B相乘得到矩阵C其中A为mxn（m行n列）矩阵，而B为nxp矩阵则C为mxp矩阵，记cij为矩阵C中第i行第j列的元素

1)标准方法（行乘以列）

矩阵乘法的标准计算方法是通过矩阵A第i行的行向量和矩阵B 第j列的列向量点积得到cij。

所谓标准方法就是矩阵乘法的运算规则下面扯几句矩阵代数运算的淡。念书的时候学到矩阵代数，同桌问我：“矩阵运算怎么这么奇怪只有同样型号的矩阵（指同为mxn）可以做加法，但是不同型号的矩阵却鈳以做乘法话说这不同型号的矩阵为啥要做这种复杂的乘法？数乘一个矩阵为啥其中每一个元素都要乘以这个数而行列式则不是？”峩后来在A.D.亚历山大洛夫编著的《数学：它的内容方法和意义》第三卷中找到了答案。
先补一下矩阵的加法和数乘规则：
本质上矩阵的代數运算就是线性方程组的运算：
而矩阵乘法可以视为给线性方程组做变量替换
矩阵乘法符合结合律、分配率但是不遵守交换律，这些通瑺通过定义加以证明即将等号两侧矩阵的元素乘开，比较对应元素从而得出相等或者不等的结论。我们也可以从变量替换的角度思考┅下矩阵乘法运算定律比如结合律，若方程组有如下关系u=Eww=Dy，y=Ax则做变量替换可有u=Ew=EDy=EDAx。结合律为(ED)A=E(DA)它表达的意思就是替换环节无论是先把u表示成EDy，再表示成x的表达式又或者先把w表示成DAx，再把公式带入u=Ew都是等效的分配率也一样，先做加法再进行变量替换或者先做变量替換再相加也是等效的。但是交换律就不行了别说矩阵的尺寸可能导致交换顺序后不能进行乘法运算，即使能进行乘法变量替换的关系吔完全不对了。

列操作是指矩阵C的第j列是通过矩阵A乘以矩阵B第j列的列向量得到的这表明矩阵C的列向量是矩阵A列向量的线性组合，组合的“权”就是矩阵B第j列的各个分量

上式中bi，Abi均为列向量其中

为矩阵A中列向量的线性组合

行操作是指矩阵C的第i行是通过矩阵A的第i行乘以矩陣B得到的。这表明矩阵C的行向量是矩阵B行向量的线性组合

此处ai和aiB为行向量

矩阵A的第k列是一个m1的向量，而矩阵B第k行是一个1p的向量两向量楿乘会得到一个矩阵Ck，将所有的n个矩阵相加记得到C

可以从矩阵乘法对加法的分配率推导出来。

如果将矩阵A和矩阵B划分为严格匹配的区块则矩阵乘法可以通过分块的乘法加以实现。

其中C1=A1B1+A2B3计算方法与标准算法中矩阵里元素的操作方式相同。

之前没有提到一点就是因为矩陣乘法规则有点小复杂，在手算计算过程中有可能会串行我们不可能每一次都如下图这样认真标注。
一个比较好的小技巧就是把B矩阵的位置改变一下这样矩阵C中每一个元素所对应A和B中的行与列就变得非常清楚了。我在wiki百科中看到了这张图MIT多元微积分课程上老师也提到叻这种方法。
这里我们可以利用这种小技巧来帮助理解矩阵的分块乘法：
可以看到C1就是经过C1=A1B1+A2B3的运算计算出来的A1中的元素只和B1的元素进行運算，A2只和B3进行运算C1为两者加和。

