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&[] - 清华大学徐士良的常用算法程序集第四版，用C++语言描述的，对于常写算法的人很有帮助。
void QR(double *a, double *d, int n) 矩阵的QR分解
假设数组an*n在内存中按行优先次序存放，此函数使用HouseHolder变换将其就地进行QR分解。
d为输出参数，d[0,n)存放QR分解的上三角矩阵对角线元素。
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&[] - 详细说明：矩阵的转置、行列式、秩，逆矩阵求法，矩阵的三角分解、QR分解，对称正定矩阵的乔里斯基分解及行列式值，奇异值分解，广义逆的奇异值分解，矩阵特征值与特征向量的各种计算方法-(all kinds of computational method of transposition of matrix
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怎么证明 上三角矩阵的逆矩阵依旧是上三角矩阵。。。。收藏
或者能证明 EKEK-1......E2E1是上三角矩阵也行
反证很简单
对阶数用归纳法，首先一阶上三角矩阵就是一阶矩阵，成立。如果n=k已经成立，对阶数n=k+1的上三角矩阵P=[a,x;0,A]，其中A是一个可逆的k阶上三角矩阵，a是一个数，不是0，x是n维行向量，且A的逆矩阵是B。令Q=[1/a,-Ax/a;0,B]，验算可知PQ=QP=E(k+1)，说明n=k+1时也成立。
——来自 Surface RT (爱贴吧HD)
不管怎么想都很显然。方法1：考虑伴随矩阵。方法2：若初等行变换把A变为I,那么它把I变为A^(-1)，而把上三角矩阵变为I是一件非常简单的事情。
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n阶多项式拟合与n阶矩阵求逆的C语言实现
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/*********************************************************************************&该程序实现对n维输入x，n维输出y，给出n阶多项式拟合系数，功能和matlab中polyfit(x,y,n)类似， &&涉及知识有QR分解、AX=Y的最小二乘问题、上三角矩阵求逆问题。其中QR分解采用施密特正交法，&AX=Y的最小二乘问题以下类似这样一个问题：3维空间中一个向量，和x、y平面中的哪个向量的欧式距离最小？这个问题就很形象了，答案也很简单，即该向量在
x、y平面的投影向量。所以AX=Y的最小二乘解与此类似，在此不多说了。上三角矩阵求逆这个是有公式的，下面提到的一篇论文里给出了，不过我推导了一下，发现几处打印错误。*********************************************************************************/#include "stdafx.h"#include "stdlib.h"&#include "string.h"&#include "math.h"&&static double * qr_fraction(double *a, int m, int n, double **q);//QR分解static double * up_tria_inv_n_ord(double *t,int n);//n阶上三角矩阵求逆static double * array_mut(double *A, double *x, int m, int n);//m * n型,矩阵乘以向量static double * array_trans_mut(double *A, double *x, int m, int n);//m * n型 矩阵转置乘以向量static double * polyfit(double *x, double *y, int len,int order);//根据待拟合向量,给出拟合的order阶多项式系数static double polyval(double *coef, int order, double x);//多项式带入数值进行插值运算static double *matrix_trans_mul(double *A, double *B,int order);static double *inv(double *A, int order);//
order&阶矩阵求逆int main(){ double x[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; double y[10] = {1,3,7,8,5,3.5,1,-2.5,-8,-16}; double *coef = NULL; int i = 0; /* 拟合多项式 f(t) = coef[0]*t^3 + coef[1]*t^2 + coef[2]*t^1 + coef[3] & */ coef = polyfit(x, y, sizeof(x)/sizeof(x[0]), 5);//5阶多项式拟合 //以下结果与matlab拟合的结果一致& & & & printf("coef[0-5] = %lf %lf %lf %lf&%lf &%lf\n",coef[0],coef[1],coef[2],coef[3],coef[4],coef[5]); & & double yy = polyval(coef, 5, 11); free(coef);//polyfit 返回的是堆内存 double A[4][4] = {{1,2,3,4},{2,3,4,7},{1,1,0,11},{-1,7,0,11}}; double *INV_A = inv(&A[0][0], 4); for(i = 0; i & 4; i++) {
printf("%lf &%lf &%lf &%lf\n",INV_A[4*i+0],INV_A[4*i+1],INV_A[4*i+2],INV_A[4*i+3]);& } return 0;}/**************************************************************************//*****************************************************************************double * qr_fraction(double *a, int m, int n, double **q)参数： a为待分解m*n矩阵，q用来回传Q阵返回：R阵 & 满足a = QR说明：算法采用施密特正交法，参考《高等数值算法与应用（三）》****************************************************************************/static double * qr_fraction(double *a, int m, int n, double **q)//m &= n,列满秩{ int i = 0; int j = 0; int k = 0; & & & & & & && //调用malloc()必须自己free()，不然多次调用就会内存泄露的 double *Q = (double *)malloc(sizeof(double)*m*n); //Qm*n& & double *R = (double *)malloc(sizeof(double)*n*n); //Rn*n memset(R,0,sizeof(double)*n*n); for(i = 0; i & i++) & //A矩阵共n列 {
