用分治算法实现2^n*2^n的矩阵乘法_百度知道
用分治算法实现2^n*2^n的矩阵乘法
两个2的n次方乘以2的n次方的矩阵乘法,要求用strassen
算法(分治思想)实现,以n=8为例,既256*256的矩阵乘法.希望高手帮帮忙,给出源代码.最好用c++语言,能直接运行的.不甚感激!!!
提问者采纳
//我的算法分析与设计的作业就做的这个，你参考下吧.是用C写的/////////////////////////////////////////程序功能：用分而治之算法计算两个n维矩阵相乘的结果
其中n必须是2的正整数次幂。运行过程：首先，根据提示输入矩阵的维数n
其次，根据提示分别输入矩阵A和B
最后，显示矩阵A和矩阵B以及其相乘结果矩阵C****************************************/#include &stdio.h&#define mytype int//矩阵元素的数据类型#define myinputmode &%d&//矩阵元素的输入格式#define myprintmode &%4d&//矩阵元素的输出格式/*以上参数的设置可根据所计算矩阵的元素的数值类型进行相应改变如更改为浮点型数据则可以使用下面的设置#define mytype float#define myinputmode &%f&#define myprintmode &%6.2f&*///////////////////////////////////////////****************************************函数名：is2参数：m为长整型整数功能：检测m是否是2的正整数次幂返回值：返回布尔型变量
true则表示m为2的正整数次幂
false则表示m不是2的正整数次幂****************************************/bool is2(long m){ if(m&0) if(m&=2) {
if((m%2)==0) return is2(m/2); } else {
if(m==1) }}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：inputmatrix参数：M为指向数组的指针，用来存储输入的矩阵
m长整型，是数组M所存矩阵的维数
name字符型数组，是需要进行数据输入的矩阵的名字功能：矩阵数据输入的函数，通过输入矩阵的每个元素将
矩阵存入数组返回值：无****************************************/void inputmatrix(mytype * M,long m,char *name){ long i,j; for(i=0;i&m;i++)
for(j=0;j&m;j++)
printf(&Please input the %s(%d,%d):&,name,i+1,j+1);
getchar();
scanf(myinputmode,&M[i*m+j]);
}}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：printmatrix参数：M为指向数组的指针，数组中存储着矩阵
m长整型，是数组M所存矩阵的维数
name字符型数组，是需要进行数据输入的矩阵的名字功能：矩阵数据输出显示的函数，将矩阵元素一一显示一在屏幕上返回值：无****************************************/void printmatrix(mytype * M,long m,char *name){ long i,j; printf(&\nMatrix %s:\n&,name); for(i=0;i&m;i++) {
for(j=0;j&m;j++)
printf(myprintmode,M[i*m+j]);
printf(&\n&); }}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：Matrix_add_sub参数：A，B为指向数组的指针，数组中存储着矩阵
C为指向数组的指针，用来存储运算结果
m长整型，是数组A、B、C所存矩阵的维数
add为布尔型变量，为true则C=A+B，为false则C=A-B功能：根据add值对A、B进行加减运算并将结果存入C返回值：无****************************************/void Matrix_add_sub(mytype * A,mytype * B,mytype * C,long m,bool add){ for(i=0;i&m*m;i++) {
C[i]=A[i]+B[i];
C[i]=A[i]-B[i]; }}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：GetHalfValue参数：B为指向数组的指针，数组中存储着矩阵。其中B是指向m维矩阵中的一个元素。
A为指向数组的指针，用来接收B中的四分之一数据
m长整型，是数组B所指矩阵的维数功能：从B所在位置向左和向右取矩阵的m/2维的子矩阵（子矩阵中包括B所指元素）并存入A返回值：无****************************************/void GetHalfValue(mytype * A,mytype * B,long m){ long i,j; for(i=0;i&m/2;i++) {
for(j=0;j&m/2;j++)
A[i*m/2+j]=B[i*m+j];
} }}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：UpdateHalfValue参数：B为指向数组的指针，数组中存储着矩阵。其中B是指向m维矩阵中的一个元素。
A为指向数组的指针，存储着一个m/2维矩阵
m长整型，是数组B所指矩阵的维数功能：把A矩阵所有元素存入从B所在位置向左和向右的m/2维的子矩阵（子矩阵中包括B所指元素）返回值：无****************************************/void UpdateHalfValue(mytype * A,mytype * B,long m){ long i,j; for(i=0;i&m/2;i++) {
for(j=0;j&m/2;j++)
B[i*m+j]=A[i*m/2+j];
} }}//////////////////////////////////////////****************************************函数名：Matrix_multiplication参数：A，B为指向数组的指针，数组中存储着矩阵。
C为指向数组的指针，用来存储计算结果
m长整型，是指针A、B所指矩阵的维数功能：用分而治之算法和Strassen方法计算A与B的乘积并存入C返回值：无****************************************/void Matrix_multiplication(mytype * A,mytype * B,mytype * C,long m){ if(m&2)//当矩阵维数大于2时 {
//将矩阵A、B分为四个小矩阵，分别为A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4
mytype *A1=new mytype[m*m/4],*A2=new mytype[m*m/4],*A3=new mytype[m*m/4],*A4=new mytype[m*m/4],*B1=new mytype[m*m/4],*B2=new mytype[m*m/4],*B3=new mytype[m*m/4],*B4=new mytype[m*m/4],*C1=new mytype[m*m/4],*C2=new mytype[m*m/4],*C3=new mytype[m*m/4],*C4=new mytype[m*m/4];
GetHalfValue(A1,&A[0],m);
GetHalfValue(A2,&A[m/2],m);
GetHalfValue(A3,&A[m*m/2],m);
GetHalfValue(A4,&A[m*m/2+m/2],m);
GetHalfValue(B1,&B[0],m);
GetHalfValue(B2,&B[m/2],m);
GetHalfValue(B3,&B[m*m/2],m);
GetHalfValue(B4,&B[m*m/2+m/2],m);
//利用Strassen方法计算D、E、F、G、H、I、J
mytype *D=new mytype[m*m/4],*E=new mytype[m*m/4],*F=new mytype[m*m/4],*G=new mytype[m*m/4],*H=new mytype[m*m/4],*I=new mytype[m*m/4],*J=new mytype[m*m/4];
mytype *temp1=new mytype[m*m/4],*temp2=new mytype[m*m/4];
//D=A1(B2-B4)
Matrix_add_sub(B2,B4,temp1,m/2,false);
Matrix_multiplication(A1,temp1,D,m/2);
//E=A4(B3-B1)
Matrix_add_sub(B3,B1,temp1,m/2,false);
Matrix_multiplication(A4,temp1,E,m/2);
//F=(A3+A4)B1
Matrix_add_sub(A3,A4,temp1,m/2,true);
Matrix_multiplication(temp1,B1,F,m/2);
//G=(A1+A2)B4
Matrix_add_sub(A1,A2,temp1,m/2,true);
Matrix_multiplication(temp1,B4,G,m/2);
//H=(A3-A1)(B1+B2)
Matrix_add_sub(A3,A1,temp1,m/2,false);
Matrix_add_sub(B1,B2,temp2,m/2,true);
Matrix_multiplication(temp1,temp2,H,m/2);
//I=(A2-A4)(B3+B4)
Matrix_add_sub(A2,A4,temp1,m/2,false);
Matrix_add_sub(B3,B4,temp2,m/2,true);
Matrix_multiplication(temp1,temp2,I,m/2);
//J=(A1+A4)(B1+B4)
Matrix_add_sub(A1,A4,temp1,m/2,true);
Matrix_add_sub(B1,B4,temp2,m/2,true);
Matrix_multiplication(temp1,temp2,J,m/2);
//利用Strassen方法计算C1、C2、C3、C4
//C1=E+I+J-G
Matrix_add_sub(E,I,temp1,m/2,true);
Matrix_add_sub(J,G,temp2,m/2,false);
Matrix_add_sub(temp1,temp2,C1,m/2,true);
Matrix_add_sub(D,G,C2,m/2,true);
Matrix_add_sub(E,F,C3,m/2,true);
//C4=D+H+J-F
Matrix_add_sub(D,H,temp1,m/2,true);
Matrix_add_sub(J,F,temp2,m/2,false);
Matrix_add_sub(temp1,temp2,C4,m/2,true);
//将计算结果存入数组C
UpdateHalfValue(C1,&C[0],m);
UpdateHalfValue(C2,&C[m/2],m);
UpdateHalfValue(C3,&C[m*m/2],m);
UpdateHalfValue(C4,&C[m*m/2+m/2],m);
//释放内存
delete[] A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4,D,E,F,G,H,I,J,temp1,temp2; } else {
//当矩阵维数小于2时用Strassen方法计算矩阵乘积
mytype D,E,F,G,H,I,J;
//D=A1(B2-B4)
D=A[0]*(B[1]-B[3]);
//E=A4(B3-B1)
E=A[3]*(B[2]-B[0]);
//F=(A3+A4)B1
F=(A[2]+A[3])*B[0];
//G=(A1+A2)B4
G=(A[0]+A[1])*B[3];
//H=(A3-A1)(B1+B2)
H=(A[2]-A[0])*(B[0]+B[1]);
//I=(A2-A4)(B3+B4)
I=(A[1]-A[3])*(B[2]+B[3]);
//J=(A1+A4)(B1+B4)
J=(A[0]+A[3])*(B[0]+B[3]);
//C1=E+I+J-G
C[0]=E+I+J-G;
//C4=D+H+J-F
C[3]=D+H+J-F; }}/////////////////////////////////////////int main(){ //提示输入n维矩阵的维数 printf(&Please input the dimension of the Matrix.(n):&); //获得用户输入的n维矩阵维数 scanf(&%d&,&n); while(!is2(n))//检查维数是否是2的幂，不是则要求重新输入 {
printf(&Please reinput the dimension of the Matrix.(n):&);
scanf(&%d&,&n); }
//开辟空间存储用来存储n维矩阵元素 mytype *A=new mytype[n*n]; mytype *B=new mytype[n*n]; mytype *C=new mytype[n*n]; //输入矩阵A、B inputmatrix(A,n,&A&); inputmatrix(B,n,&B&); if(n&1)//矩阵维数大于1则用分而治之算法计算
Matrix_multiplication(A,B,C,n); else//矩阵维数为1则直接计算
*C=(*A)*(*B); //输出矩阵A、B、C printmatrix(A,n,&A&); printmatrix(B,n,&B&); printmatrix(C,n,&C&); //释放内存 delete[] A,B,C; getchar();getchar(); return 1;}
提问者评价
谢谢你啊,还没来得及仔细研究你的程序呢,急着要,没办法啊.再次表示感谢啊.
