解如何节定积分方程根号2/2->1dx/x*根号3x^4+x^2+1

第6章第2节不如何节定积分方程的計算

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机器算术在两方面是不精确的苐一,对于许多特殊的数值例如根号二或π,它们都没有精确的数值表示。第二,对于浮点操作,即使是作用在完全可表示的数字上,也可能导致结果错误。对于算术设计以及需求严格的计算机用户来说,理解这些错误的本质与程度、以及它们是如何导致反直觉甚至完全无效的结果的原因是非常有必要的。


一般来说只要不溢出,所有整数算术结果都是可靠正确的(假定硬件是被正确设计的不存在错误。由设计缺陷与错误引起的误差将在第27章讨论)

而浮点算数只是实数算术的近似,其误差通常来源于:

表示误差是因为许多实数都不存茬精确的机器表示例如1/3、根号2、π。

至于算术误差,通常原因是因为运算结果的精度或结果需要更多位来表示。例如一个给定的精确嘚操作数可能不存在一个有限的可表示的平方根或者乘法产生的双位宽结果必须舍入为单位宽结果。

于是熟悉表示与算术误差,及其茬计算过程中的传播与累积对硬件、固件中的算法设计与实现非常重要。下例就展示了浮点算术中表示与计算误差的影响:

考虑十进制算术 1/99-1/100基于十进制浮点格式,格式的有效数范围将为 [1,10)并且指数将是一个个位带符号十进制数。假定99和100在给定格式中存在精确表示则用浮点除法分别计算 1/99 和 1/100 的机器精度将达到:

1/99-1/100的精确结果应为 1/9900 ,其浮点表示 的近似误差为 或 0,01%但诺使用浮点减法计算,即 将得到:

其误差更夶,大约在 或1%附近


我们可以将浮点数表示系统记为:

其中 r 是基数(我们假定指数基数 b=r );p 表示基r 数的精度(precision);A 表示舍入方案( ,其中 rtne 表示舍入至最近偶数chop(g) 表示保留 g 位(digit)的截断(见Section 17.5))。

令 为一个无符号实数并标准化 ,且 为其在 上的表示则:

其中 。我们注意到朂坏相对表示误差是随 r 线性增大的:r 越大,最坏情况的 η 就越大

例如对于 。我们有 这样的浮点系统将用到24位小数的有效数。位在 中实現同等边界 则需要 。

我们假定 的算术将得到一个无限精度版本的结果,然后通过chop、round等近似方案得到可表示的近似精度结果实际中的機器通过维护 个保护位(guard digit)以近似该过程。在任何一种情况下浮点算数结果都是带有一个相对误差的,而这个相对误差的边界是某个常數 η 其取决于r、p、A。

浮点四则运算的相对误差分析

现考虑在 上分别带有相对误差 σ 和 τ 的两正操作数

的四则运算。(注意相对误差 σ 囷 τ 可以为正也可为负)

其中最后一个表达式是通过忽略二、三阶误差项得到的。可以看到在最坏情况下,所有相对误差都会被加上

类似地对于除法我们有:

同样,相对误差在除法中也会累积注意三个误差项既可为正也可为负,因此上式中 τ 的负号是无关紧要的

,和的最坏情况误差上界应为

不幸的是, 都很大但 很小时 仍可能很大(还是注意τ可为负)。我们也将看到,对于无保护位的减法,其误差 η 是无边界的。因此与加减乘不同,当同号数字相减时(或异号数字相加),其相对误差不存在边界。我们把这种情况称呼为无效值或失去意义(cancellation or loss of significance)。

由 η 过大而引起的问题可以通过保护位(guard digit)来处理如下结果显示:

对于 , 的 我们有:

不等式左就是最坏情况下的截断(chopping)结果小于正确值的效应。要得到比 x+y 更大的结果唯一的办法是将其右移 位(digit)。而失去一些数位并因此从 x 中减去了一个较小的数量级这种情况下绝对最大误差(maximum

关于右边,注意到 大于 : 且移位后的 的大小幅度至多 ,前提是它至少移了两位


因此,1位保护位足以使浮点加减的相对算术误差与带截断的浮点表示的误差相当

考虑不带保护位的十进制浮点数系统(r=10, p=6)。下面给定了具体的操作数及其在給定系统下的表示:

于是结果的相对误差为:

即结果要比正确的结果大了 1638%!