double tmp = 0;
for(j = 0; j & j++)//求A矩阵各列的模,m个元素平方和，再开方
tmp += a[n*j + i]*a[n*j + i]; & // &i = 0时， a[0] a[n] a[2*n] ... a[(m-1)*n]
tmp = sqrt(tmp);//得到矩阵列的模
R[i*n + i] =//R[i][i] 即R矩阵的对角元
/////////////////////////////
//第一列的模得到后，就可以得到归一化的Q1(Q的第一列)
for(j = 0; j & j++)//求A矩阵各列的模,m个元素平方和，再开方
Q[n*j + i] = a[n*j + i] / & // &i = 0时， a[0] a[n] a[2*n] ... a[(m-1)*n]
for(j = i + 1; j & j++)//
for(k = 0; k & k++) & & //R[i][j] = &qi, aj& qi与aj内积 Q的j列，A的k列
{& & & & & & & & tmp += Q[n*k + i] * a[n*k + j];
R[n*i + j] = & //得到R[i][j]
for(k = 0; k & k++) & &&
{& & & & & & & & a[n*k + j] = a[n*k + j] - Q[n*k + i] * R[n*i + j];//a[k][j] = a[k][j] - Q[k][i] * R[i][j]
} } *q = Q; return R;
}/*****************************************************************************static double * up_tria_inv_n_ord(double *t,int n)参数： t指向n * n上三角阵返回： 指向逆矩阵的指针说明：上三角阵求逆具体算法见论文《三角矩阵求逆的一种方法》,不过论文里面有一个地方印刷错误，具体地方是：& & & a[i][j] = -1/t[j][j] * (t[j][j] + sum() , &应该为a[i][j] = -1/t[j][j] * (t[i][j] + sum() ),****************************************************************************/static double * up_tria_inv_n_ord(double *t,int n){ int i = 0; int j = 0; int k = 0; int m = 0; double tmp = 0; //调用malloc()必须自己free()，不然多次调用就会内存泄露的 double *a = (double *)malloc(sizeof(double)*n*n); //an*n& & double *inv = (double *)malloc(sizeof(double)*n*n); //Rn*n memset(a,0,sizeof(double)*n*n); memset(inv,0,sizeof(double)*n*n); for(i = 0; i & i++) {
inv[i*n + i] = 1/t[i*n + i];//即inv[i][i] = 1/t[i][i]; } for(i = 0; i & n - 1; i++)//n - 1项,ai(i+1) &(i = 1，n - 1) {
a[i*n + i + 1] = -inv[(i+1)*n + i + 1] * t[i*n + i + 1];//即inv[i][i] = 1/a[i][i]; } m = 2; while(m & n)//这部分需要认真考虑，先算什么，再算什么 {
for(i = 0,j = i + i & n - 2; i++)//n - 2项
for(k = i + 1; k & k++)
tmp += a[i*n + k] * t[k*n + j];
a[i*n + j] = -inv[j*n + j] * (t[i*n + j] + tmp);//即inv[i][i] = 1/a[i][i];
m++; } for(i = 0; i & n - 1; i++) {
for(j = i + 1; j & j++)
inv[i*n + j] = inv[i*n + i] * a[i*n + j];
} } free(a);
}/*****************************************************************************double * array_mut(double *A, double *x, int len)参数： A指向m*n矩阵，x指向向量，len为向量长度返回：指针，指向向量y = Ax****************************************************************************///static double * array_mut(double *A, double *x, int m, int n)//m * n型//{// static double y[POLYFIT_NUM] = {0}; //不会超过1000个点拟合一个点的// for(int i = 0; i & i++)// {//
y[i] = 0; & & & &//这条不能少！多次调用就有问题，static的后遗症//
for(int j = 0; j & j++)//
& y[i] += A[n*i + j] * x[j];&//
}// }// & &// //}static double * array_mut(double *A, double *x, int m, int n)//m * n型{& & double *y = (double *)malloc(sizeof(double)*m); //不会超过1000个点拟合一个点的 for(int i = 0; i & i++) {
y[i] = 0; & & &&
for(int j = 0; j & j++)
& y[i] += A[n*i + j] * x[j];&
