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你说过‘矩阵幂零的充要条件是其特征值全为零。’可是又说A不一定为
你说过‘矩阵幂零的充要条件是其特征值全为零。’可是又说A不一定为零。不是矛盾的吗，既然是充要条件，那就满足当他特征值全是幔郎弟干郗妨甸施鼎渐零的时候，A^k=0.而此刻的k当然包含1
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毒淄操煌鬲号叉铜常扩概念错误，A的N次方为0，并不表示A一定为0矩阵，只能表示A的特征值全是0，特征值全是0的矩阵就一定是0矩阵吗？如c=0.01.0
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出门在外也不愁北方交通大学学报980601
JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONG
UNIVERSITY
第6期1998年12月 第22卷(总第82期)
时变离散系统的渐进稳定性
检验定理及算法*
肖　扬　杜锡钰
(北方交通大学电子信息工程学院，北京
摘　要　提出了时变离散系统的渐近稳定性检验定理和算法.给出基于时变离散系统的传输矩阵的范数或谱半径检验定理的判椐, 为时变离散系统的渐近稳定的充分和必要条件. 讨论了时变离散系统与端点离散时不变系统两者间稳定性检验的区别，表明时变离散系统的稳定性不能由其时变系统矩阵集合的端点矩阵来确定.
关键词　时变离散系统　渐近稳定性检验　定理　算法
分类号　TN911.72
Theorem and Algorithm of
Asymptotic Stability
Test for Time-Variant Discrete System
Xiao Yang　Du Xiyu
（College of
Electronics and Information Engineering, Northern Jiaotong University, Beijing 100044）
Abstract　The theorem and algorithms of asymptotic stability test for
time-variant discrete systems are presented. Based on the norm or spectral radius of
transfer matrices of the systems, the criteria of the test theorems presented here are
necessary and sufficient conditions for asymptotic stability of time-variant discrete
systems. The difference of stability test between time-variant discretesystems and extreme
time-invariant discrete systems has been discussed. A counterexample that the stability of
a time-variant discrete system can not be determined by the extreme matrices of its
time-variant system matrix set.
Key words　time-variant discrete
system　asymptotic stability test　theorem algorithm
1　时变离散系统的渐近稳定性检验存在的问题
　　时变数字滤波器、自适应滤波器、卡尔曼数字滤波器、ARMA模型和动态数字系统控制的有限字长的实现都可以用时变离散系统来表示.人们要求这些系统不论是用软件还是硬件来实现都应是稳定的.
　　时不变不确定(或区间)离散系统的系数变化是随机的,不能表示为时间的函数,系统矩阵的全部特征根在单位圆内是系统稳定的充分必要条件［1］.时变离散系统的系数可表示为时间的函数,系统矩阵的全部特征根在单位圆内并不能保证系统是稳定的［2，3］,如例1;系统矩阵有单位圆外的特征根,系统不一定是不稳定的［3］, 如例2.而大部分关于时不变不确定离散系统鲁棒稳定性的最新结论［1，4～8］,并不能作为判断时变离散系统稳定性的充分必要条件.
　　例1　时变离散系统的系数矩阵一致有界,且特征根都在单位圆内,但零解并不稳定.
的根都在单位圆内,但其通解为
其中　C1和C2为常数，因为x(n)含有2n，而2n→∞(当n→∞)，故零解不稳定.
　　例2　时变离散系统系数矩阵一致有界,且在单位圆内外都有特征根,但零解渐进稳定.
在单位圆内外都有根,但其通解为
其中　C1和C2为常数，显然零解渐进稳定.
　　在已有的有关时变离散系统稳定性分析的结果中,也存在一系列问题.文献［9,10］给出的仅是时变离散系统渐近稳定的充分条件.文献［3］提出的反例证明文献［11］给出的时变离散系统BIBO稳定的充分必要条件只是一个充分条件.文献［12］试图以时变离散系统矩阵对应的端点矩阵积的范数是否小于1作为时变离散系统渐近稳定的充分必要条件,这里存在几个问题:①文献［12］所定义的是基于区间矩阵的一类特殊时变离散系统,不具有一般性,因而其结论不能直接推广到一般时变离散系统;②构造时变离散系统矩阵的端点矩阵集合的积的端点矩阵排序不同, 其积的范数有可能不同,
从而可能得出不同的稳定性检验结果；③当时变离散系统矩阵的端点矩阵集合的积的范数随状态n的增加呈增幅振荡时,虽能找到小于1的范数,但系统并非渐近稳定;④对于短周期时变离散系统，文献［12］的基于范数的判据只是时变离散系统渐近稳定的充分条件,而非充分必要条件.如例1和例2所示,不同于时不变离散系统,时变离散系统的系统矩阵的特征值不能反映其是否稳定.而文献［13］试图用时变离散系统矩阵的元素绝对值上界所对应的时不变离散系统矩阵作为其系统稳定的充分必要条件,然而本文第3节的反例证明了它是错误的.
