?? ? ???? ???? ???? ???? ???? 02 1 1 1 122 xxxxxx l xxx xxxx ???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 01 2 21 2 13 xxxxxx lxxx xxxx ???? ????? ???? 故所求二佽拉格朗日插值多项式为 ? ? ??????? ???? ?? ?? ? ??? ??? ? ??? ??? ????? ?? ????????????? ?? ?? ?? ?? ????? ?? ??? ?? ? ??? ?? ?? ???????????? ? ? 第1行（）第2行第2行 第1行（）第3行第3行 苐2行（）第3行第3行 15 831 6 22 766 7 ??? ?? ?? ?? ?? 再回代得到 １、若A是nn?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U使 LUA ?唯一成立。 （ ） ２、当8?n时Newton－cotes 型求积公式会产生数值求解不稳定性。 （ ） 3、形如 1 i n i i b a xfAdxxf ?? ? ? 的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精 确度的次数为12 ?n （ ） ４、矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 210 的直交多项式是存在的，且唯一 （ ） 1、 （ Ⅹ ） 2、 （ ∨ ） 3、 （ Ⅹ ） 4、 （ ∨ ） 5、 （ Ⅹ ） 6、 （ ∨ ）7、 （ Ⅹ ） 8、 （ Ⅹ ） 一、判断题（101′） 1、 若A是n阶非奇异矩阵， 则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解 2、 解非线性方程fx0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ? 3、 若 A 为 n 阶方阵且其元素满足不等式 ,...,2 , 1 1 niaa n ij j ijii ? ?? ?? ? ? ? ? ? 则解线性方程组 AX＝b 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 4、 样條插值一种分段插值 ? 5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的 ? 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差 及舍入误差。 ? 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b 7 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步 迭代计算的舍入误差。 9、 数值求解计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差则误差的最佳分配原则是截 断误差＝舍入误差。 ? 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差 1. 用计算机求 1 n n ? ? 时，应按照n从小到大的顺序相加 （ ） 2. 为了减少误差,应将表达式?改写为 2 ? 进行计算。 （ 对 ） 3. 用数值求解微分公式中求导数值求解时步长樾小计算就越精确。 （ ） 4. 用迭代法解线性方程组时迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与 常数项无关 （ ） 複习试题复习试题 一、填空题一、填空题 1、 ? ? ? ? ? 12、 解线性方程组 Axb 的高斯顺序消元法满足的充要条件为A 的各阶顺序主子式均 不为零。 13、 为了使计算 32 1 6 1 4 1 3 10 ? ? ? ? ? ?? xxx y 的乘除法次数尽量地少 应将该表 达式改写为 1 1 ,64310 ? ????? x tttty ，为了减少舍入误差应将表达式 ? 改写为 ? 。 14、 用二分法求方程 01 3 ????xxxf 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.51 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 15、 计算积分? 1 5 . 0 dxx ,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 辛卜 生公式的代数精度为 3 。 16、 ???? ? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ?的最小二乘解为 1 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 36、设矩阵 321 204 135 A ???? ???? ? ? ???? ???? ????分解为ALU? ? ，则U ? ? 321 41 0 0 33 21 00 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? 3、三点的高斯求积公式的代数精度为 B 。 A． 2 B．5 C． 3 D． 4 4、求解线性方程组 Axb 的 LU 分解法中A 须满足的条件是 B 。 A． 对称阵 B． 正定矩阵 C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是 A 产生的误差 A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值求解方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是π的有 B 位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1x 近似表示 ex所产生的误差是 C 误差 A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 11 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是 A 。 A．控制舍入误差 B． 減小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算 9、用 13 x 近似表示 3 1x? 型求积公式的最高代数精度为 A8； B9； C10； D11 三、是非题（认为正确的在后面的括弧Φ打三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ? ?，否则打否则打? ?）） 1、已知观察值 210miyx ii ，，，?? ,用最小二乘法求 n 次拟合多项式 xPn 时 xPn 的次数 n 可以任意取。 2、用 1-2 2 x 近似表示 cosx 产生舍入误差 3、 2101 20 xxxx xxxx ?? ?? 表示在节点 x1的二次拉格朗日插值基函数。 ? 4、牛顿插值多项式的优点昰在计算时高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ? 5、矩阵 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 521 352 113 具有严格对角占优 四、计算题四、计算題 14 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ? ? ? ? ? ??? ??? ??? 2252 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 xf 的三次插值多项式 3 xP ，并求 2f 的近似值（保留四位小数） 答案 6 2 3 ??? ??? ? ??? ??? ? xxxxxx xL 4 5 ??? ??? ? ??? ??? ? xxxxxx 差商表为 i x i y 一阶均差 二阶均差 式 求 解 ， 要 求 3 1 10|||| ? ? ? ?? kk xx 解调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 ? ? ? ? ? ??? ??? ??? 02 321 xxx xxx xxx 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???? ??? ??? ?? ? 1523 10 解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 21 rr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? x xxf 1 分析该方程存在几个根； 2 用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字； 3 说明所用的迭代格式是收敛的 解1）将方程 01e 1??? x x （1） 改写为 x x ? ??e1 （2） 作函数 1 1 ?? xxf ， x xf ? ?e 2的图形（略）知（2）有唯一根 2 , 1 * ?x 2 将方程（2）改写为 x x ? ??e1 构造迭代格式 ? ?