} }& && }/*****************************************************************************double * array_trans_mut(double *A, double *x, int len)参数： A指向m*n矩阵，x指向向量，len为向量长度返回：指针，指向向量y = A^T * x &即A的转置乘以x向量****************************************************************************///static double * array_trans_mut(double *A, double *x, int m, int n)//m * n型//{// static double y[POLYFIT_NUM] = {0}; //// for(int i = 0; i & i++) //n*m * n// {//
y[i] = 0;//
for(int j = 0; j & j++)//
& y[i] += A[n*j + i] * x[j]; //多次调用就有问题，static的后遗症//
}// }// & &// //}static double * array_trans_mut(double *A, double *x, int m, int n)//m * n型{ double *y = (double *)malloc(sizeof(double)*n);& for(int i = 0; i & i++) //n*m * n {
for(int j = 0; j & j++)
& y[i] += A[n*j + i] * x[j];&
} }& && }/*****************************************************************************void polyfit(double *x, double *y, int len, int order)参数： x,y为待拟合的向量，len为向量长度,order为多项式阶（次）数返回：coef为order阶多项式系数****************************************************************************/static double * polyfit(double *x, double *y, int len, int order){& && int i = 0; int j = 0; int colum = order + 1; double *coef = NULL; double *A = (double *)malloc(sizeof(double)*len*colum); //A len 行 order + 1列，polyfit里的V矩阵 double *Q = NULL; double *R = NULL; double *inv_R = NULL; //以下代码生成A矩阵,A其实为范德蒙行列式，最后一列为 1 for(i = 0; i & i++) //i对应行 {
A[i*colum + colum - 1] = 1.0;& } for(j = colum - 2 ; j & -1; j--) //j对应列 0 -- 2 列& {
for(i = 0; i & i++) //i对应行
A[i*colum + j] = x[i] * A[i*colum + j + 1];&
} }//至此,A矩阵生成完毕 R = qr_fraction(A, len, colum, &Q); inv_R = up_tria_inv_n_ord(R,colum); //返回的是堆内存
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &//free(R)就出错啦！ //参数p计算公式为：p = R^(-1) * Q^T * y //故需先计算Q^T * y double *yy = array_trans_mut(Q, y, len, colum); coef = array_mut(inv_R, yy, colum, colum); //coef = array_mut(inv_R, y, colum, colum); free(yy); free(inv_R); free(Q); free(R); free(A); }static double polyval(double *coef, int order, double x){ int i = 0; double sum = 0; for(i = 0; i & order + 1; i++) {
sum += coef[i] * pow(x, order - i); } }/*****************************************************************************&A*B的转置****************************************************************************/static double *matrix_trans_mul(double *A, double *B,int order){ double *result = (double *)malloc(sizeof(double) * order * order); int i = 0; int j = 0; int k = 0; double tmp = 0; for(i = 0; i & i++) {
for(j = 0; j & j++)
for(k = 0; k & k++)
//*(result + i*order + j) = (*(A + i*order + k)) * (*(B + j*order + k));
tmp += (*(A + i*order + k)) * (*(B + j*order + k));
*(result + i*order + j) =
} }/*****************************************************************************&n阶矩阵求逆****************************************************************************/static double *inv(double *A, int order){ //double *INV = (double *)malloc(sizeof(double) * order * order); double *Q = NULL; double *R = NULL; double *INV_R = NULL; double *INV_A = NULL; R = qr_fraction(A, order, order, &Q); INV_R = up_tria_inv_n_ord(R, order); INV_A = matrix_trans_mul(INV_R, Q, order); free(Q); free(R); free(INV_R); return INV_A;}
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