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#include&iostream&double Strassen_sub(const int x,const int n){//n&=0
double y1, y2;
if (1 == n)
else if (0 == n)
p = n/2; //n&1 y1 = Strassen_sub(a,p);//前p次方,又继续分为两字子问题 y2 = Strassen_sub(a,n-p);//后n-p次方,又继续分为两字子问题 return (y1+y2);}double Strassen_main(const int x,const int n){//n&=0
return ( Strassen_sub(x,n)*Strassen_sub(x,n) );}void main(){
int x=2, n=8;
cout&&Strassen_main(x,n)&&}//不过
不能算过大的数,容易益处, 可用字符串大数乘法处理
有点难 不过还好查的到..简单的说 就是 |a11 a12| |b11 b12| |c11 c12| |a21 a22|* |b21 b22|=|c21 c22| 那么 矩阵C里面的 c11=a11*b11+a12*b21 c12=a11*b12+a12*b22 c21=a21*b11+a22*b21 c22=a21*b21+a22*b22
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矩阵的运算第三章矩阵的运算§3―1矩阵的概念及运算§3―2§3―3§3―4§3―5几种特殊的矩阵矩阵的逆分块矩阵初等矩阵§3―6矩阵的秩矩阵的定义§3―1矩阵的概念及运算一、矩阵的定义由m×n个数aij(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n)排成的m行n列的数表?a11??a21?M??a?m1a12a22Mam2La1n??La2n?M??Lamn??记作A、、等称为m×n矩阵.简称m×n阵.记作、B、C等矩阵.矩阵的定义例1(运输问题)某类物质有m个产地,n个销地,调运方案
矩阵的运算第三章 矩阵的运算§3―1 矩阵的概念及运算 §3―2 §3―3 §3―4 §3―5 几种特殊的矩阵 矩阵的逆 分块矩阵 初等矩阵§3―6 矩阵的秩矩阵的定义§3―1 矩阵的概念及运算 一、矩阵的定义由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表? a11 ? ? a21 ? M ? ?a ? m1a12 a22 M am 2L a1n ? ? L a2n ? M ? ? L amn ? ?记作A、 、 等 称为 m × n矩阵.简称 m × n 阵. 记作 、B、C等 矩阵.矩阵的定义例1 (运输问题) 某类物质有m个产地,n个销地,调运方案如下: 运输问题) 个产地, 个销地,调运方案如下:销 产 地 地1a112a12… j1j…n1n1 2MmL a a21 a22 L a2 j L L L L am1 am2 L am3a12 a22 L am2 L a1n ? ? L a2n ? L L? ? L amn ?L a L a2n L L L amn? a11 ? ? a21 A= ?L ? ? am1矩阵的定义某航空公司在A,B,C,D四城 例2 某航空公司在 四城 市之间开辟了若干条航线 ,如 图所示表示了四城市间的航班 图,如果从A到B有航班,则用带 如果从A 有航班, 箭头的线连接 A与B. 与 . 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 其中 表示有航班. 表示有航班.矩阵的定义到站 发站为了便于计算, 为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表 就得到一个数表: 上0,就得到一个数表:改成1,空白地方填 改成1,空白地方填 1,010 01 101 10 00 0101矩阵的定义 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况?0 ? ?1 A= ? 1 ? ?0 ?1 0 0 11 1 0 00? ? 0? 1? ? 0? ?矩阵的定义关联矩阵） 例3 （关联矩阵）考虑图G其顶 考虑图 其顶 点为(1,2,3,4,5), 点为(1,2,3,4,5), 边为{ 边为{a,b,c,d,e,f,g}, }, 若第j条边与第 条边与第i个 若第 条边与第 个 顶点关联,令 顶点关联 令 aij = 1, 否则 aij = 0.a 12gb 5 fe4d?1 0 0 ?1 1 0 ? A= ?0 1 1 ? ?0 0 1c31 2 3 4 51 0 0 0 ? 1 ? 0 0 0 ? 0 0 1 0? ? 1 1 0 0 ? ?0 0 0 0 1 1 1 ? ? ? a b c d e f g矩阵的运算定义： 定义： 设有两个m × n 矩阵 A = (aij ), B = (bij ), 那么矩阵 A 与 B 的和记作A + B ，规定为二、矩阵的线性运算 １、矩阵加法? a11 + b11 ? ? a 21 + b21 A+ B = ? L ? ?a + b ? m1 m1a12 + b12 a 22 + b22 L a m 2 + bm 2La1 n + b1 n ? ? L a 2 n + b2 n ? L L ? ? L a mn + bmn ? ?注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才 能进行加法运算。 能进行加法运算。矩阵的运算? 12 3 例如 ? ? 1 ?9 ?3 6 ? ? 12 + 1 ? = ? 1+ 6 ? 3+ 3 ?? 5? ? 1 8 9? ? ? ? 0 ? + ? 6 5 4? ? 8 ? ? 3 2 1? ? ? 3 + 8 ? 5 + 9? ? ?9+5 0+4 ? 6+ 2 8+1 ? ?? 13 11 4 ? ? ? = ? 7 ? 4 4 ?. ?6 8 9? ? ?§3―1 矩阵的运算A 设： = (a ij ) m×n ，则? ? a11 ? ? ? a 21 ?A=? L ? ?? a ? m1 ? a12 ? a 22 L ? a m1 L ? a1n ? ? L ? a 2n ? = (? aij ), L L ? ? L ? a mn ? ?称为矩阵 的负矩阵 A .§3―1 矩阵的运算2、 矩阵加法的运算规律(1) A + B = B + A;(3) A+0=A(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ).(4) A + (? A) = 0, A ? B = A + (? B ).§3―1 矩阵的运算数与矩阵相乘 3、定义数λ与矩阵 A的乘积记作 λA或Aλ , 规定为? λa11 ? ? λa21 λ A = Aλ = ? L ? ? λa ? m1λa12 L λa1n ? ? λa22 L λa2 n ?Lλa m 1?. L L ? L λamn ? ?矩阵的这种运算称为数乘运算 矩阵的这种运算称为数乘运算§3―1 矩阵的运算４、数乘矩阵的运算规律 、 矩阵， 为数） （设 A、B为 m × n 矩阵，λ , ? 为数）(1) λ ( A + B ) = λA + λB . (2) (λ + ? ) A = λA + ?A; (3) (λ? )A = λ (?A);(4)1 ? A = A矩阵的加法运算与数乘运算, 矩阵的加法运算与数乘运算,统称为矩阵 线性运算. 的线性运算.§3―1 矩阵的运算例1：设 ：?1 ? 2 3 ? ? 3 0 2? A=? ? 4 5 ? 6 ?, B = ? ? 7 1 8 ? ? ? ? ? ? ? ?求： A + B ; 2 A ? 3 B? 4 ? 2 5? 解: A + B = ? ? ? 3 6 2? ? ? ?6 ? ? 9 0 6? ?2 ? 4 2 A ? 3B = ? ? 8 10 ? 12 ? ? ? ? 21 3 24 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ?? 7 ? 4 =? ? 29 7 ? 36 ? ? ? ?矩阵的运算三、矩阵的乘法 １、定义B 矩阵， 设 A = (a ij ) 是一个m × s 矩阵， = (bij ) 是一个 矩阵， s × n 矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m × n 矩阵 C = (c ij ) ，其中cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj =k =1 s∑ aik bkj (i = 1,2,L j = 1,2,L, n ),C = AB .并把此乘积记作只要当左矩阵A的列数等于右矩阵 注: (1)只要当左矩阵 的列数等于右矩阵 只要当左矩阵 的列数等于右矩阵B 的行数时， 才有意义 才有意义； 的行数时，AB才有意义； (2)若 = ，矩阵C的行数等于左矩阵 (2)若AB=C，矩阵C的行数等于左矩阵 的 的行数等于左矩阵A的 行数，矩阵C的列数等于右矩阵 的列数； 的列数等于右矩阵B的列数 行数，矩阵 的列数等于右矩阵 的列数；(3) 若AB=C，位于 的第 i 行第 j 列交叉处的 ，位于C的第 元素 cij 恰好等于左矩阵A的第 i 行的元素 恰好等于左矩阵 的第与右矩阵B的第 列对应元素的乘积之和； 与右矩阵 的第 j 列对应元素的乘积之和；即：? a11 ? M ? ? ai 1 ? ? M ? am 1 ? a12 M ai 2 M am 2? c11 L c1 j L c1t ? L a1n ? b L b1 j L b1t ? ? ? ? ? 11 M M ? M ?? ? ? M ? b21 L b2 j L b2 t ? ? L ain ? ? = ci 1 L cij L cit ? ? M M ? ? ? M ? ? ? M M ? M M ? L bnj L bnt ? ? ?b ? ? c L amn ? ? n1 L cmj L amt ? ? ? m1矩阵的运算例24 ? ?? 2 4 ? ? 2 C =? ? ? ? = ? 1 ? 2 ? 2×2 ? ? 3 ? 6 ? 2×2例3 设? 16 ? 32? ? ? ? ? 16? 2 × 2 ?83 4 ? ? 2 1 ? 1 ? 1? ? 2 1 ?? 1 0 ? 1 2? ? ? A = ? ? 1 1 3 0? ? 0 5 ? 1 4? ? ?? 0 ? ? 1 B=? 3 ? ??1矩阵的运算解Q A = (aij )3×4 , ×∴ C = (cij )3×3 . ×B = (bij )4×3 , ×? 0 ? 1 0 ? 1 2 ?? ? ?? 1 C = AB = ? ? 1 1 3 0 ?? ? 0 5 ? 1 4 ?? 3 ? ? ??1故?? 5 6 7 ? ? ? = ?10 2 ? 6? . ?? 2 17 10? ? ?3 4 ? ? 2 1 ? 1 ? 1? ? 2 1 ?矩阵的运算注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 的行数时，两个矩阵才能相乘例如? 1 2 3? ? ? ? 1 6 8? ? 不存在 不存在. ? 3 2 1?? ? 5 8 9? ? 6 0 1? ? ?? 3? ? ? (1 2 3) ? 2 ? = 1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1 = 10. ? 1? ? ?矩阵乘法的运算规律注意1： 矩阵乘法不满足交换律， 注意 ： 矩阵乘法不满足交换律，即：AB ≠ BA ,例 设1 ? ? 1 ? 1 ? 1? A=? ? B=? ? ? ? 1 ? 1? ??1 1 ?2 ? ? 2 BA = ? ?, ? ? 2 ? 2?则? 0 0? AB = ? ?, ? 0 0?故AB ≠ BA.矩阵乘法的运算规律注意2：两个非零矩阵的积可能是零矩阵， 注意 ：两个非零矩阵的积可能是零矩阵，即： 矩阵的积可能是零矩阵A ≠ 0 , B ≠ 0; 但是 AB = 0例:? 1 ? 2? A=? ?? 3 6 ? ? ? ?? 4 6? B=? ? 2 3? ? ? ?则? 0 0? AB = ? ? 0 0? ? ? ?AB = 0 ? A = 0或B = 0矩阵乘法的运算规律注意3： 矩阵不满足消去律， 注意 ： 矩阵不满足消去律，即：AB = AC 且 A ≠ 0 但 ? B = C? 1 0? ? 1? ? 1? A= ? ?, B = ? ?, C = ? ? ? 0 0? ? 1? ? 2? ? 1 0?? 1? ? 1? AB = ? ?? ? = ? ? ? 0 0?? 1? ? 0? AB=AC例如? 1 0?? 1 ? ? 1? AC = ? ?? ? = ? ? ? 0 0?? 2? ? 0?A≠ 0 ≠但是B≠C矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(1) ( AB )C = A( BC ); (2) A( B + C ) = AB + AC ,( B + C ) A = BA + CA;(3 ) λ ( AB ) = (λA)B = A(λB )为数） （其中 λ 为数）;矩阵乘法计算下列乘积： 例2 计算下列乘积：(1)? 2? ? ? ? 2 ? (1 2 ) ? 3? ? ?? 2? ? ? ? 2 ?(1 2) = ? 3? ? ?解?2 × 1 2 × 2 ? ? 2 4 ? ? ? ? ? ?2 × 1 2 × 2 ? = ? 2 4 ? . ?3 × 1 3 × 2 ? ? 3 6 ? ? ? ? ?