　　基于上述问题,笔者提出:对于一般时变状态空间离散系统,可以根据K步(或者K个状态)的系统传输矩阵特性而不是系统矩阵来获得系统稳定的必要充分条件.
2　时变离散系统渐近稳定的充分必要条件
　　一个零输入时变离散系统可用状态空间
x(n+1)=A(n)x(n)(1)
亦可表示为
x(n+1)=T(n+1，0)x(0)(2)
其中　x(0)=［x1(0)x2(0)…xN(0)］T，x(n)=［x1(n)x2(n)…xN(n)］T，及
T(n+1，0)=T(n)T(n-1)…A(0)(3)
T(n+1,0)被定义为系统在n步(或n状态)的传输矩阵. 当上述系统能用如式(1)所示的状态空间方程来描述时, 可得如下时变离散系统的渐近稳定性定义和定理.
　　定义1　如果时变离散系统式(1)的解(零状态响应)满足
那么时变离散系统式(1)被定义为是渐近稳定的,这里‖x‖为向量x的2范数.
　　定理1　当且仅当任取σ∈(0，1),存在一个有限整数k&0, 当n≥k时
‖T(n，0)‖&σ(5)
时变离散系统式(1)是渐近稳定的, 这里T(n,0)如式(3)所定义,‖T‖为矩阵T的2范数，其定义为矩阵T的最大奇异值max［SVD(T)］.
　　在Matlab软件包中，SVD(T)＝S 定义为维数与T相同的对角矩阵，其矩阵元素非负，按递减方式在对角线上排列.S与T的关系为T＝USV′,U和V为单位矩阵.
　　证明　充分性是显而易见的,因为在条件式(5)下, 系统式(1)是一个收敛映射.
　　必要性　假设时变离散系统式(1)是渐近稳定的, 由定义1可以推出
那么任取σ∈(0，1),可以找到k,满足‖T(k,0)‖=σ. 当n&k时, 由式(6),总能使得‖T(n,0)‖&σ.证毕.
　　由定理1可见, 时变离散系统的渐近稳定性由它的时变传输矩阵的特性决定.动态时不变离散系统的系数在某些范围内是受扰动的和无规律的, 而时变离散系统的传输矩阵T(n,0)是离散时间n的函数,其系统的渐近稳定性可由分析T(n,0)的特性得到.
　　定理2　当且仅当任取σ∈(0，1),存在一个有限整数k&0, n≥k时
ρ［T(n,0)］&σ(7)
式(1)所示的时变离散系统是渐近稳定的, 这里T(n,0)如式(3)所定义, ρ(*)为谱半径.
　　证明　充分性是显而易见的, 因为在条件式(7)下, 系统式(1)是一个收敛映射.
　　必要性　假设时变离散系统式(1)是渐近稳定的, 因为2范数和谱半径有下列关系
ρ［T(n,0)］≤‖T(n,0)‖(8)
所以由式(6)可得
那么任取σ∈(0，1),可以找到k,满足ρ［T(k，0)］=σ.当n&k时,由式(9)总能使得ρ［T(n，0)］&σ.证毕.
　　定理1和定理2是基于这样一个事实:时变离散系统在零输入条件下,系统的稳定状态由传输矩阵决定;而当k足够大时,k为有限的常数,n≥k,传输矩阵只能进入稳定的时不变矩阵集合或非稳定的时不变矩阵集合，此时,系统的稳定与否由传输矩阵进入的时不变矩阵集合稳定性决定.
　　定理1和定理2分别采用了2范数和谱半径来检验时变离散系统的传输矩阵的稳定性,两者的关系为:当n趋于无穷时,式(8)的等号成立;当n足够大时,传输矩阵的2范数值与谱半径值接近.与定理1相比,定理2可用较少的状态k确定时变离散系统传输矩阵的稳定性.
　　在实际应用中,对于高阶系统,传输矩阵状态k的增加将意味着检验计算量的急剧增加.因此,人们希望找到一种可用更少状态确定时变离散系统的传输矩阵的稳定性算法.
