第三章 第一节 n维向量和向量组的线性相关性64
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第三章 第一节 n维向量和向量组的线性相关性64
第三章线性方程组§3.1n维向量及其线性相关性；教学目标：掌握n维向量及其运算，准确理解向量的线；掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方；重点：；★n维向量的概念★向量的线性运算；★线性方程组的向量形式★向量组的线性组合★向量组；★线性相关和线性无关的概念；★向量组的线性相关和线性无关判定；难点：；★线性相关和线性无关的概念的理解，★向量组的线性；
线性方程组 §3.1
n维向量及其线性相关性教学目标：掌握n维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法.重
点：★ n维向量的概念 ★ 向量的线性运算★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示★ 线性相关和线性无关的概念★ 向量组的线性相关和线性无关判定难
点：★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明 内容要点一、n维向量及其线性运算定义1.1
数域F上的n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的有序数组(a1,a2,?,an) 称为数域F上的n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第i个数ai称为第i个分量. 向量常用小写希腊字母?,?,?,?来表示；向量通常写成一行
??(a1,a2,?,an)
称之为行向量；?a1?a2向量有时也写成一列
???????an????(a,a,?,a)T 称之为列向量．12n??? 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当n?3时，n维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当n?3时，n维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.F全体},R?实数域上的n维向量的全体.nn?{数域F上n维向量的?a11??a21例如，一个m?n矩阵
A?????a?m1?a1j????a2j?(j?1,2,?n)???????a??mj?a12a22?am2??a1n??a2n????amn??每一列?j组成的向量组?1,?2,?,?n称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A的每一行?i?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,m)组成的向量组?1,?2,?,?m称为矩阵A的行向量组.??1?????2?A记为A?(?1,?2,?,?n) 或 A??????????n?根据上述讨论，矩阵.这样，矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.定义1.2
两个n维向量??(a1,a2,?,an)与??(b1,b2,?,bn)的各对应分量之和组成的向量，称为向量?与?的和, 记为???，即????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：??????(??)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn).定义1.3 n维向量??(a1,a2,?,an)的各个分量都乘以实数k所组成的向量，称为数k与向量?的乘积（又简称为数乘），记为k?，即k??(ka1,ka2,?,kan).向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ???????;(2) (???)?????(???); (3) ??o??; (4) ??(??)?o; (5)
1???;(6) k(l?)?(kl)?;(7) k(???)?k??k?; (8) (k?l)??k??l?.二、
n维向量空间定义2.1：数域P上的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为数域F上的n维向量空间，记作F．R称为你n维实向量空间.nn 三、 向量组的线性组合 定义3.1
给定向量组A:?1,?2,?,?s，对于任何一组实数k1,k2,?,ks, 表达式k1?1?k2?2???ks?s称为向量组A的一个线性组合, k1,k2,?,ks称为这个线性组合的系数. 注：k1,k2,?,ks可以都取零定义3.2 给定向量组A:?1,?2,?,?s和向量?, 若存在一组数k1,k2,?,ks,使??k1?1?k2?2???ks?s,则称向量?是向量组A的线性组合, 又称向量?能由向量组A:?1,?2,?,?s线性表示(或线性表出).注：(1)?能由向量组?1,?2,?,?s唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组?1x1??2x2????sxs??有唯一解；(2) ?能由向量组?1,?2,?,?s线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组?1x1??2x2????sxs??有无穷多个解；(3) ?不能由向量组?1,?2,?,?s线性表示的充分必要条件是线性方程组?1x1??2x2????sxs??无解； 四、向量组间的线性表示定义4.1 设有两向量组A:?1,?2,?,?s;B:?1,?2,?,?t,如果向量组A：?1,?2,?,?t中每一个向量?i(i?1,2,?,t)都可以经向量组B:?1,?2,?,?s线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t就称为可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组?1,?2,?,?t可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，向量组?1,?2,?,?s可以经向量组?1,?2,?,?p线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t可以经向量组?1,?2,?,?p线性表出. 向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，那么向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价.3）传递性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?p等价，那么向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?p等价.例1
设?1?(2,?4,1,?1),?2?(?3,?1,2,?5/2), 如果向量满足3?1?2(???2)?0, 求?.TT解
由题设条件,有3?1?2??2?2?0 则有???12(2?2?3?1)???2?32?1??(?3,?1,2,?5/2)?T32(2,?4,1,?1)T?(6,?5,?1/2,1).T 例2 设?1?(1,0,2,?1),?2?(3,0,4,1),??(?1,0,0,?3). 问?是否可由?1,?2线性表示. 解： 设??k1?1?k2?2，可求得k1?2,k2??1，所以有??2?1??2,因此?是?1,?2的线性表出.例3 证明:向量??(?1,1,5)是向量?1?(1,2,3),?2?(0,1,4),?3?(2,3,6)的线性组合并具体将?用?1,?2,?3表示出来.证
先假定???1?1??2?2??3?3,其中?1,?2,?3为待定常数，则(?1,1,5)??1(1,2,3)??2(0,1,4)??3(2,3,6)?(?1,2?1,3?1)?(0,?2,4?2)?(2?3,3?3,6?3)?(?1,2?1,3?1)?(0,?2,4?2)?(2?3,3?3,6?3) 由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:??1?2?3??1??2?1??2?3?3?1?3??4??6??523?1??1?1???2?2.????1?3于是?可以表示为?1,?2,?3的线性组合，它的表示式为???1?2?2??3. 向量组的线性组合例4 任何一个n维向量??(a1,a2,?,an)都是n维单位向量组 ?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,0,?,0),?,?n?(0,0,?,0,1)的线性组合.TTTT解：因为 ??a1?1?a2?2???an?n. 例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解：因为o?0??1?0??2???0??s. 例6 向量组?1,?2,?,?s中的任一向量?j(1?j?s)都是此向量组的线性组合. 解：因为
?j?0??1???1??j???0??s. 五、线性相关性的概念定义5.1
给定向量组A:?1,?2,?,?s, 如果存在不全为零的数k1,k2,?,ks, 使k1?1?k2?2???ks?s?0,
(1)则称向量组A线性相关, 否则称为线性无关.