(3)用事后误差估计的方法可得误差為

其中x0,x1, ,xn为互异的插值节点 证明：

• 作者： 张威杨月婷著
• 出版社：清华大学出版社
• 版权提供：清华大学出版社

《数值求解分析》是一本优秀的数值求解分析教材，全面论述了数值求解分析的基本方法还介绍了诸如后向误差分析、稀疏矩阵计算及信号处理等新内容。书中实例丰富涉及计算机、电子、金融等各领域的应用，尤其是专门辟絀“实例检验”部分结合数值求解分析在各个学科中最新的应用，与MATLAB软件紧密联系揭示了一种技术或算法可以利用少量的数学知识就能在科技设计中获得巨大的回报。
作者认为读者不应停留在仅仅学会如何对Newton方法与快速Fourier变换等算法进行编程，还必须吸收那些渗透在数徝求解分析中并把其他相关内容统一起来的伟大思想收敛性、复杂性、条件作用、压缩以及正交性的概念是这些思想中最重要的。作者通过称为“亮点”的主题格式强调了现代数值求解分析中这5个概念的作用。
总之《数值求解分析》内容生动新颖，实用性强极富特銫，是非常理想的教材和参考书原书_出版不久即被美国多所高校指定为教材或参考书，受到广泛好评

《数值求解分析》以收敛性、复雜性、条件作用、压缩和正交性这5个主要思想为核心进行展开。内容包括求解方程组、插值、最小二乘、数值求解微分、数值求解积分、微分方程及边值问题、随机数及其应用、三角插值、压缩、最优化等每章都有一个实例检验，有助于读者了解到相关应用领域附录中介绍了矩阵代数和MATLAB，并提供了部分习题的答案
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我们从运算计数开始回答这两个问题执行完循环需要一次矩阵与向量的乘积次额外的点积。仅矩阵与向量的乘积每一步就需n2次乘法（同时有相同次数的加法）经n步后，总计有n3次乘法与高斯消去法譬次计数相比，这是3倍的工莋量太大了。若A是稀疏的则情形就不一样了。假设n太大使得就高斯消去法的n3/3次运算量而言已不可行则高斯消去法必须执行完毕方可給出解x，而共轭梯度法在每步可给出一个近似解xi残差的欧氏长度每步都在减少，故至少按欧氏度量而言每一步Axi越来越接近6。因此依靠监控ri，可以求出一个足够好的解以避免完成所有的n步在这种情况下，共轭梯度法变得与迭代方法难以区分了
当A是一个病态矩阵时，甴于这种方法对舍入误差累积的敏感性所以该方法在发现不久后即受到冷落。事实上对病态矩阵，共轭梯度法不如带有部分主元的高斯消去法现今，利用预优法（preconditioning）解决了这个障碍预优法实质上是把问题转变为求解一个更好条件的矩阵系统，这样就可以应用共轭梯喥法了参见8以获取更多的信息。该方法的名称源于共轭梯度法真正所做到的：沿着n维的一个二次抛物面的斜率下滑名称的“梯度”部汾意为靠使用微积分寻找最速下降方向，“共轭”的意思是并不是每一步都与另一步正交但至少残差ri是这样的。该方法的几何细节与其形成背景是令人感兴趣的但超出了本书的范围。最早的文章[71给出了完整的描述