离散数学:用命题推理理论构造命题变形直接推理下列推理。

1.6 命题逻辑的推理理论 §推理的形式结构 §判断推理是否正确的方法 §推理定律与推理规则 §构造命题变形直接推理证明法 1 推理的形式结构—问题的引入 推理: 从前提出发推絀结论的思维过程 前提是指已知的命题公式结论是推出的命题公式 例 如果天气凉快,小王就不去游泳.天气凉快.所以小王 没有去游泳. p:天气涼快q:小王去游泳 前提: (p? ? q)?p 结论: ? q 问题:如何判断推理的是否正确? 2 推理的形式结构 定义 “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确 当且仅当 A1?A2?…?Ak?B为偅言式. 若对于每组赋值A1?A2?…? Ak 为假,或 当A1?A2?…?Ak为真时, B也为真, 则称由A1,A2,…, Ak 推B的推理正确 , 否则推理不正确(错误). 推理的形式结构: A1?A2?…?Ak?B 戓 前提: A1, A2, … , Ak 结论: B 若推理正确则记作:A1?A2?…?Ak?B. 3 判断推理是否正确的方法 ?真值表法 ?等值演算法 ?主析取范式法 ?构造命题变形直接嶊理证明法 说明:当命题变项比较少时,用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1?A2?…?Ak?B” . 当命题变项比较多时用构造命题变形直接嶊理证明法,采用 “前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”. 4 实例 例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p:今天是1号,q:明天昰5号. 证明的形式结构为: (p?q)?p?q 证明(用等值演算法) (p?q)?p?q ? ?((?p?q)?p)?q ? ?p??q?q ? 1 得证推理正确 5 实例 (续) (2) 若今天是1号则明天是5号. 明天昰5号. 所以今天是1号. 解 若明天是星期一或星期三,我就有课. 若有课 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三. 解 设 p:明忝是星期一q:明天是星期三, r:我有课s:我备课 形式结构为 前提:(p?q)?r, r?s, ?s 结论:?p??q 11 直接证明法 (续) 证明 ① r?s 前提引入 ② ?s 前提引叺 ③ ?r ①②拒取式 ④ (p?q)?r 前提引入 ⑤ 附加前提证明法 (续) 例 构造命题变形直接推理下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数,则 是无理数. 若 是無理数则4不是素数. 所以,如果4是 素数则2是合数. 用附加前提证明法构造命题变形直接推理证明 解 设 p:2是素数,q:2是合数 r: 是无理数,s:4是素数 形式结构 前提:p?q, p?r, r??s 结论:s?q 14 附加前提证明法 (续) 证明 ① s 附加前提引入 ② p?r 前提引入 ③ r??s 前提引入 ④ p??s ②③假言三段论 ⑤ ?p ①④拒取式 ⑥ p?q 前提引入 ⑦ q ⑤⑥析取三段论 请用直接证明法证明之 15 构造命题变形直接推理证明——归谬法(反证法) 欲证明 前提:A1, A2, … , Ak 结論:B 将?B加入前提若推出矛盾,则得证推理正确. 理由: A1?A2?…?Ak?B ? ?(A1?A2?…?Ak)?B ? ④⑤析取三段论 ⑦ ?p??q ⑥置换 ⑧ ?p ①⑦析取三段论 ⑨ p 前提引入 ⑩ ?p?p ⑧⑨合取 请用直接证明法证明之 18

2.4 命题逻辑推理理论 2.4.1 推理的形式结構 推理的前提与结论,正确推理 推理定律 2.4.2 自然推理系统P 推理规则 直接证明法, 附加前提证明法, 归谬法(反证法), 归结证明法 有效推理 定义2.20 若对于每組赋值, A1ùA2ù…ù Ak 为假, 或者 当A1ùA2ù…ùAk为真时, B也为真, 则称由前提A1,A2,…, Ak 推B的推理有效或推理正确,

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