二维随机变量习题量

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-29 04:53 标签： 二维随机变量的期望
已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=1,0&x&1,0&y&2x 0,其他 求Z=X+Y的概率密度fz(z)_百度知道
提问者采纳
【分析】此题应分两步1. 首先搞清楚z、x、y与fz(z)的关系。
x、y其实可看作事件，而z =x+y 就是x和y的组合事件
f(x,y) 其实就是事件x和y交集的概率，亦即是概率函数 P(XY) ∴边缘概率密度 fx(X)和fy(Y)，分别表示概率函数 P(X)、P(Y)
而fz(z)就是P(X+Y)2. 搞清上述的关系后就好办了，先用联合概率密度f(x,y)，求出边缘概率密度 fx(X)和fy(Y)，
再代入加法公式
即可求解。加法公式如下：
P(X+Y) = P(X) + P(Y) - P(XY)
【注】不好意思，积分较难打。下面 “∫”前面的(a→b)表示定积分的上下限（a是下限，b是上限）*****************以下是解题过程*******************解：由题意，得当0&x&1时
fx(X) = (-∞→+∞)
∫ f(x,y)dy
∫ f(x,y)dy
2x当0&y&2x时
fy(Y) = (-∞→+∞)
∫ f(x,y)dx
∫ f(x,y)dx
1当x与y不能满足
0&x&1,0&y&2x
fx(X) = fy(Y) = f(x,y) = 0 而，Z=X+Y根据概率的加法公式： P(X+Y) = P(X) + P(Y) - P(XY)
可得①当0&x&1,0&y&2x 时，
fz(z) = fx(X) +
2x①当x与y不能同时满足
0&x&1,0&y&2x
fz(z) = fx(X) +
0&x&1,0&y&2x，z=x+y综上所述，fz(z) =
可是正确答案是 fz(Z)=2/3z,0&y&1=1-z/3,1&=y&3=0,其他
不好意思，之前没想清楚。我研究过课本和网上一些参考资料了，现在重新解答一次：【解题思路】1.先求Z的分布函数F(Z)=∫∫f(x,y)dxdy，重点是确认积分区域D2.对F(Z)求导，可得概率密度fz(Z)【解题过程】解：由题意，f(x,y)=1，而0＜x＜1,0＜y＜2x，Z=X+Y
∴Z的分布函数F(z)=∬f(x, y)dxdy = ∬1*dxdy ，
积分区域为D，F(Z)就是D的面积画图可知，①当
z ≤ 0 时，
D的面积为零，即 F(Z)=0②当0＜z＜1时，
积分区域D是直线y=2x、直线y=z-x和x轴围成的图形
F(Z) = (∫0→z/3){【 (∫0→2x)dy】dx }
(∫z/3→z){【 (∫0→z-x)dy】dx }
= (∫0→z/3) (2xdx)
(∫z/3→z) [ (z-x)dx ]
= z²/3 ③当1 ≤ z＜3时，
积分区域D是直线y=2x、直线y=z-x 和直线x=1围成的图形
F(Z) = (∫0→z/3){【 (∫0→2x)dy】dx }
(∫z/3→1){【 (∫0→z-x)dy】dx }
= (∫0→z/3) (2xdx)
(∫z/3→1) [ (z-x)dx ]
= - z²/6 + z -1/2 ④当 z ≥ 3 时，
积分区域D是直线y=2x、直线x=1和x轴 围成的底为1、高为2的Rt△
∴F(Z)= (1/2)*1*2 =1对F(Z)求导，得
当0＜z＜1时∴fz(Z) =
1 - z/3
当1 ≤ z＜3时
其他【注】因为积分符号太难打，上面求二重积分的中间过程我省略了，如果有不明白继续问，我再详细跟你说 O(∩_∩)O~
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