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已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=1(log2an)2，求证：对任意正整数n，总有Tn＜2；（Ⅲ）在正数数列{cn}中，设(cn)n+1=n+12n+1an+1(n∈N*)，求数列{lncn}中的最大项
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵Sn=2an-2（n∈N*），①∴Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）②（1分）①-②，得an=2an-2an-1．（n≥2，n∈N*）∵an≠0，∴anan-1=2.（n≥2，n∈N*）即数列{an}是等比数列．（3分）∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2．∴an=2n．（n∈N*）（5分）（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=1(log2an)2=1n2.（6分）∴Tn=112+122+…+1n2≤1+11o2+12o3+…+1(n-1)n=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n＜2（9分）（Ⅲ）由（cn）n+1=n+12n+1an+1（n∈N*）知lncn=ln(n-1)n+1令f(x)=lnxx，则f′(x)=1xox-1nxx2=1-lnxx2.∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）∴n≥2且n∈N*时，|lncn|是递减数列．又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=13ln3.（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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与“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足..”考查相似的试题有：
527578409916525051560830278790480886设数列{an}的前n项和为sn，已知sn=2an-2^(n+1)， （1）.求证数列{an/2^n}为等差数列,并求{an}的通项公式；_百度知道
设数列{an}的前n项和为sn，已知sn=2an-2^(n+1)， （1）.求证数列{an/2^n}为等差数列,并求{an}的通项公式；
都有B3n-Bn&20成立，对任意n属于正整数且n&gt，若存在整数m,数列{bn}的前n项和为Bn;m&#47（2）设bn=logan/=2;(n+1) 2
提问者采纳
，1为公差的等差数列an/(n+1)+1/2^n=a(n-1)/3n=2/2^n}是已2为首项;20&2=2所以{an&#47.;3n&gt(1)an=sn-s(n-1)=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^nan=2a(n-1)+2^nan/2^(n-1)+1a1=2a1-2^2
a1/2n&#47.+1/=40/nB3n-Bn=1/2^n=2+(n-1)=n+1an=(n+1)*2^n(2)bn=log2^n 2=1/2=4/=2/(n+2)+;3m/3m&lt
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出门在外也不愁已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n=1,2,3,,,,,),数列bn中b1=1,点P(bn,bn+1)的坐标满足方程x-y+2=0. （1）求数列an，bn的通项，（2）设Cn=anbn,求数列Cn的前n项和为Tn
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n=1,2,3,,,,,),数列bn中b1=1,点P(bn,bn+1)的坐标满足方程x-y+2=0. （1）求数列an，bn的通项，（2）设Cn=anbn,求数列Cn的前n项和为Tn
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解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2），化为an=2an-1，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an=2n．∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2上，∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2，∴数列{bn}是以b1=1为首项，2为公差的等差数列．∴bn=1+（n-1）×2=2n-1．（2）由（1）可得：anbn=（2n-1）o2n．∴Tn=1×2+3×22+…+（2n-1）o2n，2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）o2n+（2n-1）o2n+1，∴-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）o2n+1=2×（2+22+…+2n）-2-（2n-1）o2n+1=2×2(2n-1)2-1-2-（2n-1）o2n+1=2n+2-6-（2n-1）o2n+1=（3-2n）o2n+1-6，∴Tn=(2n-3)o2n+1+6．
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＞＞＞已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，即an+1=an+22，（2分）∵a1=1，∴a2=32，&a3=74；（4分）（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵an+1-2an-2=an+22-2an-2=12，∴{an-2}是首项为-1，公比为12的等比数列；（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(12)n-1，∴an=2-(12)n-1，∵{an+Sn}是首项为a1+S1=2，公差为2的等差数列，∴an+Sn=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(12)n-1，（9分）设存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，即存在整数λ，使不等式n-1+(12)n-1≥λ[2-(12)n-1]对任意的n∈N*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立．当n=2时，不等式化简为32≥32，成立；当n≥3时，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(12)n-2＞0，∴（Sn-n+1）＞an成立．综上，知存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，且λ的最大值为1．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..”考查相似的试题有：
805699752468327175890642763422333612