矩阵乘法? a11 a12 a13 ?? x1 ? ? ?? ? ( 2) ( x1 x2 x3 ) ? a21 a22 a23 ?? x2 ? ? a a a ?? x ? ? 31 32 33 ?? 3 ?? a11 a12 a13 ?? x1 ? ? ?? ? 解 ( x1 x2 x3 ) ? a21 a22 a23 ?? x2 ? ? a a a ?? x ? ? 31 32 33 ?? 3 ?? x1 ? =( a11b1 + a21b2 + a31b3 a12x1 +a22x2 +a32x3 a13b +a23b2 +a33b3 ? x2 ? ( ）? ? 1 ?x ? ? 3?2 2 2 = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3 + (a12 + a21 ) x1 x2 + (a13 + a31 ) x1 x3 + (a23 + a32 ) x2 x3 .矩阵的运算考察含有m个方程 个方程， 个变量 个变量x 例 考察含有 个方程，n个变量 1, x2, …, xn的线性方程组? a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? LLLLLLLLLL ?am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm ?? a11 ? ? a21 A= ? ... ? ?a ? m1 a12 a22 ... am2 a1n ? ? a2n ? ... ... ? ? ... amn ? ? ... ...? x1 ? ? ? ? x2 ? X =? ? M ? ? ?x ? ? n?? b1 ? ? ? ? b2 ? b= ? M ? ? ? ? bm ?则，线性方程组可以表示成：AX=b 线性方程组可以表示成： 同样，齐次线性方程组的矩阵表示形式为： 同样，齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX=O矩阵乘法矩阵乘积不满足交换律 但也有例外， 但也有例外，比如设? 2 0? A=? ?, ? 0 2?则有? 1 ? 1? B=? ?, ??1 1 ?? 2 ? 2? AB = ? ?, ??2 2 ?? 2 ? 2? BA = ? ? 2 2? ? ?? AB = BA.称矩阵A和 当 AB = BA. 时，称矩阵 和B 为可交换矩阵An E n = E n An = A矩阵乘法可交换矩阵 例3:设 设? 1 0? A=? ? 2 1? ? ? ?可交换矩阵一定 为同阶的方阵求所以与A可交换的矩阵 求所以与 可交换的矩阵 解：设X与A可交换 与 可交换 ? x11 X =? ?x ? 21x12 ? ? x22 ? ?x11 ? AX = ? ? 2x + x 21 ? 11 ? x11 + 2 x12 XA = ? ? x + 2x 22 ? 21x12 ? ? 2 x12 + x 22 ? ? x12 ? ? x 22 ? ?Q AX = XAx11 + 2 x12 ? ? x12 = x12 ? x12 = 0 ? ?? ?? ? x11 = x 22 ? 2 x 11 + x 21 = x 21 + 2 x 22 ? 2 x12 + x 22 = x 22 ?取x11 = a , x 21 = b? a 0? X =? ? b a ?; a , b为任意常数 ? ? ?x11 x12 ? ? AX = ? ? ? 2 x11 + x21 2 x12 + x22 ? ? x11 + 2 x12 x12 ? XA = ? ? = x 11 ? x21 + 2 x22 x22 ?矩阵乘法矩阵乘法方阵的幂可以与自己相乘的矩阵一定是方阵若A是 n 阶矩阵，则 A k 为A的 k 次幂，即 是 阶矩阵， 的 次幂，A k = A AL A 1 24 4 3k个m+k并且 A A = Am k,(A )m k= Amk .(m , k 为正整数 )规定: 若n阶矩阵A ≠ O A0 = E. ，但是一般 ( AB)k ≠ Ak Bk .( A + B ) 2 ≠ A 2 + 2 AB + B 2 A ? B ≠ ( A ? B )( A + B )2 2只有A与 可 只有 与B可 交换时成立矩阵乘法例4 设 A = ? 1 ? ?0 ? 解21? ?求 A n . 1? ?? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 2 ? A =? ? 0 1 ?? 0 1 ? = ? 0 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?用数学归纳法， 用数学归纳法，设 则An?1? 1 n ? 1? =? ? 1 ? ?0? 1 n ? 1?? 1 1? ? 1 n ? A = A A= ? ?? ?=? ?0 1? ? 1 ?? 0 1? ? ?0 ?n n?1矩阵乘法设 f ( x) = a0 xm + a1 xm?1 +L+ am?1 x + am 为m 次多项式，A为n 阶方阵，则 次多项式， 为 阶方阵，f ( A) = a0 Am + a1 Am?1 +L+ am?1 A + am E仍为一个n 阶方阵， 方阵A的多项式 的多项式. 仍为一个 阶方阵，称 f ( A)为方阵 的多项式. 其中E 阶单位矩阵。 其中 为n 阶单位矩阵。例5? 1 1? 设 f ( x ) = x + 2 x + 1, A = ? ?. ? 0 1?n 2求f ( A).矩阵乘法例6?λ ? 设 A= ? 0 ?0 ?1λ00? ? 计算 1? , ? λ?为正整数） 为正整数 An （n为正整数）解? λ 0 0 ? ? 0 1 0? ? ? ? ? A = ? 0 λ 0 ? + ? 0 0 1? = λ E + B ? 0 0 λ ? ? 0 0 0? ? ? ? ?其中? 0 1 0? ? ? B = ? 0 0 1? ? 0 0 0? ? ?矩阵乘法? 0 1 0?? 0 1 0? ? 0 0 1? 显然 B2 = ? 0 0 1?? 0 0 1? = ? 0 0 0? ? ?? ? ? ? ? 0 0 0?? 0 0 0? ? 0 0 0? ?? ? ? ? ?B3 = B2 B = 0因数量矩阵 λ E 与 B 可交换，所以利用二项式 可交换， 定理得到An = (λ E + B)n 1 2 = (λ E)n + Cn (λ E)n?1 B + Cn (λ E)n?2 B2 +3 Cn (λ E)n?3 B3 +L+ Bn矩阵乘法= λ E + nλnn?1n(n ? 1) n?2 2 B+ λ B 2? λ n 0 0 ? ? 0 nλ n?1 0 ? ? ? ? n n?1 ? 0 ?+?0 0 nλ ? =? 0 λ ? 0 0 λn ? ? 0 ? 0 0 ? ? ? ?n(n ? 1) n?2 ? ? n ? λ ? ?λ ?0 0 2 ? ? ? 0 +? 0 0 ? =? 0 ?0 0 ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ?nλn?1λn0n(n ? 1) n?2 ? λ ? 2 ? n?1 nλ ? ? λn ? ?§3―2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式一、特殊矩阵及性质 1、单位矩阵 、?1 0 L 0? ? ? ?0 1 L 0? E = En = ? L L L L? ? ? ?0 0 L 1?称为单位矩阵（或单位阵）. 称为单位矩阵（ 单位阵） 单位矩阵Am × n E n = A; E m Am × n = A; An E n = An E n = A几种特殊的矩阵数量矩阵 如果n 阶对角矩阵所有主对角线上的元素 都相等， 数量矩阵。 都相等，则称此矩阵为n 阶数量矩阵。?a 0 L 0? ? ? 0 a L 0? ? = aE ?L L L L? ? ? ?0 0 L a?数量矩阵的性质: 数量矩阵的性质?a ? ?0 AB = ? L ? ?0 ?0 L 0 ? ? b11 b12 ? ? a L 0 ? ? b21 b22 L L L? ? L L ? ? 0 L a ? m ? bm1 bm2 ? ?L b1n ? ? L b2n ? L L? ? L bmn ? ?? ab11 ab12 ? ? ab21 ab22 =? L L ? ? ab ? m1 abm2L ab1n ? ? L ab2n ? = aB L L? ? L abmn ? ?同理有BA= aB =结论：数量矩阵左（ 结论：数量矩阵左（右）乘任何矩阵就等 于常数a乘该矩阵 乘该矩阵。 于常数 乘该矩阵。? 2 0 0?? a ? ?? 0 2 0?? d ? ? 0 0 2?? g ?? ?b e hc ? ? 2a 2b 2c ? ? ? ? f ? = ? 2d ？ 2f ? 2e ? ? ? i ? ? 2g 2h 2i ?AB = aB = aBE = B ( aE ) = BA数量矩阵与任一同阶方阵均为可交换的几种特殊的矩阵2、对角矩阵 、? λ1 0 ? 形如 ? 0 λ 2 ?L L ? ?0 0 ? 0? ? L 0 ? 的方阵, 的方阵, L L? ? L λn ? ? L称为对角矩阵 对角矩阵( 对角阵） 称为对角矩阵(或对角阵）. 记作 A = diag(λ1 , λ2 ,L, λn ).几种特殊的矩阵对角形矩阵的性质: 对角形矩阵的性质 设A,B 均为同阶的对角形矩阵 (1)A+B也是同阶的对角形矩阵 也是同阶的对角形矩阵 (2) kA也是同阶的对角形矩阵 也是同阶的对角形矩阵 (3) AB 也是同阶的对角形矩阵 (4) AT = A 也是同阶 的对角形 矩阵Ak? 1 0 0 ?? 1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ?? ? ? ? ? 0 2 0 ?? 0 2 0 ? = ? 0 4 0 ? ? 0 0 3 ?? 0 0 3 ? ? 0 0 9 ? ? ?? ? ? ?若? a1 0 ? ? 0 a2 A=? ... ... ? ?0 0 ?0 a2 + b2 ... ， 00? ? 0? ... ... ? ? ... a n ? ? ... ...... ...? b1 0 ? ? 0 b2 B=? ... ... ? ?0 0 ?0 00? ? ... 0 ? ... ... ? ? ... bn ? ? ...则? a1 + b1 ? ? 0 A+ B = ? ... ? ? ? 0? ? ? ... ， ... ? ? ... a n + bn ? ?? ca1 ? ? 0 cA = ? ... ? ? 0 ?0 ca2 ... 00 ? ? ... 0 ? ... ... ? ? ... can ? ? ...? a1b1 ? ? 0 AB = ? ... ? ? 00 a2 b2 ... 00 ? ? ... 0 ? = BA ? ... ... ? ... an bn ? ...? a1k ? ?0 k A =? ... ? ?0 ?0k a2 ... 0...0? ? ... 0 ? ... ... ? ? k ? ... a n ?几种特殊的矩阵3、三角形矩阵 、 1.概念 概念 形如? a11 a12 L a1n ? ? ? 的矩阵称为上三 的矩阵称为上三 a22 L a2n ? ? 角形矩阵； ? ? 角形矩阵； O ? ? ann ? ?? a11 ? 称 ? a21 ?L ? ? an1? ? a22 ? 下三角形矩阵。 ? 为下三角形矩阵。 L O ? an2 L ann ?三角形矩阵的性质: 三角形矩阵的性质 均为同阶的上三角(或均为同阶的下三角 设A,B均为同阶的上三角 或均为同阶的下三角 均为同阶的上三角 或均为同阶的下三角) (1)A+B也是同阶的上三角 下三角 也是同阶的上三角(下三角 也是同阶的上三角 下三角) (2) kA也是同阶的上三角 下三角 也是同阶的上三角(下三角 也是同阶的上三角 下三角) (3) AB 也是同阶的上三角 下三角 也是同阶的上三角(下三角 下三角)? 1 ? 12 ? ?0 ? 0? 1 ? 0 ? 00 ? ?23 ? 3 2 ? 2 1 ?? ? ?2? + ? 0 12 ? 0 2 ?? ? ? ?? ? 0 01 ? 1 0 ? 0 ??31 3 ? ? 3 2 5 ? ?? ? ? ? 2 = 2? = ? 0 2? ? 0 2 ? 0 3? ? 0 3? ?? ? ?0 03 16 ? 6 ? ? 4? 3 8? ? 0? 4 ? 3? ?转置矩阵4.转置矩阵 4.转置矩阵? 1 2 2? A=? ? 4 5 8?, ? ? ?? 1 4? ? ? T A = ? 2 5 ?; ? 2 8? ? ?转置矩阵的运算性质(1) (A推广： 推广：T T)= A;T(2) ( A + B ) = AT + BT ;T( 3 ) (λ A ) = λ A ;TT( 4 ) ( AB )T= BT AT .T T T A1 A2 L An ) = An L A2 A1 (转置矩阵例1已知? 1 7 ? 1? T ? ? ? 2 0 ? 1? A=? ? , B = ? 4 2 3 ? , 求 ( AB ) . ?1 3 2 ? ?2 0 1 ? ? ? 解法1 解法 ? 1 7 ? 1? ? 0 17? ? ? 2 0 ? 1 ?? ? ? T Q AB = ? ?? 4 2 3 ? ∴( AB) = ? 14 13?. ? 1 3 2 ?? ? ? 3 10? 2 0 1 ? ? ? ? ?? 0 14 ? 3 ? =? ?, ? 17 13 10 ?转置矩阵解法2 解法( AB ) = BT ATT? 1 4 2 ?? 2 1 ? ? 0 17? ? ? ?? ? ? = ? 7 2 0 ?? 0 3 ? = ? 14 13?. ? ? 1 3 1 ?? ? 1 2 ? ? ? 3 10? ? ? ?? ? ?