线性相关的概念的理解：“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一组不全为零的常数”使得k1?1?k2?2???ks?s?0,则称向量组A:?1,?2,?,?s,线性相关.例5.1 向量组?1??2，?2??3，?3??4，?4??1，判定该向量组线性相关.解：取一组常数1，-1，1，-1使得（ 1?1??2）-（1?2??3）?（1?3??4）-（1?4??1）?0，
所以?1??2，?2??3，?3??4，?4??1线性相关. 线性无关的定义的理解：线性无关的定义：若向量组?1,?2,?,?s不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,?,ks?P，使k1?1?k2?2???ks?s?0则称?1,?2,?,?s为线性无关的．等价定义：一个向量组?1,?2,?,?s，若k1?1?k2?2???ks?s?0， 只有k1?k2???ks?0时成立，则称?1,?2,?,?s为线性无关的．等价定义：一个向量组?1,?2,?,?s，对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks?P，使k1?1?k2?2???ks?s?0,则称该向量组线性无关.等价定义：一个向量组?1,?2,?,?s，存在一组常数k1,k2,?,ks?P使得k1?1?k2?2???ks?s?0，可求得k1?k2???ks?0，则称?1,?2,?,?s为线性无关. （1，0），??（0，1）例5.2 若向量组??，则向量组?，?线性无关.找不到一组不全为零的常数k1,k2使得k1??k2??0，所以向量组?，?线性无关.或者，若存在一组常数k1,k2使得k1??k2??0，则可求得k1?k2?0， 所以，向量组?，?线性无关.（1，1），??(k,k)，则向量组?，?线性相关. 例5.3 若向量组??因为??k?,有k????0，即存在k,?1不全为零的数使得k????0，所以向量组?，?线性相关例5.4 向量组?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,0,?,0),?,?n?(0,0,?,0,1)线性无关注: 给定向量组A:?1,?2,?,?s, 如果存在数k1,k2,?,ks, 使得TTT包含各类专业文献、文学作品欣赏、应用写作文书、专业论文、中学教育、幼儿教育、小学教育、高等教育、生活休闲娱乐、行业资料、各类资格考试、第三章 第一节 n维向量和向量组的线性相关性64等内容。　
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设两个向量组有相同的秩，且其中一个可被另外一个线性表出，证明这两个向量组等价
可以用利用线性无关的定义来证。这里有一种较取巧的证法：设向量组A与向量组B有相同的秩为r，A可由B线性表出，则A有极大线性无关组（a1,a2,...,ar)B有极大线性无关组(b1,b2,...,br)将之放到一起组成向量组C（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br),则由于b1,b2,....,br可线性表出a1,a2,...,ar中的任意一个，所以由极大线性无关组的定义，b1,b2,...,br是C中的极大线性无关组，于是C的秩为r，但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的，因此也是C的极大线性无关组，这样a1,a2,...,ar就与b1,b2,...,br等价，因此A与B就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）
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,bn)包含在W中...,am),bn 是V的一组正交基所以 bi 与 aj 正交., W=L(bm+1..,...,ai)=k(a..,m所以 a = km+1bm+1+,a2., i=1,m且 a 可表示为 a = k1a1+k2a2+.,
i=1.,,am, W与L(a1.,,am 线性无关..kmam+km+1bm+1+,a2.,ka∈W
所以 W是V的一个子空间.,2.kmam = a -km+1bm+1-..,ai)=0.,, (b...,.,, 对W中任一向量a......,ai)=0., k∈F
(a,ai)=(a,...,a2,ai)=0,ai)=0...
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将 am+1.,,,2..,bn)因为 a1.,am...反之,a2.-knbn两边对ai作内积得 ki(ai证明..+knbn则 k1a1+k2a2+,,ai)=0,bn)综上...+knbn ∈L(bm+1..,m
所以 (a+b,bm+1,ai)+(b,,
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