二次函数_百度百科
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在中，二次函数最高次必须为二次，
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax?+bx+c（a≠0）。二次函数的是一条对称轴平行或重合于y轴的。二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的定义是一个二次。如果令y值等于零，则可得一个。该方程的解称为方程的或函数的。外文名quadratic function简&&&&称二次函数函数图像抛物线函数表达式y=ax?+bx+c（a≠0，b、c为常数)交点式y=a(x-x1)(x-x2)常用作图方法五点法顶点式y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k常数)学&&&&科数学，物理顶点坐标（h，k）
在大约前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是，a≠0，b，c可以为0）的叫做二次函数，其中a称为，b为，c为。x为，y为。右边自变量的最高次数是2。顶点坐标 ，交点式为 （仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是 和 。
注意：“”不同于“”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“”可在实数范围内任意取值。在中适用“未知数”的概念（、中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[1-2]1.二次函数是，但抛物线不一定是。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。为直线 。[3]对称轴与抛物线唯一的交点为的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。（可巧记为：左同右异）
5.c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）
6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。
当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是；抛物线的开口向上；函数的值域是 。
当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是；抛物线的开口向下；函数的值域是 。
当 时，抛物线的是y轴，这时，函数是，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。
7.定义域：R
值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 。
：当b=0时，此函数是；当b不等于0时，此函数是。
⑵若a&0，则抛物线朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；
⑶顶点： ；
若Δ&0，则与x轴交于两点：
若Δ=0，则与x轴切于一点：
若Δ&0，与x轴无；
②顶点式： 此时顶点为（h,t)
此时，对应顶点为 ，其中, ；
③交点式：
与x轴交于 和 两点。y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]，对称轴为直线x=h，的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同，当x=h时，y最小值=k.有时题目会指出让你用把一般式化成顶点式。
例：已知y的(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的。
解：设y=a(x-1)?+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)?+2。
注意：与点在中的不同，二次函数后的中，h&0时，h越大，图像的离y轴越远，且在x轴上，不能因h前是就简单地认为是向左。[2]
具体可分为下面几种情况：
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到；
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象。[5] [仅限于与x轴即y=0有交点时的 ，即b2-4ac≥0] .
已知与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设 ,然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤： ()
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出的系数 (y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]
欧拉交点式：
若ax?+bx+c=0有两个实根x1,x2，则 此抛物线的对称轴为直线 。方法1：
已知上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：
得出一个，就能出a、b、c的。
已知上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)
利用，可以求出该二次函数的为：
与X轴交点的情况:
当 时，与x有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。
当 时，与x只有一个，即 。[2]
当 时，与x没有。x的是（ ）[2]在中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由 平移得到的。[2]二次函数图像[6]二次函数图像是图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数唯一的交点为二次函数图象的P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a,b同号，对称轴在y轴；
a,b异号，对称轴在y轴。[2]二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）
, 。[2]a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a&0时，二次函数图象向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。[2]一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要
当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像的函数解析式（）的斜率k的值。可通过对二次函数得到。[2]常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）点
注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。[2]a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与x轴无交点。
当a&0时，函数在x=h处取得最小值 =k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的是y&k
当a&0时，函数在x=h处取得最大值 =k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是[2]对称关系
对于一般式：
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与 关于顶点对称
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）
对于顶点式：
①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，相反、相同。
②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。
③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。
④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）[2]五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。
注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其。
Ps.仅是草图，正规考试会扣分在初中数学中，要求采用描点法画出二次函数图像。
其做法与五点法类似：【以 为例】
x　　……-1-0.50122.53……
……73.51-113.57……先取顶点，用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点（如果存在）、yy=2(x-1)^2-1轴交点及其对称点（如果存在）和另外两点及其对称点。
Ps.原则上相邻x的差值相等，但远离顶点的点可以适当减小差值
2、依据表格数据绘制函数图像,如图特别地，二次函数（以下称函数） ,
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。[7]
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
y=ax2(0，0) x=0
再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)2+k（h&0,k&0）的图像
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)2+k（h&0,k&0）的图像
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b?]/4a)。
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
4．y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；
(2)当 时，图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由 （A为其中一点的横坐标）
当 时，图像与x轴只有一个切点；
当 时，图像与x轴没有公共点。当a&0时，图像落在x轴的上方，x为任何时，都有y&0；当a&0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0。
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a&0，则当 时， ；如果a&0，则当 时， 。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设（表达式）为一般形式：
(2)当题给条件为已知图像的或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。[2]1.要理解函数的意义。
2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。
3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）(增减值）等的差异性。
4.联系实际对函数图象的理解。
5.计算时，看图像时切记取值范围。
6.随图象理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。[2]（1）对二次函数概念理解有误，漏掉不为0这一限制条件；
（2）对二次函数图像和性质存在思维误区；
（3）忽略二次函数自变量取值范围；
（4）平移时，弄反方向。[2]一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]一般式：y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)?+k[抛物线的顶点P(h, k)]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
, ,1.是。对称轴为直线
对称轴与唯一的交点为的顶点P。
特别地，当b=0时，的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.有一个顶点P，坐标为
当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。
当a&0时，开口向上；当a&0时，开口向下
|a|越大，则的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。
5.常数项c决定与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）交点个数
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。[2][8]软件——。几何画板画出的抛物线图象
注意：左加右减，上加下减
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高中的重要知识点总结
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
2.注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
5.德摩根定律：
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y=x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？值是（ ） A. 0
D. 3∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。）如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？注意如下“翻折”变换：
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间[m，n]上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！
（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？（x，y）作图象。
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：图象？
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“奇”、“偶”指k取奇、偶数。A. 正值或负值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些？答案：C 35. 利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）证明： （按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
43. 等差数列的定义与性质0的二次函数）
44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法
解： [练习]（2）叠乘法
（3）等差型递推公式[练习]（4）等比型递推公式[练习]（5）倒数法
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解： [练习]（2）错位相减法：（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。[练习]
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？ △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 （3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
50. 解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24
D. 10 解析：可分成两类：（2）中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5+10=15（种）情况
51. 二项式定理性质：（3）最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第表示）
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？的和（并）。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。（6）对立事件（互逆事件）：（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n=103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。 （9）向量的坐标表示表示。
57. 平面向量的数量积数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则[练习]答案：
58. 线段的定比分点※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：
60. 三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°&θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。[练习] （1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。（3）如图ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥面ABCD，且PD=AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
63. 球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r=3：1。
答案：A 64. 熟记下列公式了吗？（2）直线方程：
65. 如何判断两直线平行、垂直？66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
68. 分清圆锥曲线的定义70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如：通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。答案：
73. 如何求解“对称”问题？ （1）证明曲线C：F（x，y）=0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 （直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
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