几种特殊的矩阵5、对称阵与反对称阵 、 阶方阵， 定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A = AT，即a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,L , n )称为对称阵 对称阵. 那末 A 称为对称阵? 12 6 1 ? ? ? 例如 A = ? 6 8 0 ? 为对称阵 . ? 1 0 6? ? ?说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 对角矩阵是对称阵？ 对角矩阵是对称阵？ 对称阵几种特殊的矩阵对称矩阵的性质: 对称矩阵的性质设A,B 均为同阶的对称矩阵 (1)A+B 也是同阶对称矩阵Q AT = A; BT = B∴ ( A ± B )T = AT ± BT = A ± B(2) kA 也是同阶的对称矩阵( kA)T = kAT = kA均为n阶的对称矩阵 证明： 为对称矩 例2：设A,B均为 阶的对称矩阵 证明：AB为对称矩 ： 均为 阶的对称矩阵,证明 阵的充分必要条件是AB=BA 阵的充分必要条件是 证明： 证明： AT = A; B T = B& ?& 若( AB )T = AB , 又( AB )T = B T AT = BA ∴ AB = BA & ?& 若AB = BA ( AB ) T = B T AT = BA = ABAm × n : AA 与 A A均 为 对 称 矩 阵T T几种特殊的矩阵定义如果 A = ? A 则矩阵 A称为反对称的 .T? a ij = a ji反对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相反 主对角线上的元素全为 零? 0 ? 6 1? ? ? 例如 A = ? 6 0 0? 为反对称矩阵 . ? ? 1 0 0? ? ?反对称矩阵的性质: 反对称矩阵的性质设A,B 均为同阶的反对称矩阵 (1)A+B 也是同阶反对称矩阵Q AT = ? A; BT = ? B∴ ( A ± B )T = AT ± BT = ? A ± ( ? B ) = ?( A ± B )(2) kA 也是同阶的反对称矩阵( kA)T = kAT = ? kA几种特殊的矩阵例3设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) 满足 X T X = 1, E为n阶单位矩阵 , H = E ? 2 XX T , 证明H是对称矩TT T TT T T证明 Q H = (E ? 2 XX ) = E ? 2( XX = E ? 2 XX T = H ,阵, 且HH T = E .)∴ H是对称矩阵 .HH = HT 2= E ? 4 XXT + 4( XXT )( XXT= E ? 4XXT + 4XXT = E .= (E ? 2 XXT 2) ) = E ? 4XXT+ 4 X ( X T X )X T几种特殊的矩阵例4 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 与反对称阵之和 证明T设C = A + AT TT则C = ( A + A设B = A ? A ,T)=AT+ A = C,T T所以C为对称矩阵 所以 为对称矩阵. 为对称矩阵则B = ( A ? AT)= AT ? A = ? B ,所以B为反对称矩阵 所以 为反对称矩阵. 为反对称矩阵A + AT A ? AT C B A= + = + , 2 2 2 2命题得证. 命题得证二、方阵乘积的行列式1、方阵的行列式 、 的元素所构成的行列式， 定义 由 n 阶方阵 A的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A. 的行列式，? 2 3? 例 A=? ? ? 6 8?2 3 = ? 2. 则A= 6 82、运算性质(1) AT = A ;2) λ A = λ n A ; ((3)设 均为n (3)设A、B均为 阶方阵，则 均为 阶方阵，AB = A B注：虽然 AB ≠ BA, 但 AB = BA .推广： 均为n 阶方阵， 推广：设A1 ,A2 , ???,An均为 阶方阵，则A1 A 2 L An = A1 A2 L An方阵的行列式例5:设 A = ? 5 ? 2 1 ? 设 ? ? 3 4 ? 1? ? ? ? 计算: 计算 解:T? ? 3 2 0? B=? ? ? 2 0 1? ? ? ?TAB ; BA ; A ATT? ? 19 ? 9 ? AB = ? ? ? 1 ? 7? ? ? ?BA = ABT(T T)? ? 19 ? 1 ? =? ? ? 9 ? 7? ? ? ?34 A A= 2 2T2220 ? 6 = 0 ?6 2例6 n 阶行列式 | A |=| aij |的各个元素的代数 余子式 Aij 所构成的如下的矩阵?A 11 ? 12 ? ?A A = ? M ? 1 ? An A21 L An1 ? ? A22 L An2 ? M M ? ? A2n L Ann ?伴随矩阵。 称为矩阵 A 的伴随矩阵 试证 (1) AA? = A? A = A E ; (2) 当 A ≠ 0时，A?= An?1.?a11 a12 L a1n ? ? A A21 L An1 ? 11 ?a a L a ? ? A A L A ? 22 2n ? 12 n2 AA? = ? 21 A + a A ? + L+ a22 A = A? a 11 12 1n 1n ?L11 L L12L? ? L L L L ? ? a11 A21 + a12 A22 ? L+ a1n A2n = 0? ? + 1 ?an1 An1n2 an2 Annn ? ? A+ aA2nAnn = Ann ? an 1 a + L a 2 + Ln nn L A? ? = ? ? ? ? A0AM0M... 0 ... 0M00...A? ? ? =| A |E ? ? ?AA? =| A | E， 所以A? A =| A | E . 同理, 同理（2）由（1）且根据本节定理 可知 ） ）且根据本节定理1可知Q AA =| A | E?∴ A A = AA = A E = A由于 A ≠ 0，故 A = A? n?1??n.§3―3 逆矩阵一、概念的引入在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有aa ?1 = a ?1a = 1,1 为 a 的倒数， 的倒数， 其中 a = a?1的逆）； （或称 a 的逆）；在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， A ，是否存在一个矩阵A?1, ， 那么， 的1， 那么，对于矩阵 使得AA?1 = A?1 A = E ,A?1称为 A 的可逆矩阵或逆阵 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵矩阵的逆二、逆矩阵的概念和性质定义 1 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B 使得AB = BA = E ,逆矩阵. 则说矩阵 A 可逆的，并把矩阵 B称为 A 的逆矩阵 是可逆的A的逆矩阵记作 A?1 . 的逆矩阵记作? 1 ? 1? ? 1 2 1 2? ?, B = ? ?, 例 设 A=? ?1 1 ? ? ? 1 2 1 2? Q AB = BA = E ,∴ B是A的一个逆矩阵 .矩阵的逆可逆矩阵一定是方阵； 说明 (1) 可逆矩阵一定是方阵； (2) 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 是可逆矩阵， 的逆矩阵是唯一的 唯一 的可逆矩阵， 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有AB = BA = E ,AC = CA = E ,可得 B = EB = (CA )B = C ( AB ) = CE = C . 的逆矩阵是唯一的,即 所以 A 的逆矩阵是唯一的 即B = C = A ?1 .矩阵的逆? 2 0? 例 设 A=? ? 0 4 ? , 求A的逆阵. ? ? ? 利用待定系数法利用待定系数法 分析：对角阵与对角阵相乘还是对角阵） 解： （分析：对角阵与对角阵相乘还是对角阵） 设 则? 2 0 ?? a AB = ? ? 0 4 ?? 0 ?? ? ?? ? 2a 0 ? ? 1 BA = ? ? 0 4d ? = ? 0 ? ? ? ? ??a 0? B=? 的逆矩阵, ? 0 d ? 是 A 的逆矩阵 ? ? ?0 ? ? 2a 0 ? ? 1 0 ? ?=? ? ? 0 4d ? = ? 0 1 ? ? d? ? ? ? ?0? ? 则：A?1 = B = ? 1 / 2 0 ? . ? ? ? 0 1 / 4? ? 1? ? ?矩阵的逆利用待定系数法求一个矩阵是否可逆很不方便。 利用待定系数法求一个矩阵是否可逆很不方便。 待定系数法求一个矩阵是否可逆很不方便 什么样的矩阵存在逆矩阵？怎样求逆矩阵？？ 什么样的矩阵存在逆矩阵？怎样求逆矩阵？？ 定理 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ≠ 0 ,且 1 ? ?1 A = A, A其中A?为矩阵 A的伴随矩阵 .当 A = 0时 , A 称为奇异矩阵 ,当 A ≠ 0时 , A 称为 非奇异矩阵 .可逆矩阵就是非奇异矩阵．同时， 可逆矩阵就是非奇异矩阵．同时，定理也提供了 一种求逆矩阵的方法――伴随矩阵法．矩阵的逆定理矩阵 A可逆的充要条件是 A ≠ 0,且 1 ? ?1 A = A, A证明 必要性 A 可逆， 即有 A ?1使AA ?1 = E . 若 可逆， ?1 故 A ? A = E = 1, 所以 A ≠ 0. 充分性. 充分性.当 A ≠ 0时, A? A? AA? = A? A = A E ? A = A = E, A A 按逆矩阵的定义得A? . A ?1 = A矩阵的逆例2?a b? 试问： 设 A= ? ? ，试问：a, b, c, d 满足什么 ?c d?条件时， 可逆？ 可逆时， 条件时，方阵 A 可逆？ 当 A 可逆时，求 A?1 .a b 可逆. 解 当 A= = ad ? bc ≠ 0 时， A 可逆 c d1 ? 1 ? d ?b? 这时 A = A = ? ?. A ad ? bc ? ?c a ??1矩阵的逆由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .A, A?1 , A?的关系 1) 1 ? A = A A?1A? = A A?12)3)A?11 = A=A ;;A = A?n ?1(A )?1 ? 1(A )??11 A = A矩阵的逆推论n阶矩阵， AB 设A，B均为 阶矩阵，如果 = E,均可逆， B 则A，B均可逆，且 = A ，A = B .证明A ? B = E = 1,?1 ?1?1?1故 A ≠ 0, B ≠ 0因而A 、B 存在, 于是B = EB = ( A?1 A)B = A?1 ( AB )= A ?1 E = A ?1同理有： 同理有： A = B?1 证毕矩阵的逆逆矩阵的运算性质(1) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且(A?1?1 ?1)= A.Q A ?1 A = E .∴ (A?1 ?1)=A(2) 若A可逆, 数λ ≠ 0, 则λA可逆, 且 (λ A ) = A ? 1 .?11λQ( λ A)1λA =E?1∴( λ A)?1=1λA ?1 .矩阵的逆(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆 , 且 ( A )?1 = B?1 A?1证明( AB)(B?1 A?1 ) = A(BB?1 )A?1?1 = AEA?1 = AA = E,∴ ( AB ) = B ?1 A?1 .?1推广： 推广：( A1 A2 L Am )?1? ? = Am1 L A2 1 A1?1 .矩阵的逆(4) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 (ATT ?1) = (A ) .?1 T证明Q AT( A ) = ( A A)?1 T ?1T= E T = E,∴ (AT ?1)= (A?k?1 T).?1 k另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,0A= (A).(k为正整数 )矩阵的逆当 A ≠ 0, λ , ?为整数时 , 有 A A =Aλ ? λ +?,?1(A )λ ?= Aλ? .(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .?1证明Q AA ?1 = E∴ A A ?1 = 1因此 A = A .?1?1矩阵的逆三、逆矩阵的求法例1? 1 2 3? ? ? 求方阵 A = ? 2 2 1 ? 的逆矩阵. 的逆矩阵. ? 3 4 3? ? ?1 2 3Q A = 2 2 1 = 2 = 0,∴ A?1存在. 解 3 4 32 1 A11 = = 2, 4 32 1 A12 = ? = ? 3, 3 3矩阵的逆同理可得A13 = 2, A21 = 6, A22 = ?6, A23 = 2,A31 = ?4, A32 = 5, A33 = ?2,得故6 ? 4? ? 2 ? ? ? A = ? ? 3 ? 6 5 ?, ? 2 2 ? 2? ? ?3 ? 2? 6 ? 4? ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 1? A ?1 = A = ? ? 3 ? 6 5 ? = ? ? 3 2 ? 3 5 2 ? . A 2? ? ? 