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3.3向量组的秩和极大线性无关组|线​性​代​数
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2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法|
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向量组的秩和最大线性无关组
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第3章33 向量组的最大线性无关组和的秩
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官方公共微信15第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩-第2页
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15第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩-2
所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即k1?；这表明只有当k1,k2,k3全为零时，（2.2）；又上节的性质1可知：若向量组线性无关，则任意部分；一．极大线性无关组；定义1设向量组A，如果：；（1）A中有r个向量?1,?2,?,?r线性无关；则称?1,?2,?,?r是向量组A的一个极大线性；例1全体n维实向量构成的向量组记作Rn，求Rn的；§3向量组的秩
所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即
k1?k2?k3?0这表明只有当k1,k2,k3全为零时，（2.2）式才成立，即?1,?1??2,?1??2??3也线性无关。又上节的性质1可知：若向量组线性无关，则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关，那么是否能找到向量个数最多的线性无关向量组？为了研究这些问题，我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。 一．极大线性无关组定义1
设向量组A，如果：（1）A中有r个向量?1,?2,?,?r线性无关； （2）A中任一向量都可以由?1,?2,?,?r线性表示。则称?1,?2,?,?r是向量组A的一个极大线性无关组（或极大无关组）。例1
全体n维实向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个极大线性无关组。 解
我们知道，?1,?2,?,?n（?i参照本章§2例1）线性无关，又任一向量§3
向量组的秩与等价向量组??(a1,a2,?,an)都可表示为??a1?1?a2?2???an?n
所以，?1,?2,?,?n是R的极大线性无关组。例2
试在向量组?1?(1,1,1,1),?2?(1,2,?1,?2),?3?(?1,?2,1,2)中找出它的一个极大线性无关组。n?2线性无关。解
?1与?2的对应分量不成比例，所以?1，又因为?3???2，故?2,?3线性相关，所以?1,?2,?3线性相关。又有?1??1?0??2,?2?0??1??2,?3?0??1?(?1)?2，所以?1,?2,?3中的任一向量都可由?1，?2线性表示，故?1，?2是向量组?1,?2,?3的一个极大线性无关组。 二．等价向量组定义2
设向量组A：?1,?2,?,?s；B：?1,?2,?,?t。若B中任一向量都可以由A中的向量线性表示，则称B可以由A线性表示。如果B可以由A线性表示，而且A也可以由B线性表示，则称A与B等价。定理1
如果线性无关的向量组A：?1,?2,?,?s可以由向量组B：?1,?2,?,?t线性表示，则s?t。证
反证法，假设s&t，由于A可以由B线性表示，故?1,?2,?,?s中的每一个向量都可以由?1,?2,?,?t线性表示，所以可设?j?则x1?1?x2?2???xs?s=t?ki?1tij?i ?j?1,2,?,s??(x?kjj?1si?1ijstij?i)=由于 ?(?ki?1j?1xj)?i=0?kj?1sijxj=0
?i?1,2,?,t?是一个关于x1,x2,?,xs的齐次线性方程组，因为未知数个数s大于方程个数t ，所以有非零解。即存在不全为零的数x1,x2,?,xs，使x1?1?x2?2???xs?s=0这与?1,?2,?,?s线性无关矛盾。从而假使不成立，故s?t。推论1 设两个线性无关的向量组A：?1,?2,?,?s和B：?1,?2,?,?t。如果A与B等价，则s?t。 三．向量组的秩由向量组的极大线性无关组定义可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，又由定理1知，它们所含向量的个数相同。定义3
向量组A的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作rank(A)，简记为r(A)。定理2
如果向量组A可以由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)。证
记s?r(A),t?r(B)。设向量组A的一个极大线性无关组为?1,?2,?,?s；向量组B的一个极大线性无关组为?1,?2,?,?t，由于向量组A可以由向量组B线性表示，则向量组?1,?2,?,?s也可以由向量组B线性表示，又由于向量组B可以由?1,?2,?,?t线性表示。所以?1,?2,?,?s也可以由?1,?2,?,?t线性表示，由定理1知，s?t。即，r(A)?r(B)。推论2
向量组A与向量组B等价，则r(A)?r(B)。 推论3
n?1个n维向量一定线性相关。?a1i????a2i?定理3
设n维向量组?1,?2,?,?m
i?1,2,?,m?????a??ni?r（r&n）维向量组?1,?2,?,?m?a1i????a??i??2i?????a??ri?i?1,2,?,m则（1）如果?1,?2,?,?m线性相关，那么?1,?2,?,?m也线性相关；
（2）如果?1,?2,?,?m线性无关，那么?1,?2,?,?m也线性无关。 证 （1）?1,?2,?,?m线性相关，则存在一组不全为零的常数k1,k2,?,km，使
k1?1?k2?2???km?m=0 则a11k1?a12k2???a1mkm?0a21k1?a22k2???a2mkm?0???????????? ar1k1?ar2k2???armkm?0 ????????????an1k1?an2k2???anmkm?0由前r个等式可知k1?1?k2?2???km?m=0故?1,?2,?,?m也线性相关。（2）逆否命题显然成立。§4
相抵标准型一．矩阵的行秩与列秩对于矩阵A，我们把它的每一行（列）称为A的一个行（列）向量。 定义1
设矩阵A，A的行（列）向量组的秩称为A的行（列）秩。 阶梯形矩阵?a11??0A??0??0?a12000a13a2300a14a24a340a15??a25?a35??0??其中a11?0,a23?0,a34?0，则A的行秩=3，列秩=3。这是因为：若把A按行分块为??1?????2?A?