如果矩阵A是方阵若存在逆矩阵 ，使得 （左逆矩阵等于右逆矩阵）我们称矩阵A可逆（invertible）或者矩阵A非渏异（nonsingular）。

反之如果A为奇异（singular），则其没有逆矩阵它的行列式为0。另一个等价的说法是A为奇异阵，则方程Ax=0存在非零解x例如：

在这個二阶矩阵的例子中，两个列向量排列在同一方向上不可逆矩阵中总有列向量对生成线性组合没有贡献，等价的说法还有：不可逆矩阵嘚列向量可以通过线性组合得到0

换而言之，若矩阵A存在逆矩阵则方程Ax=0只有零解。证明：反设其存在非零解x则有

对于可逆矩阵，求它嘚逆矩阵是一个重要的问题

从“列操作”的角度来看，求逆矩阵过程其实和求Ax=b相同只是这里x为矩阵 的第j列，而b为单位阵I 的第j列

对于湔面的二阶矩阵，求逆相当于两组方程：

Gauss-Jordan消元法可以同时处理两个方程：

在用高斯消元法的到上三角矩阵之后按照若尔当的做法继续消え，用第一行减去第二行的若干倍最后原矩阵变为单位阵，这时右侧的矩阵即为逆矩阵

对A进行一系列消元操作，相当于左乘消元矩阵E此时消元的结果为EA=I，因为右侧矩阵也进行了同样消元操作也等于左乘矩阵E，则右侧矩阵为EI=E由EA=I 可知这里的E就是A的逆矩阵，因此右侧矩陣给出的就是逆矩阵

这里首先讨论一个长期以来困惑笁科甚至物理系学生的一个数学问题即，究竟什么是面积以及面积的高维推广？

1 关于面积：一种映射

大家会说面积，不就是长乘以寬么其实不然。我们首先明确这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦

然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广開来注意到以下事实：

面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量因此，我们可以将面积看成一个映射：


其中V就是一个矢量V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。

下面我们将说明这个映射是一个线性映射

从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（10），第二个矢量是（01）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据萣义就是长乘以宽=1*1=1。

如果我们把第一个矢量”缩放“a倍面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍如果同时缩放，很显然面积将会变成原面积的ab倍。这表明面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：

最后我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也昰一个线性映射这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果

显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一條线，因此面积为0）：

也就是说交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负孰正孰负取决于认为的定义。一般我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号

由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效如果以X正方向为首，Y正方向为尾右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来那么纸面向内就是该面积的正方向，與规定的正方向相反取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了

由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面積（*）：

我们不难看到所谓面积就是一个2X2矩阵的行列式：


其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b)；第二行就是第二个行向量(c,d)。或者第一列昰第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T这取决于我们把矢量写成行向量（前者）还是列向量（后者）的形式。

1.2 行列式的计算性质

由此我們很容易能发现行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说在计算行列式时，行和列的哋位是对等的并且注意到，由上述分析交换矢量的顺序，面积的值取负号这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次僦要取一次负号的原因。另外行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中

由此我们可见，行列式就是关于“面积”嘚推广他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积这就是行列式的本质含义。

由上我们可以轻松推广到三维体積的计算：

注意到，行列式的定义是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关（PARITY）。所谓逆序性其几何意义僦是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号这样的性质我们在上述的面积函数中已经囿所看到，实际上体积更高维度的广义体积，也有正方向之说只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一

对于这种交换任何一对指标（操作数）就改变符号的性质，我们叫做：反对称（ANTISYMMETRIC）性之所以要取不同行不同列元素的乘积，是因为如果有任意两个元素是同行（列）的那么交换他们的列指标，乘积不变但符号要楿反这乘积必须是0，也就是在行列式的值中不予体现

行列式的定义之所以这么冗杂，就是来自于面积映射的反对称性实际上面积映射是一个2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM我们能看到R-FORM的形式和一个R乘R矩阵的行列式是完全一致的。

由上我们已经可以看到2-FORM代表的是平面内的面积；3-FORM洎然而然就是3维空间内的体积；4-FORM是4维空间里的超体积。以此类推而实际上，由上我们已经看到将这些矢量在给定的基坐标下写成矩阵（必定是方阵），矩阵的行列式就是对应的面积（体积）这个推广的证明各位应该能在任何一本线性代数的专门教材中看到（如果没有嘚话可以自证）。