1 1 ?1? 2 ? 2? ? ? ? 2矩阵的逆例2 设 A 为3阶方阵，A = 2求解( 3A)?1? 2A 的值.A 可逆，且 可逆，?因为A = 2，所以?1( 3A)?1 ?1 1 1 ? 1 ? A = A = A = 3 A 3 63?1A =A=22矩阵的逆所以( 3A)?111 ? ? 2A = ? A 6?33? 11 ? ? 11 ? ? = ? ? ? A = ? ? ? × 22 ? 6? ? 6?矩阵的逆例3? 1 2 3? ? 1 3? ? ? ? ? ? 2 1? ?, C = ? 2 0 ?, 设 A = ? 2 2 1 ?, B = ? ? 5 3? ? 3 4 3? ? 3 1? ? ? ? ?求矩阵X使满足 AXB = C .2 1 = 1 ≠ 0, 解 Q A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, B = 5 3 3 4 31 2 3∴ A?1 , B ?1都存在.矩阵的逆3 ? 2? ? 1 ? ? ?1 且 A = ? ? 3 2 ? 3 5 2 ?, ? 1 1 ?1? ? ?B?1? 3 ? 1? =? ?, ?? 5 2 ?? A?1 AXBB ?1 = A?1CB ?1 又由 AXB = C E ? X = A?1CB ?1 . 于是 X = A?1CB ?1 3 ? 2 ?? 1 3 ? ? 1 ? ?? ?? 3 ? 1 ? = ? ? 3 2 ? 3 5 2 ?? 2 0 ?? ? ? 1 ?? 3 1 ?? ? 5 2 ? 1 ? 1 ?? ? ?矩阵的逆1 ? ?1 1 ? ? ?2 ? ?? 3 ? 1 ? ? ? = ? 0 ? 2 ?? ? = ? 10 ? 4 ? . ? 0 2 ?? ? 5 2 ? ? ? 10 4 ? ? ? ? ?矩阵的逆? 1 ? 5? ? 3 2? 例4 解矩阵方程 (1) ? ?X = ? ?; ??1 4 ? ? 1 4?? 1 ? 1 1? ? 1 2 ? 3? ? ? ? ? (2) X ? 1 1 0 ? = ? 2 0 4 ?; ? 2 1 1? ? 0 ? 1 5 ? ? ? ? ?? 1 ? 1 1? ? 1 ? 1 1? ? 4 2 3? ? ? ? ? ? ? (3 ) ? 1 1 0 ? X ? 1 1 0 ? = ? 0 ? 1 5 ? . ? 2 1 1? ? 3 2 1? ? 2 1 1? ? ? ? ? ? ?矩阵的逆解(1)? 1 ? 5? ? 3 2? ? ?X = ? ? ??1 4 ? ? 1 4??1? 1 ? 5? 给方程两端左乘矩阵 ? ? , ? ?1 4 ? E ? 1 ? 5? ? 1 ? 5? ? 1 ? 5? ? 3 2? ? ? ? X =? ? ? 得 ? ? ? ?1 4 ? ? ?1 4 ? ? ?1 4 ? ? 1 4? ? 1 ? 5? ? 3 2? ? ? 4 ? 5?? 3 2? ? ? 17 ? 28? ?X =? ? ? ?? ? =? ?=? ?. ? ?1 4 ? ? 1 4? ? ? 1 ? 1?? 1 4? ? ? 4 ? 6 ??1 ?1 ?1矩阵的逆? 1 ? 1 1? ? 1 2 ? 3? ? ? ? ? (2 ) X ? 1 1 0 ? = ? 2 0 4 ? ? 2 1 1? ? 0 ? 1 5 ? ? ? ? ?给方程两端右乘矩阵? 1 ? 1 1? ? ? ? 1 1 0? , ? 2 1 1? ? ??1?1得? 1 2 ? 3 ?? 1 ? 1 1 ? ? ?? ? X = ?2 0 4 ?? 1 1 0 ? ? 0 ? 1 5 ?? 2 1 1 ? ? ?? ?矩阵的逆9 ? 5? ? 2 ? ? = ? ? 2 ? 8 6 ?. ? ? 4 ? 14 9 ? ? ?? 1 ? 1 1? ? 1 ? 1 1? ? 4 2 3? ? ? ? ? ? ? (3) ? 1 1 0 ? X ? 1 1 0 ? = ? 0 ? 1 5 ? ? 3 2 1? ? 3 2 1? ? 2 1 1? ? ? ? ? ? ??1 给方程两端左乘矩阵 ? ?1 ?3 ??1 1 21? ? 0? , 1? ??1矩阵的逆? 1 ? 1 1? ? ? 给方程两端右乘矩阵 ? 1 1 0 ? , ? 3 2 1? ? ??1? 1 ? 1 1 ? ? 4 2 3 ?? 1 ? 1 1 ? ? ? ? ?? ? 得 X = ? 1 1 0 ? ? 0 ? 1 5 ?? 1 1 0 ? ? 3 2 1 ? ? 2 1 1 ?? 3 2 1 ? ? ? ? ?? ??1?1? 1 3 ?1??4 2 ? ?? = ??1 ?2 1 ??0 ?1 ??1 ?5 2 ??2 1 ? ??3?? 1 3 ?1? ??13 ?75 30? ?? ? ? ? 5???1 ?2 1 ?=? 9 52 ?21. ? ? ???1 ?5 2 ? ? 21 120 ?47 1?? ? ? ?矩阵的逆例5证明设方阵 A满足方程 A2 ? A ? 2 E = 0, 证明 :由 A ? A ? 2 E = 0,2A, A + 2 E都可逆 , 并求它们的逆矩阵 .A?1得A( A ? E ) = 2 EA? E ?A =E 2?故 A 可逆 .1 ∴ A = ( A ? E ). 2?1矩阵的逆又由A 2 ? A ? 2 E = 0? ( A + 2 E )( A ? 3 E ) + 4 E = 0? 1 ? ? ( A + 2 E )? ? ( A ? 3 E )? = E ? 4 ?( A+ 2E)?1? 故A + 2 E可逆 .且 ( A + 2E )?13E ? A 1 . = ? ( A ? 3E ) = 4 4矩阵的逆例6设三阶矩阵 A, B满足关系 :? ?1 2 ? ? ?1 A BA = 6 A + BA, 且A = ? 14 ? 求B . ? 1 7? ? ?oo解A BA ? BA = 6 A?1? ( A?1 ? E )BA = 6 A ? ( A?1 ? E )B = 6 E ? B = 6( A ? E ) .?1 ?1矩阵的逆B = 6( A ? E )?1?1?? 2 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ? 1 0 0? ? ? ?? 0 4 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? =6 ? ? ? ? ? = 6? 0 3 0 ? ? ? 0 0 7 ? ? 0 0 1 ?? ? 0 0 6? ?? ? ? ?? ? ? ??1?1?10 ? ? 6 0 0? ? 1 0 0? ?1 0 ? ? ? ? ? ? = 6? 0 3 0 ? = 6? 0 1 3 0 ? = ? 0 2 0 ? . ? 0 0 6? ? 0 0 1 6? ? 0 0 1? ? ? ? ? ? ?矩阵的逆例7?1 ? ?0 已知A = ? 0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ?0 ? ? 2 0 0 0? ?0 0 3 0 0? , B = ? 0 ? ? 0 0 4 0? ?0 ? ?5 0 0 0 5? ?0 0 0 1? ? 0 0 2 0? 0 3 0 0? . ? 4 0 0 0? ? 0 0 0 0?求A?1，B ?1 .解因 A = 5! ≠ 0,故A?1存在.由伴随矩阵法得 A?1 = A? A ,矩阵的逆0 0 0 0 ? ? 2? 3? 4? 5 ? ? 1? 3? 4? 5 0 0 0 ? ? 0 1? = 0 0 1? 2? 4? 5 0 0 ? ? 5! ? 0 0 1? 2? 3? 5 0 ? ? 0 ? 0 0 0 0 1? 2? 3? 4? ? ??1 ? ?0 = ?0 ? ?0 ?0 ? 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 ? ? 0 ? 0 ?. ? 0 ? 1 5? ?矩阵的逆同理可得： 同理可得：?0 ? ?0 = ?0 ? ?0 ?1 ? 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 5? ? 0 ? 0 ?. ? 0 ? ? 0 ?B?1矩阵的逆? 1 ? 0 L 0 ? ?λ ?1 ? 1 ? ? λ1 0 L 0 ? ? ? 1 ? ? 0 L 0 ? ? 0 λ2 L 0 ? = ? λ2 ? ? ? M ? M M ? M M M ? ? ? ? ? ? 0 0 L λn ? 1 ? ? 0 0 L ? ? λn ? ? 1 ? ? 0 ? 0 L λn ? ?1 ? ? λ1 ? ? ? 1 ? 0 ? 0? ? 0 L λn ?1 =? ? 其中λ1 λ2 L λn M ? ? M M M ? ? 0? ? ? ? 1 L 0 0 ? ?λ ? ? 1 ?推广? 0 ? ? 0 ? M ? ? λnL 0 L λ2 L M 0≠ 0.矩阵的逆阶可逆矩阵， 例8 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，证明( （1） AB) = B A ）? ? ?? ? n?2（2）( A ) = A ）A可知， 证 （1）由 AB = A B ≠ 0 可知， ） 为可逆矩阵. AB为可逆矩阵 ? 又( AB) ( AB) = AB E 所以 ( AB) = ( AB)? ?1AB E = AB ( AB)?1 ?1 ?1?1= A BB A = BBAA?1矩阵的逆B A ? ? A =B =B A . B A（2） 由 ）??(A ) 可得 ( A )从而? ?A = A E AA = A?1 n?1??? ?E(A )? ?= An?2A.矩阵的逆小结逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 A?1 存在 逆矩阵的计算方法? A ≠ 0.(1)待定系数法;A? (2)利用公式 A?1 = ; A§3―4 分块矩阵一、矩阵的分块定义： 定义：将一个矩阵用一些横线或纵线分成 若干个小块，每块都是一个小矩阵（称为 若干个小块，每块都是一个小矩阵（ 子块）， ），这种以子块为元素的形式的矩阵 子块），这种以子块为元素的形式的矩阵 称为分块矩阵 分块矩阵。 称为分块矩阵。例 C1?a ?0 A= ? ?1 ? ?01 0 0? ? ? C1 C ? a 0 0 2? ? =? , 0 b 1? ? C C ? 4? ? ? 3 ? ? 1 1 b?C2C1 = [ a 1]C 2 = [ 0 0]?0 a ? C3 = ?1 0 ? ? ? ?0 1 ? ? ?C3?a ?0 A= ? ?1 ? ?0C41 0 0? ? ? B1 ? a 0 0 ? = ? B2 ? , 0 b 1? ? ? ? ? ? ? B3 ? 1 1 b??0 0? 矩 阵 的 分= ? b 是? C4 块 就 1 B1 将 [ a阵 用 若0] 条? = 矩 1 0 ?干 ? 分 b? ? 纵 线 和 横 线 1 成??0 a 0 0 许 多 个 小 矩 阵 ，? B2每 一 个 小 矩 阵 称? =? ?1 0. b 1? 子矩阵. 为子矩阵B3 = [ 0 1 1 b]?a ?0 A= ? ?1 ? ?01 0 0? a 0 0? ? = ? B O? , ?E C ? 0 b 1? ? ? ? 1 1 b??a ?0 A=? ?1 ?0 ?1 0 0? a 0 0? ? = [ A A2 A3 A4 ] , 1 0 b 1? ? ?a 1 1 b? ?0 A=? ?1 ?0 ?1 0 0 ? ? B1 ? a 0 0 ? ? B2 ? ?= ? ?, 0 b 1 ? ? B3 ? ? ?B ? 1 1 b? ? 4 ?矩阵的分块应大致体现如下基本要求： 矩阵的分块应大致体现如下基本要求： 分块应便于理论研究； ①分块应便于理论研究； 分块应能反映矩阵的某些特点或特殊分块矩阵； ②分块应能反映矩阵的某些特点或特殊分块矩阵； 分块应使得矩阵间的运算有意义。 ③分块应使得矩阵间的运算有意义。 这三点要求往往是相辅相成的。 这三点要求往往是相辅相成的。分块矩阵二、分块矩阵的运算规则相同的分块法 , 有? A11 ? A=? M ?A ? s1 L L A1 r ? ? B11 ? ? M ?, B = ? M ?B A sr ? ? ? s1利用分块相加时， 利用分块相加时，A、B 的分法必须完全相同1.加法 (1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用 加法L L B1 r ? ? M ? B sr ? ?其中 Aij 与 B ij的行数相同 , 列数相同 , 那末? A11 + B 11 ? A+ B =? M ?A +B ? s1 s1L LA1 r + B 1 r ? ? 也是 M ?. A sr + B sr ? 同型阵 ?A 与 Bij ij例?1 ?4 A=? ?5 ?8 ? ? A1 =? ? A32 3 4? 3 2 1? ? 6 7 8? ? 7 6 5? A2 ? A4 ? ??1 1 ?2 2 B=? ?0 0 ? ?1 ?1 ? ? B1 B2 ? =? B3 B4 ? ? ?31? 2? ? 0? ? ?1 ?1? 1 2 0? A1 + B1 A+ B = ? ? A3 + B3?2 A2 + B2 ? ? ?= ? 6 A4 + B4 ? ?5 ? ?74 5? ? 5 4 3 ? ? 6 7 8 ? 6 5 4 ?作 A+B 运 算,要求对 A和B的行、 列的分法 相同. 相同2.数乘 2.数乘? A11 L A1r ? ?, 设矩阵A有分块 设矩阵 有分块 A = ? M M ? ? ? As1 L Asr ? ? ?则数k与分块矩阵的乘积 则数 与分块矩阵的乘积? kA11 L kA1 r ? kA = ? M M ?. ? ? ? kAs 1 L kAsr ? ? ?