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已知函数f（x）=mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1），（1）求y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）+x-1仅有一个零点，求实数m的值；（3）试探究函数f（x）是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t，s] ，试求s-t的取值范围？若没有，请说明理由。
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省模拟题
解：（1）∵点P在函数y=f（x）上，由f x）=得：，故切线方程为：y=-x+1；（2）由g（x）=f（x）+x-1＝可知：定义域为（-1，+∞），且g（0）=0，显然x=0为y=g（x）的一个零点；则，①当m=1时，，即函数y=g（x）在（-1，+∞）上单调递增，g（0）=0，故仅有一个零点，满足题意；②当m&1时，则，列表分析：∵x→-1时，g（x）→-∞，∴g（x）在上有一根，这与y=g（x）仅有一根矛盾，故此种情况不符题意；（3）假设y=f（x）存在单调区间，由f（x）=得：，令，∵，h（-1）＝m+2-m-1＝1＞0，∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在两个不同的实数根s，t，的解集为（t，s），即函数f（x）存在单调区间[t，s]，则s-t=，由m≥1可得：s-t。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1），（1）求y=f（x）在点P（0，1）处..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数零点的判定定理，导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数零点的判定定理导数的概念及其几何意义
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
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271414779282889069470032292986465764(12分)．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！名师解析高考押题名校密卷高考冲刺高三提分作业答案学习方法问题人评价，难度：0%(12分)．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．马上分享给朋友：答案还没有其它同学作出答案，大家都期待你的解答点击查看答案解释 (3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因为x&1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)&g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.点击查看解释相关试题北京四中，人大附中老师面对面教学，每天学习1小时，成绩提高30分。快来免费试听。
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科目：高中数学
来源：学年北京市十一学校高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）&记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
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科目：高中数学
来源：学年江西省百所重点高中高三（上）段考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）&记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
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科目：高中数学
来源：学年江苏省常州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）&记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
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科目：高中数学
来源：学年甘肃省天水一中高一（下）第二次段考数学试卷（解析版）
题型：解答题
已知函数，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（2）如果对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．
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科目：高中数学
来源：2013届广东省梅州市高二第二学期3月月考理科数学试卷
题型：解答题
已知函数& （a∈R）．
&(1)若在[1，e]上是增函数，求a的取值范围；&
（2）若a=1，1≤x≤e,证明：&.
点击展开完整题目（2008o湘西州）已知抛物线y=-（x+2）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；
（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE=m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
（1）根据方程的两个根及函数的对称轴，易求A，B，C三点坐标；
（2）求出函数解析式，根据定点画出平滑的曲线；
（3）由勾股定理求出AC的长，由三角形内的平行关系，得到一个比例关系，从而求出EF，作辅助线把△CEF的面积用m表示出来，再求出其最值，并求出顶点坐标，也解决了第三问．
解：（1）方程x2-10x+16=0的两根为x1=8，x2=2，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0）C（0，8）
∵函数y=-（x+2）2+k的对称轴为x=-2，
∴A（-6，0），
即A（-6，0）B（2，0）C（0，8）．（3分）
（2）B点在y=-（x+2）2+k上，
∴0=-（2+2）2+k，
∴k=．（5分）
函数解析式为y=-（x+2）2+，
顶点坐标为-2，），大致图象及顶点坐标如右．（7分）
（3）∵AE=m，AB=8，
∴BE=8-m，
∵OC=8，OA=6，据勾股定理得AC=10，
∵AC∥EF，
∴即，EF=，（10分）
过F作FG⊥AB于G，
∵sin∠CAB=sin∠FEB=，
而sin∠FEB=，
∴FG=8-m．& 12分
∵S=S△CEB-S△FEB=×BE×OC-×BE×FG=-m2+4m，
∴S与m的函数关系式为S=-m2+4m，m的取值为0＜m＜8．
（4）∵S=-m2+4m中-，
∴S有最大值．
S=-（m-4）2+8，当m=4时，S有最大值为8，
E点坐标为：E（-2，0），
∵B（2，0），E（-2-，0），
∴△BCE为等腰三角形．当前位置：
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已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（Ⅱ）若函数y=x2+x-5的图象与函数y=k-2x的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围；（Ⅲ）记函数|f'（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥32．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2bx+c，由题知f′（1）=0=>3+2b+c=0，f′（1）=-1=>1+b+c+2=-1∴b=1，c=-5（2分）f（x）=x3+x2-5x+2，f′（x）=3x2+2x-5f（x）在(-53，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数∴b=1，c=-5符合题意．（3分）（Ⅱ）即方程：x2+x-5=k-2x恰有三个不同的x3+x2-5x+2=k（x≠0）即当x≠0时，f（x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，由（1）知f（x）在(-∞，-53)为增函数，f（x）在(-53，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数，又f(-53)=22927，f（1）=-1，f（0）=2∴-1＜k＜22927且k≠2（8分）（Ⅲ）|f′(x)|=|3x2+2bx+c|=|3(x+b3)2+c-b23|①当|-b3|≥1即|b|≥3时，M为|f′（1）|与|f′（-1）|中较大的一个2M≥|3+2b+c|+|3-2b+c|≥|3+2b+c-（3-2b+c）|=|4b|≥12∴2M≥6，M≥3，满足M≥32②当|-b3|≤1即-3≤b≤3时，M为|f′(1)|，|f′(-1)|，|f′(-b3)|中较大的一个4M≥|f′(1)|+|f′(-1)|+|f′(-b3)|+|f′(-b3)|=|3+2b+c|+|3-2b+c|+2|c-b23|≥|3+2b+c+3-2b+c-2c+2b23|=|6+23b2|≥6∴M≥32综合①②可知M≥32（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（..”考查相似的试题有：
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