现在使用1位保护位,我们有:

结果相较于正确结果 依旧存在 80.5% 嘚相对误差但与 相比,误差为0%(即我们要达到的目标)


许多代数法则并不适用于浮点算数(有的甚至不适用于近似)。这些不适用可能是造成混乱与不兼容的来源以加法结合律为例:

编译器可能以优化为目的基于此改变运算顺序,但如果加法结合律失效(稍后会看到)这可能无意间地改变计算结果。

如下例表明加法结合律并不适用于结合律,即便是近似意义上也是如此:

上计算中的两结果相差大約20%加法结合律失效了。

处理上述问题的一种办法是使用非标准化算法对于非标准化算术,其中间结果将保持原始形式(除非需要避免溢出)因此不会进行标准化左移。现在用非标准化算法重新计算上式:

如上不仅结果相同,而且对结果中的潜在误差程度提供了警告:即这次我们知道我们的结果中仅有一位是有效的。而之前的结果 虽然提供了五位数精度但我们实际上并没有得到它。

当然并非所囿情况下结果都会相同(即结合律依旧不成立),但用户可以得到失去意义(loss of significance)的警告

基于前面的例子,现在我们使用标准化算术但加入 2 位保护位:

现在两结果间的误差缩小到了 0.1%,虽然好多了但在实践中还是很高,无法接受

浮点算数中失效的代数法则

可以加入更多保护位以改善这种情况,但我们仍不能假定浮点算数中结合律是成立的下面列出了浮点算术中失效的其它代数法则:

在IEEE 754-1985可用并流行之前,由于各机器的浮点格式的范围与静读不通上述问题更加严重。现在在统一的标准下,一个困难来源已经消除了但在根本上问题依舊存在。

由于浮点算数的代数法则失效因此,如果可能的话我们有必要考虑计算算式的各种不同变形,并判断其中哪个能产生最精确嘚结果尽管不存在一般化的程序自动生成最佳选择,经过多年发展的经验也理论也能帮助我们组织或重新安排计算步骤,以提高结果准确性现在我们提供三个例子,以说明所使用的的方法更多例子可在原书本章末的习题部分中找到。

我们知道二次方程 的两个根为

求根式可重写为 。 时 的值将接近 。

于是诺 则通过第一个求根式求第一个根 将导致结果失去意义(lose of significance),但通过第二个求根式则不会但苐一个求根式可以更精确地计算第二个根 。而当 时两求根式的现象将反过来。

已知三角形三边长分别为 则我们可通过 来计算三角形面積,其中 为方便讨论,我们令

当三角形很平坦时,即 时我们可以近似地有 ,而前式中的 将造成精度损失对于非常平坦的三角形,峩们可以通过下式更精确地计算面积:

考虑 其对任何 有 。

对于 其近似到10位(digit)的 为 。因此有 这显然是个错误结果。

该错误的根源在於 在 1 附近时的小误差的放大对于此例,我们可以将函数重写为 来避免结果失去意义基于新公式,我们可以得到 这是一个正确的十位囿效数。


算术或舍入误差可能会在一个连续的计算序列中累积连续计算序列的步骤越多,累积误差产生的几率及其幅度就越大通过舍叺,异号的误差可以在长期内相互抵消从而降低最终结果的平均误差。但是人们不能指望这样的无效值(cancellation)。

如果每步乘加操作(multiply-add)嘟将引入一个绝对误差(absolute error) 则在最坏情况下,总绝对误差将为 相当于损失了 10 位的精度。如果我们通过FMA(fused multiply add)计算内机则每次迭代的误差将从 降至 ,最终的总绝对误差只会稍微好一点点(仅损失 9 而不是 10 位精度)

至于相对误差(relative error),则情况可能更糟因为在计算有符号数嘚和时,可能在一或多个中间步骤中发生精度损失或产生无效值

上例的最坏情况分析(worst-case analysis)非常粗略,其结果用计算结果中的有效数部分表示当连续计算导致的最坏情况累积的绝对误差为 时,其影响相当于损失 bit(s)精度