运算， 的分法无要求 作kA运算，对A的分法无要求 运算 的分法无要求.3.分块乘法： 矩阵， 是 × 矩阵 矩阵， 3.分块乘法： 设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，若A 分块乘法 是 × 矩阵 的列的分块方法与B的行的分块方法相同 的行的分块方法相同， 的列的分块方法与 的行的分块方法相同，即 s1 L st ? A11 L A1 t ? ? B 11 L B 1 r ? s1 A= ? M M ?, B = ? M M ?M ? ? ? ? ? A s 1 L A st ? ? B t 1 L B tr ? st ? ? ? ?则? C 11 AB = ? M ? ? C s1 ? L L C 1r ? M ? ? C sr ? ?其 中 C ij =∑Ak =1tikB kj( i = 1,L , j = 1,L , r )利用分块作AB运算， 的列的分法与B的行的分法必须相同. 的列的分法与 的行的分法必须相同 利用分块作 运算，A的列的分法与 的行的分法必须相同 运算?1 ?1 例 已知 A = ? ?1 ? ?0?2 2 0 10 0 1 00? ?1 ?1 0? ?, B = ? 0? ?3 ? ? 1? ?10 1 0 21 0 1 00 1 0 12 ? ?1? ?, 1 ? ? 2 ?求 AB .解?1 ?1 AB = ? ?1 ?0 ??2 2 0 100 1 00? 0? ? 0? 1? ??1 ?1 ? ?3 ? ?10 1 0 21 0 1 00 1 0 12 ? ?1? ? 1 ? ? 2 ?? A11 =? ? E2O ? ? B11 E2 ? ? B21 ??E2 E2B13 ? B23 ? ?解?1 ?1 AB = ? ?1 ? ?0?2 2 0 10 0 1 00? 0? ? 0? ? 1??1 ?1 ? ?3 ?1 ?0 1 0 21 0 1 00 1 0 12 ? ?1? ? 1 ? 2 ? ?? A11 =? ? E2O? E 2 ? 2×2 ?? B11 ?B ? 21E2 E2B13 ? B23 ? 2×3 ?? C11 C12 =? ?C 21 C 22? ?1 ? 3 = ? ? 4 ? ? 2?2 1 2 10 3C13 ? ? A11 B11 A11 A11 B13 ? ? = ? B + B 2E B + B ? C 23 ? ? 11 21 2 13 23? 2× 3 2× 3?2 2 0 24? ? 0? . 3? ? 1?2 0例 已知??1 ? 4 ? A= ? 0 ? 3 ? ? 0 ?2 1 5 0 31 0 0 0 00 1 0 0 00? ?0 ?0 0? ? ? 1? , B = ?2 ?1 0? ? ? ?0 0? ? ?0 0 1 ?2 10 0 ?3 1 42? 3? ? 0? 0? ? 0? ?做适当的分块， 对AB做适当的分块，计算 . 做适当的分块 计算AB.解A的列的分法与B的行的分法必须相同！ 的列的分法与 的行的分法必须相同！ 的列的分法与 的行的分法必须相同2 1 0 0? 0 ?0 0 ? 1 0 1 0 ?0 0 ? ?A 0 E3 ? ? 11 5 0 0 1 ?= ? 3E2 O2×3 ? B = ? 2 1 ?3 ? ? 0 0 0 0? ? ? ? 1 ?2 1 3 0 0 0? ?0 1 4 ? ?2? 3? ? ?O2×3 0? = ? ? ? B21 0? 0? ?? ?1 ?4 ? A=? 0 ?3 ? ?0 ?B12 ? O3×1 ? ?? A11 E3 ? ?O2×3 B12 ? AB = ? ? ?? B O ? 3×1 ? ?3E2 O2×3 ? ? 21? B21 =? ?O2×3 A11 B12 ? 3 B12 ? ?A11??1 = ? 4 ? ? 0 ?2? 1? ? 5? ?B 12?2? = ? ? ?3?? 2 1 ?3 ? B21 = ? 1 ?2 1 ? ? ? 4? ?0 1 ? ?? 2 1 ?3 4 ? ?1 ?2 1 11? ? ? AB = ?0 1 4 15? ? ? 0 0 0 6? ? ?0 0 0 9 ? ? ?例的行分法与A的列分法相同 的列分成n列一块 把 A的列分成 列一块 ， B的行分法与 的列分法相同，即必 的列分成 列一块， 的行分法与 的列分法相同， 须是n行为一块 而对B的列分法没 行为一块， 须是 行为一块，而对 的列分法没 且总的只有一个分块 有要求，可以分成t 有要求，可以分成 块 分块矩阵的运算中，把子矩阵当作一个“数”来运算 分块矩阵的运算中，把子矩阵当作一个“B的每一列 α1 ,α 2 ,L ,α t 都是齐次方程组 的每一列 都是齐次方程组AX=O的解. 的解. 的解? 1 2 ?2 ? (2) 设 A = ? ?1 a ?4 ? ，若存在非零矩阵 3×t，使得 若存在非零矩阵B × 使得AB=O， ， ? ? ? 2 4 2a ? ? ?则 a=_______. 因为B为非零矩阵 所以B的 列中至少有一列不全为零 为非零矩阵， 列中至少有一列不全为零. 解 因为 为非零矩阵，所以 的t列中至少有一列不全为零 有非零解. 即 AX=O有非零解 必有 有非零解 必有|A|=0. 所以应填-2. 所以应填 而|A|=2(a+2)2，4.分块矩阵的转置 4.分块矩阵的转置? A11 L A r ? 1 ? M ?, M ? 设 A= ? ? As1 L Asr ? ? ?例?A 已知P = ? ?E B? ?, O?T ? A11 L AT1 ? s ?. 则 AT = ? M M M ? ? T ? A1r L ATr ? ? s ?则 PT? AT = ? T ?BE? ?, O?公转加自 转例 列的分法， 列的分法，与行的分法相同运算中， 运算中，把子矩 阵当作一个“ 阵当作一个“数”?α1T ? ? T? ?α 2 ? ? M ? ? T? ?α n ??α1T ? ? T? ?α 2 ? ? M ? ? T? ?α n ?什么样矩阵呀MMM列的分法， 列的分法，与行的分法相同运算中， 运算中，把子矩 阵当作一个“ 阵当作一个“数”5.特殊分块矩阵----分块三角形矩阵 5.特殊分块矩阵----分块三角形矩阵 特殊分块矩阵---? A11 ? ? O 设矩阵A分块为A = ? ... ? ? O A12 A22 ... O A1t ? ? ... A2 t ? ... ... ? ? ... Att ? ...其中Aii ( i = 1,2,Lt ) 均为方阵称A为分块上三角形矩阵，A = A A ... A 为分块上三角形矩阵， 11 22 tt 根据laplace定理， 定理， 根据 定理? B11 ? ? B21 设矩 阵 B 分 块 为B = ? ... ? ? Bs1O B22 ... Bs 2O ? ? ... O ? ... ... ? ? ... Bss ? ...其中Bii ( i = 1,2,Ls) 均为方阵为分块下三角形矩阵， 称B为分块下三角形矩阵， 为分块下三角形矩阵 B 根据laplace定理， 定理， 根据 定理= B11 B 22 ... B ss例第一章行列 式的基本型因为A、B可逆A可逆 可逆X 21 = B ?1 (?CX 11 ) = ? B ?1CA?1 A可逆 可逆 X 22 = B ?1 ( Es ? CX 12 ) = B ?1例?1 1 ?0 ?2 设A = ? ?1 0 ? ?0 10 0 3 20? 0? ? ,求 5? ? 4?A ?1 .解?1 1 ?0 ?2 A=? ?1 0 ?0 1 ?Q | A1 |≠ 0,0 0? 0 0 ? ? A1 O ? ?=? ?, 3 5 ? ? E2 A2 ? 2 4? ?| A2 |≠ 0? A?1 ∴ A?1 = ? ?11 ?1 1 ??A2 EAO? ? ? A2 1 ?解?1 1 ? 1 ? ? 2 ? 1? ? 1 1 / 2 ? ?1 A1 = ? ? , A1 = ?2 ? 0 1 ? = ? 0 ?1 / 2 ? , ? 0 ?2 ? ? ? ? ? ? 3 5? A2 = ? ?, ? 2 4? 1 ? 4 ?5 ? ? 2 ?5 / 2 ? A = ? ? = ? ?1 3 / 2 ? , 2 ? ?2 3 ? ? ??1 2? A?1 ∴ A?1 = ? ?1 ?1 ? A2 1 A 1 ?? 1 1/ 2 0 0 ? ? ? O? 0 ? 1/ 2 0 0 ? ?=? ? A2 1 ? ??2 ?9 / 4 2 ? ? 5/ 2 ? ? . ? 1 5 / 4 ?1 3/ 2?6.分块对角矩阵 6.分块对角矩阵? A1 ? 其中 A 均为方阵 . i ? ? O A2 ? = diag[ A , A ,L, A ] A=? 1 2 s O ? ? ? O As ? ? ?例如?1 ?3 ? ?0 A= ? ?0 ?0 ? ?02 0 0 0 0? 4 0 0 0 0? ? A 0 1 0 2 0? ? 1 ? =?O 0 4 2 0 0? ? 0 0 3 2 0? ? O ? ? 0 0 0 0 4?O O ? A2 O ? ? O A3 ? ?分块矩阵分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: （1） A = A A L A . ） 1 2 s （2） ）A ?1 ? A1 ?1 ? ? ? O 1 ? ? A2 ? =? ?, O ? ? 1 ? O As ? ? ? ?? A1 k ? k ? A2 =? ? ? O ?（3） ）AkOO As k? ? ? ?, ? ? ?分块矩阵?A 1 ? A= ? ? ? ? 0 A 2 0? ? B1 ? ? ?, B = ? ? ? O ? ? As ? ? 0B20? ? ? ? O ? Bs ?Ai 与 Bi也是 同型阵与对角矩 阵的性质 雷同哦(4)? A + B1 1 ? A+ B = ? ? ? ? 0? A1 0 ? ? 0 A2 ?L L ? ?0 0 ?A2 + B2? ? ? ? O ? As + Bs ? 0L(5)L 0 ? ? B1 0 ?? L 0 ? ? 0 B2 L L? ? L L ?? L As ? ? 0 0 ??0 L 0 ? ? A1B1 ? ? A2B2 L 0? ? 0 ? =? L L L L ? ? L Bs ? ? 0 0 ? ?0 ? ? L 0 ? ?. L L ? L As Bs ? ??1 2 1 例 设 ? ? 1A 2 ? ?0 0 ? ?0 0 A=? 0 0 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ?0 0 ??2 0 0 0 0 00 0 0 0 3A 420 0 0 0 5 0 0 0 00 0 00 0 04 0 0 0 0 00 0 0 0 A 6 30 0 7 0 0 0 0? ? ? ? ? 0 0? 0 0 ?, ? 0 0? 0 0? ? 8 10 ? A4 7 9? ? 0 0 0 0 0 0求 A ?1 .?1 / 5 ? ? ?2 ? 1 ?? ? , ?1 ?1 = 1 4 9 ?4 ? 10 ? , ?1 1 ? 1 ? 2 ? A2 A4= 2 ? ?7 ? ,8 ? 3 ? 解: AA1 ==? 4 ?1 11/ 6, ? 20 ? 2 3 ? ? ? ? 1 / 7? ?? ? ? ?解:A1?11 ? 2 ?2 ? = ? ?, 4 ?1 1 ?A2?11 ? 4 ?4 ? = ?2 3 ? , 20 ? ?A3?1?1 / 5 ? ?, 1/ 6 =? ? ? 1 / 7? ? ? ?A4?11 ? 9 ?10 ? = ? ?, 2 ? ?7 8 ?? A1?1 ? ∴ A ?1 = ? ? ? ?A2 ?1 A3 ?1? ? ? = ... ? ?1 ? A4 ?例2设矩阵?5 ? ?2 A= ?0 ? ?0求2 1 0 080 0 8 50? ? 0? 3? ? 2?A?1及A .解其中 则?A 0 ? 8 1 8 令 A=? A = A = 1. ?, ? 0 A2 ? ? 5 2? ? 8 3? A 1= ? ?， A2 = ? ? ? 2 1? ? 5 2? A = A A2 =1?1 =1 ≠ 0, 1A?1 ? ? A1 1 =? ? 0 ?所以0 ? ? ?1 ? A2 ?? 1 ?2 0 0 ? ? ? ?2 5 0 0 ? =? ? 0 0 2 ?3? ? ? ? 0 0 ?5 ?8?例：?O A ? ?O A ? 设 P=? ? ,Q = ?B O? ?B C ? ? ?并且A 可逆， 都可逆吗， 并且 、B可逆，则P、Q都可逆吗， 可逆 都可逆吗 若可逆，那它们的逆矩阵是什么？ 若可逆，那它们的逆矩阵是什么？? ? B CA P =? A?1 ??1?1?1B ? ?, O ??1?O ?1 Q = ? ?1 ?AB ?1 ? ? O ?推广： 推广：?o L o ?o L A 2 ? M ? M ?A L o ? nA1 ? ? o L o ? ? ?1 o o L An?1 ? =? ? M M? M ? ?1 ? o? ? A1 L o?1? An 1 ? ? o ? M ? ? o ??5 0 0? A = ? 0 3 1 ? , 求 A ?1 . 例 设 ? ? ?0 2 1? ? ? ?5 0 0? ? 0 3 1 ? = ? A1 O ? , 解 A= ? ? ? O A2 ? ? ? ? A?1 O ? ?0 2 1? ? ? ∴ A?1 = ? 1 ?1 ? ? O A2 ? ?1? ?1 A1 = [ 5] , A1 = ? 5?; ?1/ 5 0 0 ? ? ? 1 ?1? . =? 0 ? ? ? 3 1? ? 1 ? 1? ? ? 0 ?2 3 ? A2 = ? , A2 1 = ? ? ? ? ?; ? 2 1? ? ?2 3 ??0 ?0 ? ?0 ? ?41 0 0? 0 2 0? ? =? 0 0 3? ? 0 0 0??1?0 ?0 ? ?3 ? ?00 1 0? 