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2015考研数学 线性代数高频考点汇总
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导语：2015 线性代数高频考点汇总。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做总结，希望对同学们复习有帮助。
一、行列式
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。
1重点内容：行列式计算
（1）降阶法
这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
（2）特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。
（1）数字型行列式的计算
（2）抽象行列式的计算
（3）含参数的行列式的计算。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。有些性质得证明必须能自己推导。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
1重点内容：
（1）矩阵的运算
（2）伴随矩阵
（3）可逆矩阵
（4）初等变换和初等矩阵
（5）矩阵的秩
2常见题型：
（1）计算方阵的幂
（2）与伴随矩阵相关联的命题
（3）有关初等变换的命题
（4）有关逆矩阵的计算与证明
矩阵可逆有哪几种等价关系？如何判别？都必须熟练掌握。
（5）解矩阵方程。
向量部分既是重点又是难点，由于n维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求，导致考生在学习理解上的困难。考生至少要梳理清楚知识点之间的关系，最好能独立证明相关结论。
1重点内容：
（1）向量的线性表示
线性表示经常和方程组结合考察，特点，表面问一个向量可否由一组向量线性表示，其实本质需要转换成方程组的内容来解决，经常结合出大题。
（2）向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。同学们一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。
（3） 向量组等价
要注意向量组等价与矩阵等价的区别。
（4）向量组的极大线性无关组和向量组的秩
（5）向量空间
2常见题型：
（1）判定向量组的线性相关性
（2）向量组线性相关性的证明
（3）判定一个向量能否由一向量组线性表出
（4）向量组的秩和极大无关组的求法
（5）有关秩的证明
（6）有关矩阵与向量组等价的命题
（7）与向量空间有关的命题。
四、线性方程组
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2013年的线性代数第一道解答题，粗看不是解方程组，如果你光会熟练计算方程组而不知如何把问题归结为解线性方程组，那么你会有英雄无用武之地的感叹，就像一个人苦练屠龙本领，结果却发现无龙可屠。
（1）齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构
（2）齐次线性方程组基础解系的求解与证明
（3）齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）。
（1）线性方程组的求解
（2）方程组解向量的判别及解的性质
（3）齐次线性方程组的基础解系
（4）非齐次线性方程组的通解结构
（5）两个方程组的公共解、同解问题。
五、特征值与特征向量
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大。
（1）特征值和特征向量的概念及计算
（2）方阵的相似对角化
（3）实对称矩阵的正交相似对角化。
（1）数值矩阵的特征值和特征向量的求法
（2）抽象矩阵特征值和特征向量的求法
（3）判定矩阵的相似对角化
（4）由特征值或特征向量反求A
（5）有关实对称矩阵的问题。
六、二次型
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
1重点内容：
（1）掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念；
（2）了解二次型的规范形和惯性定理；
（3）掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；
（4）理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。
（1）二次型表成矩阵形式
（2）化二次型为标准形
（3）二次型正定性的判别。
最后提醒大家，做题的时候一定要总结，复习到现在这个阶段了，一定要注意从各个方面来总结。比如说像线性方程组这一章，你应该总结一下，像这一块真题应该怎么考，都有什么花样，有哪些思想和技巧在里边，把这些东西归纳好了，在以后做题的时候应该怎么做就会很清楚了，考试的时候碰到这种题也就手到擒来，轻松搞定!