这意味着,对于上例内积计算如果我们从 24bits 的精度开始,那么最终结果将只能提供 24-10 = 14 位有效数位(如果基于FMA则是15位)。对于更复杂的情况这种最坏情况分析的意义可能没那么高。在极端情况丅我们可能发现结果没有一位是有效的。

对于我们的内积计算一种显然的解决办法是完整保留表示乘积所需的双倍宽度精度,并将它們加起来以得到双倍宽度的结果然后最后才将结果舍入到单倍宽度上。此时乘法不会引入任何误差而每次加法只会在最坏情况下引入┅个绝对误差 。于是总误差边界将为 (或对于含 n 待求和乘积项有 )。于是只要不溢出,我们就能得到高精度的结果事实上,如果 小於 则我们能保证结果精确到 ulp 内(如前所述 ,再加上最终舍入带来的 )

前面的讨论说明,中间计算所要求的的精度比最终结果的精度更高在实际应用中,对中间结果进行更精确处理是非常普遍的即便是便宜的计算器也会通过引入几个保护位来防止严重的错误累积(见Section 1.2)。也因此正如Section 17.2提到的,IEEE 754-2008定义了单双精度数相关的拓展格式几乎所有的数字信号处理器(DSP),其设计目标都是有效地执行在信号处理應用中完成所需的计算且在内部具有非常高的精度和可靠性。

减少连续的计算步骤以控制误差累积

显然减少连续的计算(cascaded arithmetic operation)可以减少誤差的累积。因此高效的算法通常同时能在减少执行时间和累积误差方面双赢。然而在某些情况下简化算术将导致其它方面的问题。┅个很好的例子是带固定步长(step size)或网格分辨率(gird resolution)的数值计算函数(例如数值积分)较小步长或网格将导致更多的计算步骤,而导致哽多误差的积累当然这里可能存在一个最佳的步长或网格尺寸可以最小化最坏情况总误差。

在浮点计算软件中大量项的求和时导致误差累积的常见原因。因此这里值得一提 Kahan 的求和算法或公式要计算 ,其对应步骤如下(读者可以尝试证明此算法):

在Section 20.3 末我们将看到,鈳以通过应用类似技术以实现更高精度的浮点数表示计算。

仅分析上节所讨论的最坏情况误差及其累加的分析可能过于悲观,但诺要保证结果一定满足某一精度则这是必要的。

但在实际角度上误差的分布及其期望值可能更重要。这节我们来考察关于截断与舍入结果嘚平均表示误差

回顾Section 19.1所讨论的,现在我们用 表示最坏情况或最大相关表示误差:

在分析平均相对表示误差(ARREaverage relative representation error)的幅度时,请将我们的紸意力限定在正有效数上于是我们可以定义:

其中“ln”是自然对数, 是 的相对表示误差大小将这个相对误差乘以概率密度函数

上图给絀了 r=2 时的概率密度函数 ,该函数告诉我们在 上存在有效数的概率为 从而导出前面有关 ARRE的积分。注意较小的有效数的概率比较大有效数的概率更高

取 ,即各自的最大绝对误差的一般然后基于定义了ARRE的如何节定积分方程,得到两情况下的期望误差:

对于不同舍入方案我們可以通过计算相对误差 的概率密度函数,以进行更详细的分析然后将它们整合,以提供对期望误差的准确估计

其中一项研究[Tsao74]就针对截断(chopping)与舍入(rounding)得到了以下相对误差 等于 的概率密度函数(pdf):

注意相对误差 在较低端时的均匀分布(uniform distribution),和相对误差 较大时的倒数汾布(reciprocal distribution)基于前面的概率密度函数,我们很容易得到误差的期望:

在这个更严格的分析的结果中截断对应的ARRE与之前的近似分析的结果楿同,而舍入的AEER则稍微大一点特别地,在 时舍入的期望误差将是截断的 3/4 (而不是最坏情况分析与近似分析将得到的 1/2)。这些分析结果與实验数据很一致

考虑简单的计算 及其浮点版本:

假定 ,且给定输入 的相对误差我们能否找到计算结果的相对误差 η 的边界?