2 0 0? ? =? 0 0 0? ? 0 0 4??1小结分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法采用相同的分块法.(2) 数乘 数k 乘矩阵A, 需k 乘A的每个子矩阵. (3) 乘法 若A与B相乘, 需A的列的分法与B的行的分法相一致.(4) 转置 行变成列，同时每个子矩阵也得转置. (5) 求逆 一些特殊矩阵可以利用分块来求逆矩阵.分块矩阵三、小结在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本、最重要的计算技巧与方法. 基本、最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 (2) 数乘 (3) 乘法 同型矩阵，采用相同的分块法 同型矩阵，采用相同的分块法. 乘矩阵A， 的每个子块. 数k乘矩阵 ，需k乘A的每个子块 乘矩阵 乘 的每个子块 相乘， 若A与B相乘，需A的列的划分与 与 相乘 的列的划分与 B的行的划分相一致. 的行的划分相一致. 的行的划分相一致分块矩阵(4) 转置? A11 ? A=? M ? As1 ?T T ? A11 L As1? L Ar ? 1 ? ? ? T M ? M ? ? A =? M ? AT L AT ? ? L Asr ? sr ? ? 1r(5) 分块对角阵? A1 ? ? ? O A2 ? ? ? A = A1 A2 L As . A=? ? O ? O ? ? As ? ? ?一、初等矩阵§3―5 初等矩阵1、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算， 用广泛. 用广泛 定义 经过一次初等变换 一次初等变换得到的方 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 初等矩阵. 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵对调两行或两列； ?1. 对调两行或两列； ? 乘某行或某列； ? 2. 以数 k ≠ 0 乘某行或某列； ? 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． 乘某行（ 上去． ?初等矩阵1、 对调两行或两列 两行， 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri ? rj )，得初等方阵?1 ? ? ? ? O ? ? ? 1 ? ? 0 L 1 ? ? ? ? 1 ? ? E (i , j ) = ? M O M ? ? ? 1 ? ? 1 0 L ? ? ? ? 1 ? ? O ? ? ? 1? ? ?←第i 行←第 j 行第i列 列第j列 列?1 ? ? ? O ? ? ? ? 1 ? ? 0 L 1 ? ? ? ? 1 ? ? E (i , j ) = ? O M ? MM ? ? 1 ? ? L ? ? 1 0 ? ? 1 ? ? ? O ? ? ? 1? ?初等矩阵2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).?1 ? ? ? ? O ? ? ? 1 ? ? E ( i ( k )) = ? k ? ? ? 1 ? ? O ? ? ? 1? ? ?←第i 行第i列 列初等矩阵3、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行 (列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )，?1 ? ? ? ? O ? ? ? ← 第 i行 1 L k ? ? E ( i , j ( k )) = ? O ? ? ? ← 第 j行 1 ? ? O ? ? ? ? 1? ?第i列 列 第j列 列初等矩阵因为E(i, j) = ?1≠ 0E(i(c)) = c ≠ 0E(i, j(k)) = 1≠ 0初等矩阵因为E (i , j ) E (i , j ) = E? ? 1 ?? E ( i ( k )) E ? i ? ? ? = E ? ? k ??[ E ( i , j )]?1 = E ( i , j )[ E (i (k ))]?1? ? 1 ?? = E ? i ? ?? ? ? k ??[ E ( i , j ( k ))]?1 = E ( i , j ( ? k )) E ( i , j ( k )) E ( i , j ( ? k )) = E所以初等矩阵是可逆的， 所以初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等 初等矩阵是可逆的 矩阵。 矩阵。 若干个初等矩阵的乘积不一定是初等矩阵， 若干个初等矩阵的乘积不一定是初等矩阵，但 一定是可逆矩阵。 一定是可逆矩阵。初等矩阵2、初等矩阵的应用定理 设 A 是一个 m×n 矩阵，对 A 施行一 × 矩阵， 次初等行变换， 次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换， 阶初等矩阵. 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.初等矩阵? a11 ? ? ... ?a i1 ? A = ? ... ?a ? j1 ? ... ?a ? m1... a1 i ... ... ... aii ... ... ... a ji ... ... ... ami第i列 列... a1 j ... ... ... aij ... ... ... a jj ... ... ... amj第j列 列... a1n ? ? ... ... ? ... ain ? 第i行 行 ? ... ... ? ? ... a jn 第j行 ? 行 ... ... ? ? ... amn ?初等矩阵? a11 ? ? ... ?a j1 ? Em ( i , j ) A = ? ... ? ? ai 1 ? ... ? ? am 1 ?... ... ... ... ...a1i ... a ji ... aii... a1 j ... ... ... ... ... a jj ... aij... ... ... ... ... ... ...... ... ... am 2... ... ... amja1n ? ? ... ? a jn ? 第i行 行 ? ... ? ? ain ? 第j行 行 ... ? ? ? amn ?相对于对矩阵A施行第一种初等行变换：互换A的第 相对于对矩阵 施行第一种初等行变换：互换 的第 i 行与第 j 行. 施行第一种初等初等矩阵? a11 ? ? ... ?a ? i1 AEn ( i , j ) = ? ... ? ? a j1 ? ... ? ? am 1 ?... a1 j ... ... ... ... ... aij ... a jj... ... ... ... ...a1i ... aii ... a ji... ... ... ... ... ... ...... ... ... amj第i列 列... ... ... ami第j列 列a1n ? ? ... ? ain ? ? ... ? ? a jn ? ... ? ? ? amn ?相对于对矩阵A施行第一种初等列变换：互换 的第 相对于对矩阵 施行第一种初等列变换：互换A的第 i 列与第 j 列. 施行第一种初等初等矩阵? a11 ? ? ... ? ka ? i1 E m ( i ( k )) A = ? ... ? ? a j1 ? ... ? ? am 1 ?...a1i...a1 j... ... ... ... ... ... ...... ... ... kaii ... ... ... ... ... a ji ... ami... ... ... kaij ... ... ... ... ... a jj ... amja1n ? ? ... ? kain ? 第i行 行 ? ... ? ? a jn ? ... ? ? ? amn ?相对于对矩阵A施行第二种初等行变换：以数 乘 的第 相对于对矩阵 施行第二种初等行变换：以数k乘A的第 i 行. 施行第二种初等初等矩阵? a11 ? ? ... ?a i1 ? AEn ( i ( k )) = ? ... ? a j1 ? ? ... ? ? am 1 ?... ... ... ... ...ka1i ... kaii ... ka ji... a1 j ... ... ... ... ... aij ... a jj... ... ... kami第i列 列... ... ... amj... a1n ? ? ... ... ? ... ain ? ? ... ... ? ? ... a jn ? ... ... ? ? ? ... amn ?相对于对矩阵A施行第二种初等列变换：以数 乘 的第 相对于对矩阵 施行第二种初等列变换：以数k乘A的第 i 列. 施行第二种初等初等矩阵? a11 ? ? ... ?a +ka j1 ? i1 Em(i, j(k))A= ? ... ? ? aj1 ? ... ? ? am1 ?...a1i...a1j...... ... ... ... ... ... aii +kaji ... aij +kajj ... ... ... ... ... ... aji ... ami ... ... ... ... ... ajj ... amj ... ... ... ...? ? ... ? ain +kajn ?第i行 ? 行 ... ? ? ajn ?第j行 行 ... ? ? amn ? ? a1n相对于对矩阵A施行第三种初等行变换：把以 的第 行乘数k 的第j 相对于对矩阵 施行第三种初等行变换：把以A的第 行乘数 施行第三种初等 加到第i 行上. 加到第 行上初等矩阵? a11 ? ? ... ?a ? i1 AEn (i , j(k )) = ? ... ? ? a j1 ? ... ? ? am1 ?... a1i ... ... ... aii ... ... ... a ji... a1 j + ka1i ... ... ... ... ... aij + kaii ... a jj + ka ji... ... ... ... ... ami ... amj + kami第i列 列 第j列 列... a1n ? ? ... ... ? ... ain ? ? ... ... ? ? ... a jn ? ... ... ? ? ... amn ? ?相对于对矩阵A施行第三种初等列变换：把以A的第 列乘数k 的第i 相对于对矩阵 施行第三种初等列变换：把以 的第 列乘数 施行第三种初等 加到第j 列上. 加到第 列上初等矩阵例如 相 当 于? 1 2 3? ? 2 1 0? ? ? ? 3 2 1? ? ?R2 + 2 R1对应? 1 2 3? ? 4 5 6? ? ? ? 3 2 1? ? ? ? 1 2 3? ? 4 5 6? ? ? ? 3 2 1? ? ?→ =”? 1 0 0? ? 1 2 3? ? 2 1 0? ? 2 1 0? ? ? ? ? ?0 0 1? ? 3 2 1? ? ? ? ?149初等矩阵例如 相 当 于?1 ?2 ? ?1 ?2 ? ?1 ?2 ? ?1 ?2 ?0 2? 1 4? ? 0 1? 1 0? ? 0 2? 1 4? ? 0 1? 1 0? ?C32对应?1 ?2 ? ?1 ?2 ? ?1 ?2 ? ?1 ?2 ?2 0? 4 1? ? 1 0? 0 1? ? 2 0? 4 1? ? 1 0? 0 1? ?→ =”?1 0 0? ?0 0 1? ? ? ? 0 1 0? ? ?? a11 a12 ?a a22 21 ? ? a31 a32 ?150a13 ? ?1 a23 ? ? 0 ?? a33 ? ? 0 ??0 0? 1 0? ? 4 1? ?? a11 a12 + 4a13 ?a a + 4a23 ? 21 22 ? a31 a32 + 4a33 ?a13 ? a23 ? ? a33 ? ?初等矩阵例?a11 a12 a13 ? ?1 0 0? ?0 0 1? A = ?a21 a22 a23 ? ,P = ?0 1 0? ,P = ?0 1 0? ,求P AP . 1 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?a31 a32 a33 ? ?0 1 1? ?1 0 0? ? ? ? ? ? ?解 不必直接作矩阵乘法， 都是初等矩阵, 不必直接作矩阵乘法，由于P1,P2都是初等矩阵, P1A相当于进行一次行变换. 相当于进行一次行变换. 相当于进行一次行变换 是由单位矩阵的第2行加到第3行得到的, 因为P1是由单位矩阵的第2行加到第3行得到的, 所以左乘P1,就相当于把A 的第 2 行加到第 3 行， 即有a12 a13 ? ? a11 P A = ? a21 a22 a23 ? . 1 ? ? ?a21 + a31 a22 + a32 a23 + a33 ? ? ?初等矩阵 相当于对P 进行一次列变换 进行一次列变换， 而P1AP2=(P1A)P2 ，相当于对 1A进行一次列变换，?0 0 1? 由于P2 = ? 0 1 0 ? 是由单位矩阵第 1 列与第 3列进行互换得到， 列进行互换得到， 列进行互换得到 ? ? ?1 0 0? ? ?所以右乘P2，相当于进行一次第 列与第 列互换得到， 相当于进行一次第1列与第 列互换得到， 列与第3列互换得到 所以右乘 从而得? a13 P1 AP2 = ? a23 ? ? a23 + a33 ?a12 a22 a22 + a32? a21 ? . ? a21 + a31 ? ? a11152初等矩阵定理2 对任一矩阵 ，一定存在若干个初等矩阵， 定理2：对任一矩阵A，一定存在若干个初等矩阵，使 得：? Er P1 L Ps APs +1 ? ? ? Pk = ? ? 