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线性代数基本介绍是什么
线性代数基本介绍是什么
10-02-28 &匿名提问 发布
线性代数　　线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。目录[隐藏]线性代数的发展线性代数的地位线性代数基本介绍一些有用的定理一般化和相关主题我国大学线性代数基本内容
　　[编辑本段]线性代数的发展　　由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。　　“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。[编辑本段]线性代数的地位　　线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。　　主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。　　①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；　　②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。 　　③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；　　④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。[编辑本段]线性代数基本介绍　　线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。　　现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。　　作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。　　向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。　　我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。　　线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。[编辑本段]一些有用的定理　　·每一个线性空间都有一个基。 　　·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。 　　·一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 　　·一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 　　·一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 　　·一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。[编辑本段]一般化和相关主题　　线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。　　·模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。 　　·多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。 　　·在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。 　　所有这些领域都有非常大的技术难点。[编辑本段]我国大学线性代数基本内容　　一、课程的性质与任务　　线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：　　１、行列式　　２、矩阵　　３、向量组的相关性、矩阵的秩　　４、线性方程组　　５、相似矩阵与二次型　　等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。　　在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。　　二、课程的教学内容、基本要求及学时分配　　（一）教学内容　　１、行列式　　（１） n 阶行列式的定义　　（２）行列式的性质　　（３）行列式的计算，按行（列）展开　　（４）解线性方程组的克莱姆法则　　２、矩阵　　（１）矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵　　（２）矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律　　（３）逆矩阵概念及其性质，用伴随矩阵求逆矩阵　　（４）分块矩阵的运算　　３、向量　　（１）n 维向量的概念　　（２）向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别　　（３）向量组的最大无关组、向量组的秩　　（４）矩阵的秩的概念　　（５）矩阵的初等变换，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵　　（６）n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标　　４、线性方程组　　（１）齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件　　（２）线性方程组的基础解系、通解及解的结构　　（３）非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法　　（４）用初等行变换求线性方程组的通解　　５、相似矩阵与二次型　　（１）矩阵的特征值与特征向量及其求法　　（２）相似矩阵及其性质　　（３）矩阵对角化的充要条件及其方法　　（４）实对称矩阵的相似对角矩阵　　（５）二次型及其矩阵表示　　（６）线性无关的向量组正交规范化的方法　　（７）正交变换与正交矩阵的概念及性质　　（８）用正交变换化二次型为标准形　　（９）用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形　　（１０）惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别　　（二）基本要求　　１、理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式　　２、熟练掌握行列式的基本计算方法和性质　　３、熟练掌握克莱姆法则　　４、理解矩阵的定义　　５、熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法　　６、理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性　　７、掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系　　８、理解向量空间的概念，会求向量的坐标　　９、熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组　　１０、熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用　　１１、熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法　　１２、掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念　　１３、熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法　　１４、理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和　　１５、掌握二次型正定性概念及应用　　MATLAB　　本身是一种编程语言，可作为工科线性代数的教学软件，为国内外许多大学教材所引进。
请登录后再发表评论!线性代数中求基础解系时自由未知量的选取问题_百度知道
线性代数中求基础解系时自由未知量的选取问题
0可得基础解系 (1,4
-1&#47,0,这是按 x1,4,x2 为自由未知量得到的基础解系把x2和 x3当作自由未知量也没问题, 1
-1&#47,0), (1,4),
可是不是规定把非零行的非零首元作为非自由量么？
这不是规定 这是选取自由未知量的一个简单易记的一个方法自由未知量的选取与矩阵列向量组的极大无关组有关极大无关组不是唯一的, 自由未知量的选取也不是唯一的
噢，谢谢老师
其他&1&条热心网友回答
一般化简之后会很容易看出有系数不唯0的一般不选X1，能比较容易表示出的就可以了
什么意思？
你是不是矩阵话错了？
没错啊 课本上的例题
看老师的吧线性代数！求大神解答！设a为n维列向量，且a^Ta=1,令A=E-aa^T,其中E是n阶单位矩阵，_百度知道
线性代数！求大神解答！设a为n维列向量，且a^Ta=1,令A=E-aa^T,其中E是n阶单位矩阵，
,则AX=0的通解为,若R(A)=n-1,
提问者采纳
首先可以确定,经,A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个那么就很简单了,一般像这种有a^Ta的题目,嶙(右)乘a或者aT来利用题目的条件。,因为a^Ta=1,也就是Aa=0,找一个向量,代入AX=0可以使之成立就行了。利用题目的暗示,k为任意常数--------------另外提醒一下,这个向量可能是a我们试一试代入AX=0(E-aa^T)X=0(E-aa^T)a=0a右乘进去得(E-aa^T)a=(a-aa^Ta),所以(E-aa^T)a=(a-aa^Ta)=(a-a)=0,所以a就是基础解系所以通解是x=ka,R(A)=n-1,
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