　　定理3　如果存在有限整数n≥M≥2时均满足
ρ［T(n，n-M)］&1(10)
时变离散系统式(1)是渐近稳定的,其中T(n,n-M)由式(2)可得
证明　设n=kM, 由传输矩阵的性质
T(n，0)=T(n，n-M)T(n-M,n-2M)…T(M，0)(12)
则T(n, 0)为k个子传输矩阵的积.由谱半径的性质,我们有
ρ［T(n，0)］≤ρ［T(n，n-M)］ρ［T(n-M，n-2M)］…ρ［T(M，0)］(13)
由式(13)，k个子传输矩阵的谱半径均小于1,则存在一个常数a&1,使得
max{ρ［T(n，n-jM)］}&a，对于j=1，2，…，k(14)
由式(13)与式(14)可得
ρ［T(n，0)］≤ak(15)
由于n=kM，M为有限整数,当n趋于无穷时，k亦趋于无穷,式(15)右端趋于0,即
这意味着系统式(1)是一个收敛映射,所以系统是渐近稳定的.证毕.
　　定理3的条件是系统渐近稳定的充分条件,检验定理3的条件是容易的,只需有限的计算, 它既可用于非周期时变离散系统, 亦可用于周期时变离散系统.
　　对于周期时变离散系统, 可以得到不同于定理1和定理2的系统渐近稳定的充要条件.
　　定理4　周期为M(M≥2)的时变离散系统是渐近稳定的,当且仅当
ρ［T(M，0)］&1(16)
　　证明　充分性　周期为M(M≥2)的时变离散系统的系统矩阵满足
A(n+M)=A(n)，n=0，1，…，M(18)
设n=kM,由式(12)与式(18)可推出传输矩阵满足
T(n,n-M)=T(n-M,n-2M)=…=T(M，0)(19)
因为ρ［T(M，0)］&1,由式(19), 当j=0,1,…,k时,ρ［T(n，n-jM)］&1.由定理3,该时变离散系统是渐近稳定的.
　　必要性　设n=kM,由式(19)，有
ρ［T(n，0)］=ρ［T(n，n-M)］ρ［T(n-M,n-2M)］…ρ［T(M，0)］=ρk［T(M，0)］(20)
因为周期为M的时变离散系统是渐近稳定的, 则
进而由式(21)推出ρ［T(M，0)］&1.证毕.
　　定理4仅适用于周期时变离散系统,而定理3则无此限制.如用定理4检验例1和例2的时变离散系统,只需检验一个周期内的传输矩阵是否稳定,即可判断系统的稳定性,即只需检验ρ［T(2，0)］是否小于1.
3　算法与应用举例
　　根据定理1～4,我们能找到四种算法来检验式(1)所给出的时变离散系统的渐近稳定性. 对于周期时变离散系统,可用定理4作为检验算法.在实际的稳定性检验中,主要关注三点:首先,检验是否为充分必要条件;其次,检验算法是否能实现;第三,检验的计算量是否可以接受.
　　考虑到以上三个方面,对于一般非周期时变离散系统,可采用定理1、2作为检验算法. 这里,只介绍基于定理1、2的一个有限实现算法.
　　渐近稳定性检验算法:第一步　设定一小常数σ《1(接近于0),令k=1.第二步　检验传输矩阵T(k,0)是否满足定理1、2的条件.第三步　如果第二步中的检验是成功的,则最后结论被检验系统是稳定的.如果第二步检验是失败的,就进到第四步.如果k足够大且检验在第二步也不成功,则能得出结论，被检验系统非渐近稳定.第四步　k+1,返回第二步.
　　在有限字长的32位浮点计算机上实现上述渐近稳定性检验算法时,所得到的检验结果在理论上仍是近似的,但可满足工程上要求的可靠性.由定理1、2可见,小常数σ的选取是任意的,渐近稳定的时变离散系统的传输矩阵的2范数和谱半径可以在有限的k步达到σ.工程上的时变离散系统的状态变量为0可以用有限的小数表示,
如小于10-9即认为状态变量为0.此时选取小常数σ为工程上接受的有限的小数, 即可得到满足工程上技术要求的结果.