0 0? = Fm×n ? 0 ? m× n标准形? Er 可 确 定 乘上 哪些 初 等矩 阵, 化 为 ? ?OO? ? 的 形式 . O??1 0 0 ? ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?154?1 0 0 ? ?0 1 0 ? ? ?= ?0 3/ 2 1 ? ? ?P1P1?1 0 0 ? = ?0 1 0 ? ? ? ?0 3/ 2 1 ? ? ??1 ?1 ?00 ?0 ? 1 ? ? ?0 ?0 0 ? ?0 0 0 11 00 1 0? ? 00 ? ?? 10 ? ? ? =Q 1 0? ? 0 1??1 0 0 ? ?2 1 0? ? ?= ?0 0 1 ? ? ?P2?1 0 0 ? ?0 1/ 4 0 ? ? ?= ?0 0 1 ? ? ?P3?1 ?0 ? ?0 ? ?00 0 0? 1 0 2? ?=Q 2 0 1 0? ? 0 0 1?所以155可逆矩阵的标准型为单位阵E. 可逆矩阵的标准型为单位阵 . 定理3 定理3 n 阶矩阵A可逆的充要条件是 阶矩阵 可逆的充要条件是 可逆的充要条件存在有限个 n 阶初等矩阵 P1 ,L , Ps , Ps +1 ,L , Pk 使得P1 L Ps APs +1 L Pk = E可逆矩阵A 可逆矩阵 一定与单位矩阵等价 即A~ E初等矩阵定理4 定理4设A为可逆方阵，则存在有限个初等方 为可逆方阵， 阵 P1 , P2 ,L , Pk , 使 A = P1 P2 L Pk .∴E ~ A证 Q A ~ E,即存在有限个初等矩阵P 即存在有限个初等矩阵 1,P2, ???, Pk，使P1 P2 L Ps EPs +1 L Pk = A即A = P1 P2 L Pk .推论 m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q,使 PAQ = B.初等变换求逆矩阵二、利用初等变换求逆阵： 利用初等变换求逆阵：当 A ≠ 0时，由 A = P1 P2 L Pl，有Pl ?1 Pl ?1 L P1?1 A = E , 及 ?1?1Pl ?1 Pl ?1 L P1?1 E = A?1 , ?1?1= ( E A?1 ) Q A ( A E)= A A A E(∴Pl ?1 Pl ?1 L P1?1 ?1∴( A E )行) ( A E ) = (E?1A ?1 )E A ?1 ) (施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .?1初等变换求逆矩阵初等变换法求逆阵?1 ? 例１ 设 A = ? 2 ?3 ? ?1 ? 解 ( A E) = ? 2 ?3 ?2 3? ? 2 1 ? , 求 A ?1 . 4 3? ? 2 3 1 0 0? ? 2 1 0 1 0? 4 3 0 0 1? ?? 1 2 3 1 0 0? r + r r2 ? 2r1 ? ? 1 2 ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? r3 ? 3r1 ? 0 ? 2 ? 6 ? 3 0 1? r3 ? r2 ? ?初等变换求逆矩阵r1 + r2r3 ? r2?1 0 ?2 ?1 1 0? ? ? ?0 ?2 ?5 ?2 1 0? ?0 0 ?1 ?1 ?1 1? ? ? ?1 ? ?0 ?0 ? 3 ? 2? ? ? 2 0 3 6 ? 5? 0 ?1 ?1 ?1 1 ? ? 0 0 1r1 ? 2r3r2 ? 5r3? ? r2 ÷ ? 2） ? 1 0 0 1 1 3 3 ? 2 ?2 ? （ ? ? 33 ? 55 ? 1 ?1 ? ?0 ∴ A = 0 ? ? ? 3 3 ?. ? ? 2 r3 ÷ ? 1） ? （ 22 ? ? 21 0 0 1 1 1 ? 1 ?1 ? ?? ? 1 ?初等变换求逆矩阵的方法， 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A?1 B .Q即A ( A B) = ( E A B)?1?1( A B)初等行变换E A ?1 B初等变换求逆矩阵例２ 求矩阵 X , 使 ?1 2 ? A = ?2 2 ?3 4 ?AX = B，其中 3? ? 2 5? ? ? ? 1 ?, B = ? 3 1 ?. ? ? 4 3? 3? ? ?X = A ?1 B . 3 2 5? ? 1 3 1? 3 4 3? ?可逆， 解 若 A 可逆，则 ?1 2 ? ( A B) = ? 2 2 ?3 4 ?初等变换求逆矩阵r2 ? 2r1r3 ? 3r1 r1 + r23 2 5 ? ?1 2 ? ? ?0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9 ? ? 0 ? 2 ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ?? 1 0 ? 2 1 ? 4? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ? 0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?r3 ? r2r1 ? 2r3 r2 ? 5r3初等变换求逆矩阵r1 ? 2r3r2 ? 5r30 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?2 ? r2 ÷ ? 2） ? 1 0 0 3 （ ? ? ? 0 1 0 ? 2 ? 3 ?， r3 ÷ ? 1） ? （ 0 0 1 1 3 ? ? ?∴2 ? ? 3 ? ? X = ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 3 ? ? ?三、小结1. 单位矩阵一次初等变换初等矩阵. 初等矩阵.2. 利用初等变换求逆阵的步骤是 利用初等变换求逆阵的步骤是:(1) 构造矩阵( AM E )(2) 对( AM E )施行初等行变换,将A化为单位矩阵E后,右边E对应部分即为A?1§3―6 矩阵的秩一、矩阵的秩定义1 矩阵A 定义1 在m×n矩阵 中任取 k行k列（k≤min{m,n}）, 矩阵 行 列 ） 列交叉处的k 位于这 k行 k列交叉处的 2个元素，按原来的位置构成 行 列交叉处的 个元素， 阶行列式， 阶子式。 的 k阶行列式，称为矩阵 的 k 阶子式。 阶行列式 称为矩阵A例如： 例如：?1 ? ?0 A= ?1 ? ?53 1 ?1? ? 任取二行，二列可得A的二阶子式 的二阶子式. 2 1 4 ? 任取二行，二列可得 的二阶子式. 3 5 1? ? 2 4 1?选取第一行和第二行， 选取第一行和第二行，第一列和第二列 选取第一行和第三行， 选取第一行和第三行，第一列和第四列1 3 0 2=21 ?1 =2 1 1选取第三行和第四行，第二列和第四列 选取第三行和第四行，3 1 2 1=1这些都是 二阶子式例如： 的第1， ， 行和 行和2， ， 列 例如：取A的第 ，2，4行和 ，3，4列， 的第 得到A的一个三阶子式： 得到 的一个三阶子式： 的一个三阶子式?1 ? ?0 A= ?1 ? ?53 1 ?1 ? ?1 ? 2 1 4? 1 4 3 5 1? ? 2 4 1?行列式符号！！ 行列式符号！！k m k nm × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C ? C 个.定义2 设矩阵A 中有一个r阶子式D不为 不为0 定义2 设矩阵 中有一个r阶子式 不为0，而所有的 r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 称为矩阵 阶子式（ 阶子式 如果存在的话）全等于0 那么D称为矩阵 称为矩阵A的 记住R(A). A的最高阶非零子式，数r称为矩阵 的秩，记住 的最高阶非零子式， 称为矩阵 规定：零矩阵的秩为0 规定：零矩阵的秩为0m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .例如： 例如：?1 2 3 ? ? ? 0 3 ?5 ? ? ?0 0 1 ? ? ??1 ? ?0 ?0 ? ?01 3 2 4? ? 2 0 0 3? 0 0 2 ?5 ? ? 0 0 0 0?? 1 2 3? ? ? 4 5 6? ? ? 7 8 9? ? ?注意： 注意： （1） R(A)= R(AT) ） （2） 0≤R(Am×n) ≤min{ m, n}. ） 阶方阵A可逆的充要条件为 （3） n阶方阵 可逆的充要条件为R(A)=n. ） 阶方阵 可逆的充要条件 An不可逆 |A|=0 |=0 R(A)&n. 是行（ 满秩的； （4） 当 r( Am×n ) = m (= n) 称A是行（列）满秩的； ， 是行 对于n阶方阵 ，如果r( )=n,称 是满秩矩阵 r(A 矩阵. 对于 阶方阵A，如果r( n)=n,称A是满秩矩阵 阶方阵 得到矩阵B， 的一行（ （5） 若删去矩阵 的一行（列）得到矩阵 ， ） 若删去矩阵A的一行 则r(B) ≤r(A).例3 ? 2? ?2 ?1 0 ? ? 3 1 ?2 5? ?0 求矩阵 B = ? ? 的秩 . 0 0 0 4 ?3 ? ? ? ?0 0 0 0 0? ?∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .解 Q B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有 3行， 是一个行阶梯形矩阵，2 ?1 3 而 0 3 ? 2 ≠ 0, 0 0 4∴ R ( B ) = 3.阶梯形矩阵的秩＝ 结论：阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数? a 11 ? 0 ? ? M ? A = ? 0 ? 0 ? ? M ? 0 ? a 12 a 22 M 0 0 M 0 L L M L L M L a1r a2r M a rr 0 M 0 L L M L L M L a1n ? a2n ? ? M ? ? a rn ? 0 ? ? M ? ? 0 ?例如: 例如:?1 ?0 ? ?0 ?2 2 0?1 ?0 ? ?0 ? ?03 1 10 1 0 04? ? 0 ? ? 1?2 1 0 0?1 ?0 ? ?0 ?0 0 1 0 4? 5? ? 2? ? 0?0 0 02 1 08? ? 1 ? ? 0?二、利用初等变换求矩阵的秩 定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩三、矩阵秩的求法 例1?1 2 3 ? ? ? 求矩阵 A = ? 2 3 ? 5 ? 的秩 . ?4 7 1 ? ? ?1 2 在 A 中， ≠ 0. 2 3解又 Q A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，∴ R ( A ) = 2.? 1 ? 例2 已知 A = ? 0 ?? 2 ? 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 23 ? 2 2? ? 2 ? 1 3 ?，求该矩阵的秩． 求该矩阵的秩． 0 1 5? ?计算A的 阶子式 阶子式， 计算 的3阶子式，3 ?2 1 3 2 3 ?2 2 1 ?2 2 =0 , 0 2 ? 1 = 00 2 3 = 2 , ? 1 3 = 00 ? 1 3 = 0, = , ?2 0 1 ?2 0 5 0 1 5 ?2 1 5 1= 0.∴ R ( A ) = 2.把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ? 1 3 ? 2 2? 另解 对矩阵 A = ? 0 2 ? 1 3 ? 做初等变换， ? ? 做初等变换， ? ? 2 0 1 5? ? ?? 1 3 ? 2 2? ? 1 3 ? 2 2? ? ? ? ? ∴ ? 0 2 ? 1 3 ? → ? 0 2 ? 1 3 ?, ? ? 2 0 1 5? ? 0 0 0 0? ? ? ? ?显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，∴ R ( A ) = 2.此方法简单！ 此方法简单！例3A=( )?1 ? 解M A → ? 0 ?0 ? ?1 0 ? →?0 ? 2 ?0 0 ?? 1 2 3? ? ? aij 3×3 = ? 2 2 1?，求秩 （A） R . ? 3 4 3? ? ? 2 3 ? 3 ? ?1 2 满秩阵 ? ? ? ? 2 ? 5? → ? 0 ? 2 ? 5? ? 0 0 ? 1? ? 2 ? 6? ? ? ?? 2? 0? ?1 0 ? 1 0 0? ? ? ? ? ? ? 5? → ? 0 ? 2 0 ? → ? 0 1 0? ? 0 0 ? 1? ? 0 0 1? ? 1? ? ? ? ? ?阵的非零行数 由最后化成的行阶梯矩 ? R( A) = r = 3.? 1 2 3? ? 1 0 0? ? ? ? ? 由 A = aij = ? 2 2 1? ~ ? 0 1 0?， 3×3 ? 3 4 3? ? 0 0 1? ? ? ? ? 得到以下 等价命 . 题( )结论：若n阶方阵 满秩， ( A) = n A满秩， r? 必有 A ≠ 0；为非奇异阵； ? A为非奇异阵；必存在； ? A?1必存在；? A必能初等变化为单位阵En 即A ~ E? 求秩方法C （1）由秩的有关定理进行考察； ）由秩的有关定理进行考察； C （2）将A化为行阶梯形矩阵，非零的行数 ） 化为行阶梯形矩阵， 化为行阶梯形矩阵 即为 r.
第三章矩阵的运算(10-11年)―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。