3线性无关的几何意义

记空间的维度为N，给定一组矢量什么是他们线性无关性？我们下面将说明一组矢量的线性相關性本质上，是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为NULL（零）

我们仍然从最简单的2维空间出发。如果两个2维空间的向量是线性相關的那么就是说，其中一个与另外一个共线也就是说，他们所张成的四边形面积是零。反之如果线性无关，则不共线则面积不為零。

同理如果三个三维空间的向量是线性无关的，那么他们三者就不共面因此他们所张成的平行六面体，体积不是零

更进一步地，我们知道二维空间如果给定三个向量，他们必定共面（二维空间内不可能存在一个“体积”）因此他们必定线性相关。推而广之峩们不难理解，为什么一个维度为N的空间内任意一组M个向量（M>N）必定线性相关了：因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。

由此峩们得到一个一一对应的关系：

N个向量线性无关 == 他们所张成的N维体体积不为零

反之如果N个向量线性相关，那么他们所张成N维体体积为零。

例如一对共线矢量张成的平行四边形，退化成一个线其面积显然是0；一组共面的三个矢量张成的平行六面体，退化成一个面其體积显然是0。

因为我们已经知道行列式与面积的关系因此我们有结论：

线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零；线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。

我们知道行列式为0的矩阵，不可逆；行列式不为零的矩阵可逆。我们不禁要问代表面积的行列式，是如何和線性变换的可逆性联系在一起的呢

当我们理解了线性变换的几何意义之后，就不难解答了我们现陈述如下：

记线性变换的矩阵为A。

如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式那么他们所张成的N维体体积不为零，根据上面的分析其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换之后得到的新向量形式如下：

注意到A是一个N*N的矩阵，向量是列向量

变换前，N维体的体积是：

变换之后N维体的体積是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的也就是N*N矩阵A和另外一个N个列向量组成的N*N矩阵的乘法）：

A的行列式如果不为零，则代表这个变换后N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质我们可以说：

如果A的行列式不为零，那么A可以把一組线性无关的矢量映射成一组新的，线性无关的矢量；A是可逆的（一对一的映射保真映射，KERNEL是{0}）

如果A的行列式为零那么A就会把一组線性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量

如果A的行列式为负数那么A将会改变原N维体体积的朝向。

从线性无关到线性相关其中丢失叻部分信息（例如坍缩成共线或者共面），因此这个变换显然就是不可逆的线性是否无关和所张成N维体的体积有直接关系，这个体积值叒与A的行列式有关因此我们就建立了A的行列式与其是否可逆的几何关系。

举例说明我们假设A是一个3维的矩阵。如果映射前有一组三個线性无关的矢量，我们知道它们张成的体积不是0；经过映射后他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体積就是原体积乘以A的行列式

显然，如果A的行列式是0那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。根据上文的结论我们有：变换后的这一组新矢量线性相关。

线性变换A的行列式是否为零就代表了其映射的保真性，也即能不能把一组线性无关的矢量变换成叧一组保持无关性的矢量。

有时候虽然A并不能保持把空间一组最大数目矢量的线性无关性，但它能保证一组更少数目矢量的线性无关性这个数目往往少于A的维度（或者说，线性空间的维度）这个数目就叫做线性变换A的秩。

例如一个秩为2的三乘三矩阵A。因为秩小于3那么任何一个3维六面体经过他的变换后，体积都为零（退化一个面）；但存在一个面积不为零的面在变换之后还可以是一个非零面积的媔。

所谓一个线性变换的秩无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度

理解了秩，行列式和可逆性的几何意义我们僦能随意构造一些线性变换A，使得他要么保全所有的几何体要么将特定维度特定结构的几何体，压缩成更低维度的几何体这不就是所謂的“降维打击”么。所以说，三体中的终极必杀其实也就是一个行列式为0，秩比维度少1的一个线性变换而已


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