　　有可能存在一小类时变离散系统的传输矩阵的2范数和谱半径既不发散,也不收敛于0,而收敛于接近于0、但非0的常数,设其为c, c《1(接近于0).在上述渐近稳定性检验算法中, 如果选取的小常数σ&c，则有可能将该类时变离散系统视为渐近稳定,而这类时变离散系统实际是有界稳定的.根据定理1、2,可在算法中进一步调小σ,但这受计算机CPU字长和算法实现用软件程序的字长的限制.在工程上,一定的技术条件下,c&σ(满足工程上的精度),这类有界稳定的时变离散系统可视为渐近稳定的.
　　上述渐近稳定性检验算法只是定理1、2的一个有限实现,对于传输矩阵的2范数和谱半径发散或收敛很慢的时变离散系统,选取很小的常数σ(由技术条件而定)时,状态数k须足够大才能做出判决,具体k值的选取依试算结果而定.
　　作为上述渐近稳定性检验算法的补充,如果上述两类时变离散系统是周期的,可以采用定理4检验.如果上述两类时变离散系统是非周期的,可采用定理3检验,但须注意定理3只是渐近稳定的充分条件.
　　下面,我们提出对文献［13］的定理1(我们称为猜想1)的反例(例3),证明由时变离散系统的系统矩阵并不能完全确定其稳定性.
　　猜想1(文献［13］的定理1)时变离散系统式(22)是渐近稳定的
x(n+1)=A(n)x(n)(22)
当且仅当相应的端点时不变离散系统式(24)是渐近稳定的
比较式(23)与式(25)可以看出, 相应的端点时不变离散系统矩阵的元素是时变离散系统矩阵A(n)的元素的绝对值的上界.猜想1的作者认为:时变离散系统稳定与否取决于相应的端点时不变离散系统矩阵的稳定性.
　　例3　这是对猜想1的一个反例. 考虑下面零输入时变离散系统.
y(n)=a1(n)y(n-1)+a2(n)y(n-2)+a3(n)y(n-3)(26)
这里,an=0.5(-1)n，a2(n)=0.5(-1)n，a3(n)=0.5(-1)n,y(0)=y(-1)=y(-2)=y(-3)=C,C为常数.
　　把式(26)的系统差分方程变成系统状态方程的形式,
x1(n-1)=y(n-1),x2(n-1)=y(n-2)，x3(n-1)=y(n-3)，x1(n)=y(n)，
把式(27)写成系统矩阵的形式:x(n+1)=A(n)x(n),它的系统矩阵为
根据猜想1的式(23)和式(25), 得相应的时不变离散系统矩阵
检验(29)式矩阵的最大特征值，得到:λmax=1.2388, 所以系统矩阵为式(29)的时不变离散系统是不稳定的, 由猜想1得到式(26)的时变离散系统亦不稳定.
　　然而,应用本文定理3检验式(26)的时变离散系统,可发现猜想1的检验结论是错误的. 由定理3,只需检验下列一步传输矩阵的范数
由定理3,式(26)的时变离散系统是渐近稳定的.
　　为进一步验证定理3的检验结果是可靠的,利用上述基于定理1、2的稳定性检验算法, 得到例3的传输矩阵的范数和谱半径的收敛性,如图1和图2所示.
图1　传输矩阵2范数的收敛性
图2　传输矩阵谱半径的收敛性
在例3中,虽然时变离散系统的端点矩阵是不稳定的,有单位圆外矩阵特征值,但是时变离散系统却是渐近稳定的,这与猜想1的条件矛盾.因此,猜想1即文献［13］的定理1不是充分必要条件.从时变离散系统的系统矩阵的时变系数上限和下限所对应的端点矩阵,一般不能作出该系统稳定与否的结论.
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E I. A Stability Analysis of Two-Dimensional Nonlinear Digital State-Space Filters. IEEE
Trans. Acoustic. Speech and Signal Processing, ):1578～1586
　　*　国家自然科学基金资助项目
　　本文收到日期 　肖扬 男 1955年生 副教授　email
yxiao@center.当q不等于0，q不等于1时，『An』为等比数列，充要条件为Sn=R+（-k）×q的n次方，（k不等于0）_百度知道
当q不等于0，q不等于1时，『An』为等比数列，充要条件为Sn=R+（-k）×q的n次方，（k不等于0）
忙证明一下
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(1-q))*q^n其中R=-k=a1&#47，an=Sn-S(n-1)=(-k)×(q^n-q^(n-1))代入a1;(1-q)Sn=R+(-k)×q^n时a1=S1=R-k*qn&(1-q)-(a1&#47当q不等于0;=2时，q不等于1时Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=a1&#47
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你真棒！谢谢。
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