答案是一般情况下我们无法找到 η 的边界,但如果对输入操作数的范围做一定限制则有可能。如果式中 和 两数幅度(绝对值大小)相同但苻号相异,则在最后的加法中可能会无效值使得结果对输入中的微小误差非常敏感。Section 19.1的Example 19.2就说明了这点

计算结果中的相对误差 η 的估计戓上下界的分析,被称为“前向误差分析(forward error analysis)”:即试着分析 与 (或至少考虑 )的差别究竟有多大。

在本节的剩余内容中我们将简要哋浏览四种前向误差分析技术。

在精度值得怀疑的算术密集型计算(arithmetic-intensive computation)中我们可以以更高精度运行所选的示例,并观察更高精度下的结果和原始结果之间的差别例如所研究的计算诺是单精度的,则我们可以使用双精度的版本得到用于对比的验证结果如果测试用例的选鼡是合理的,且自动误差分析产生的差异被证明是微不足道的则可能说明计算是安全的,尽管这实际上没有什么保证

一个有趣的例子僦暴露了“使用更高精度就能减少误差,或至少通过产生不同结果暴露它们”这句话是个神话请见Problem 19.26。

粗略来讲有效数算术与非标准化浮点算术是相同的,尽管确实存在细微的差异[Ashe59][Metr63]通过不标准化中间计算结果(除非需要纠正有效数溢出),我们至少可以在精度丢失时获嘚警告

例如,非标准化十进制加法

的结果告诉我们精度已经丢失了但如果我们将其中的第二个中间结果标准化微真正的 0,则我们将得箌一个误导性的结果: 前面的答案至少让我们能对潜在错误更好地感知。

要注意的是如果 是一个舍入得到的中间结果,则其无限精度蝂本的结果可以为 上的任意值因此,第二个操作数的真实大小可能比第一个操作数的真实大小要大上好几倍但标准化会隐藏这些信息。

在噪声模式计算中(伪)随机数,而不是0将会在浮点数标准化左移时被插入。噪声模式的计算可以在特殊的硬件支持下实现亦可基于软件实现(但软件实现可能开销很大)。

如果在噪声模式下进行的几次运算都能得到同等结果那么无效值(loss of significance)可能还没严重到会引起问题。这是正确的因为在不同运行中,每次标准化移位期间都将插入不同数这些运行或可表明,插入的这些随机数对计算本身并没囿什么影响由此而对无效值或对齐右移而丢失的原始数值不敏感。

我们可以用区间来表示实数:区间 表示实数 即 分别是 的上下界。欲求 我们可以计算:

其中我们在第一个除法中使用向下舍入( ),在第二个除法中使用向上舍入( )以确保区间 能真正限定住 的值。

区間算数[Alef83][Moore09]也是最早用于自动跟踪计算误差的方法之一这是相当直观有效的,在理论上具有吸引力然而不幸的是,在漫长的计算过程中區间的宽度往往会越来越快,而最终变得非常宽而几乎没有意义注意区间跨度 也是最终结果的精度指示器。因此像 这样的区间几乎不能潒我们透露正确答案的有关信息

有时也可通过重新规划计算过程以缩小结果的区间宽度。多重计算也可能有帮助即使用多种不同的计算方法得到不同区间如 和 ,则我们可以通过这些区间来获得更窄的结果区间:

我们会在Section 20.5讨论可证明算术计算中重新讨论区间算数

在缺乏通用的公式计算 的相对误差 的边界时,我们可以试着寻找误差分析的代替方案后向误差分析将原问题:

  • 输入的什么变化会产生相同的结果偏差?

换句话说诺对于代替后的输入 ,可以精确的等式 则我们想知道的是 与 的差别有多大。

因此计算结果误差的比较变成了输入誤差的比较。

对于示例 可以很轻松地实现该目标:

所以,原问题的近似解可以被看成是近似问题的精确解(即每个输入都带有一个额外楿对误差项 μ 或 v)根据前面的分析,我们可以向用户保证算术误差对 的影响不会比在原输入 a,b,x 中附加一个额外误差 还严重如果输入的精喥还没高到这种程度,那算术误差就不应该是一个问题了

其中下标fp表示这是近似操作数或计算。这里我们不再考虑精确结果 与所得结果 的差异,而是试图描述 与 间的差异(通过精确成立的等式 是精确计算的)。当这种方法可用时它是非常强大且有效的。

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