????3?????4?则由x1?1?x2?2?x3?3=0容易推出，数x1,x2,x3必须全为零，所以?1,?2,?3线性无关，而?4?0。所以A的行秩等于3。若再把A按列分块为A?(?1,?2,?3,?4,?5)同样，由y1?1?y3?3?y4?4?0可推出y1?y3?y4?0，故?1,?3,?4线性无关，又易证?1,?2,?3,?4,?5中任意4个向量都线性相关（因为?i的第四个分量都为零，又由于任意4个三维向量都线性相关），所以，?1,?3,?4是向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组，因此A的列秩也等于3。由此例子可以得到一般的结论：阶梯形矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数。定理1
如果对矩阵A作初等行变换将其化为B，则B的行秩等于A的行秩。 证
只需证明每作一次倍乘、倍加和对换行变换，矩阵的行秩都不变。设A是m?n矩阵，A的 m个行向量记为?1,?2,?,?m。（1） 对换A的某两行位置，所得到的矩阵B的m个行向量仍是A的m个行向量，显然B的行秩等于A的行秩。（2） 把A的第i行乘非零常数c得矩阵B，则B的m个行向量为?1,?2,?,c?i,?,?m。显然，B的行向量组与A的行向量组是等价的。故根据本章§3的推论2知，B的行秩等于A的行秩。
（3） 把A的第i行乘非零常数c加到A的第j行得矩阵B??1???1???1???????????????????????i行乘c??ii???i?????? A????????记作???=B?????加到j行?c?????ijj???j????????????????????m????m??m?显然，B的行向量组可以由A的行向量组线性表示。又有，c?i??j??j得，?j??j?c?i??j?c?i，故，A的行向量组也可由B的行向量组线性表示。因此A与B等价，则A与B的行秩也相等。初等行变换也不改变矩阵的列秩，这是因为：定理2
对矩阵A作初等行变换将其化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即初等行变换 ??（?1,?2,?,?n)=B A=（?1,?2,?,?n）????则向量组?i1,?i2,?,?ir与?i1,?i2,?,?ir(1?i1?i2???ir?n)有相同的线性相关性。证
对矩阵A作初等行变换化为B，就是用若干个初等矩阵P1,P2,?,Ps左乘A使之等于B。记P?PsPs?1?P2P1，则有，PA=B从而P?j??j,取A1=（?i1,?i2,?,?ir），
B1=（?i1,?i2,?,?ir） 则PA1?B1，记j?1,2,?,n包含各类专业文献、中学教育、专业论文、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、各类资格考试、15第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩等内容。　
　第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里,曾经讨论过二维与三维向量。但是, 在很多实际问题中,往往需要研究更多维的向量。... 　 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习_数学_自然科学_专业资料。第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习 1. 已知向量 α ? (1,0,1)T , β ? (3,?5,... 　 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习班级: T 姓名: T ... 　实验3 矩阵的秩与向量组的线性相关性一、实验目的学会使用 Matlab 软件构作已知矩阵对应的行(列)向量组、求矩阵的秩, 对矩阵进行初等行变换, 求向量组的的秩与... 　 第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组 A. B. ...解: A. r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 12.设 A 为 m×n 矩阵... 　 第三章 线性相关性与矩阵的秩 自测题 1. 选择题 (1) 向量组 α1 , α2 , ? , αs 线性无关的充分必要条件是 A. α1 , α2 , ? , αs 都不... 　 同济版第四章向量组的线性相关性的教案_理学_高等教育_教育专区。第一节 ...教学重点:极大无关组的定义和它的等价定义, 教学重点 向量组的秩,矩阵的秩。... 　5.掌握矩阵初等变换判断向量组的相关性,求向量组的秩和极大无关组的方法. 4.2 重要公式和结论 4.2.1 向量组及其线性组合 .2.1 1. n 维向量 n 个有... 　第三章 向量组的线性相关性 1.验证 { 0} 是向量空间,其中 0 为 n 维零...r2 10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性: (1) ?1 ? (3,1,0,2...