这道题的解题过程是？下列式子是完全平方式_百度知道
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下列式子是完全平方式的是
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王恩菊&&教师
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郭建凤&&教师
乔自豪&&教师15.2 乘法公式-考点训练：完全平方式-同步练习_百度文库
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15.2 乘法公式-考点训练：完全平方式-同步练习|名​师​选​取​该​知​识​点​下​典​型​例​题​作​为​课​后​练​习​、​考​试​使​用​;​ ​本​套​试​卷​共​分​为​两​部​分​,​前​半​部​分​用​于​学​生​考​试​练​习​使​用​;​后​半​部​分​有​精​彩​的​提​示​和​标​准​的​解​题​过​程​,​帮​助​学​生​考​试​后​学​习​。​
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探讨竞赛中“完全平方式”的拓展应用
上传: 姜根炎 &&&&更新时间： 19:41:28
探讨竞赛中&完全平方式&的拓展应用 & 上饶县石人中学：姜根炎 & &数学这门学科对学生(特别是对女生)来说，绝大多数认为数学很难学，甚至有相当一部份学生怕数学。只要一提到数学竞赛就会有一种恐惧感。那么竞赛是不是就很难，就毫无章法可寻了呢？现在就来探讨完全平方式这个知识点与我们的竞赛有一个什么关系。我们学生都知道完全平方式是：a²+2ab+b²=(a+b)²与 a²-2ab+b²= (a-b)² 前一个叫完全平方和，后一个叫完全平方差。这两个公式的理解就是：某两个数(或是整式)的和(或差)的平方就等于这两个数(或整式)平方的和加上(或减去)这两个数的积的二倍。对于这个公式的应用书本上主要是公式中字母的不同替换： 一方面：这个公式中的字母可以是一个数字，如计算11²+39²+22&39是多少，就把公式的a与b用11与39来替换。这样用这个公式的就可以很快得出它的答案是：2500。另一方面：也可以把公式中的字母看作是一个单项式或一个多项式甚至是复杂的一个代数来看。如：因式分解1-4(a+b)+4(a+b)² ，这个就可以把公式中的字母看作是数字1和2(a+b)这两个整式，再利用完全平方差就可以分解因式。虽然完全平方式是在因式分解中出现的，但它的应用范围远远不只是用来因式分解，它还有更为广泛的应用。特别是这个公式在竞赛中的应用，它就显得更为灵活多变。下面就针对这个问题让我们一起来探讨一下完全平方式这个公式在竞赛中几种应用： 第一、用完全平方式配方求最值 从完全平方式右边的形式(a&b)²来看，它与绝对值有着同样的符号意义。就是它的值是一个非负数，也就是说它的最小值为零。如果在它的前面添上一个负号的话，它就有最大值为零。正因为它有这方面的特点，所以我们求有关最值方面的问题首先就应该想到用完全平方式对其进行配方，把它配成一个完全平方式的形式再加上(或是减去)一个常数的形式来解决此类问题。 如：求x²+x+1的最小值(或证明不论x为何值时这个代数式总是正的)，实际上这两种问法都是一种解答：具体是先用配方法把它配成了(x+1/4)² +3/4形式之后，再根据一个数的平方的最小值为零，就可以知道这个代数式的最小值为3/4。这样就用到了用完全平方式来配方求最值。再作进一步的分析可知，上面这个例子中的代数式是只含一个未知数的，像这样代数式中只含一个未知数的，只要是求最值的(或证明不论x为何值时这个代数式总是正的或是负的)我们用这样的配方都可以解决此类的问题。如果我们想像力再丰富一点，把这个未知数的个数增添一个，有两个未知数的某种代数式。还能不能用这样的方法来求最值呢？ 如：求代数式2a²-8ab+17b²-16a-4b+2009的最小值。这个与上面的代数相比未知数多了一个且项数也多了，那么还能用上面的方法来解决此题吗？如果我们能够很好的撑握配方中换主元的思想，还是可以用刚才的方法来求代数式2a²-8ab+17b²-16a-4b+2009最小值的。解这类的问题首先要把一个未知数看作是未知数而另一个先看作是常数，也就是说在配方的过程中先不管另一个未知数。就上面这个问题，就可以先把a当作未知数而暂把b当作常数来看，当把a配好了，在剩下的代数式中不含a只含b，然后再把b看为未知数，对b的代数式进行配方，最终配成两个完全平方式加上(或是减去)后面的常数。这种配方的方法叫做换主元法。 用这种方法就可以先把上面的式子化为& 2a²-8(b+2)a+17b²-4b+2009，再从这个形式中先配字母a即用添零法可以化为2a²-8(b+2)a+8(b+2)²-8(b+2)²+17b²-4b+2009，然后利用完全方式就可以把字母a配进完全平方式内，就变为2(a-2b-4)²-8(b+2)²+17b²-4b+2009，再在这个完全平方式后面的代数中就只含有字母b，接着再对第一完全平方式后面的代数进行化简与配方不就可以化成2(a-2b-4)²+9(b-2)²+2011形式了吗？此时，当a-2b-4=0且b-2=0时就可以求出这个代数式的最小值是2011，同时解出上面的两个二元一次方程组，我们还可以求出当此代数式取得最小值时a与b取值是8与2。 然后再回头比较上面这两个求代数式最小值的问题时。我们可以发现：因为第一个代数只含有一个字母，第二个代数式含了两个字母，而求最值的方法都是用配方，只不过含一个字母的代数式用了一次配方，含两个字母的代数式则用了两次配方。而配方的思想都是用添零法构造成一个完全平方的形式。从而得出代数式的最值。所以，从理论上来说我们还可以根据这种&换主元配方法&解决含有三个或三个以上未知数的求代数式最值的问题。 我们用这种方法可以解决一些全国竞赛中的数学问题。如；在2000年全国初中数学竞赛中最后一题是：一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第二层至第三层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯就感到1分不满意，往上走一层就感到3分不满意。现在有32人在第一层，并且他们分别住在第2层与第33层的每一层，问：电梯停在哪能一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)。这个问题我们一眼就可以断定这其中肯定有人是不做电梯而选择直接上楼的，因为电梯只在这三十二层中停一次，我是住第二与三层的人也不可能去坐电梯呀。所以，如果设有a个人选择直接上楼，有b个人乘电梯，则由题意就可以得到他们不满意的总分为：3[1+2+3+&&&+(33-a)]+3(1+2+3+&&&+b)+[1+2+3+&&&+(a-b-2)]，然后进行代数式化简得到：2a²-ab+2b²-102a+3b+1684的形式，这样的形式我们用上面所讲的换主元配方法就可以解决了。还有2001年全国数学竞赛试题第一大题是：在直角坐标系中有三点a(0，1 )&& b(1，13)&& c(2，6 ) 。已知直线 y=ax+b& 上横坐标为0，1，2的点分别为d，e，f 。试求a与b的值，使ad²+be²+cf²达到最小值。这题的解法就是先把直线上的三点d，e，f 的坐标用含有a与b的代数式表示出来，而后再用两点之间距离的公式就可以把ad²+be²+cf²表示为：5a²+6ab+3b²-30a-20b+64 的形式，这个形式是在上面探讨过的熟悉的形式，容易得到，当a与b的值为5/2与5/6时，取得的最小值为1/6等等。 第二、完全平方式(a+b)²=a²+2ab+b²项数的拓展应用 这个公式(a+b)²=a²+2ab+b²的理解为：两项和的平方就等于各项的平方和加上这两项积的二倍，再看看这个：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2cb+2ac& 与& (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd&& 我们比较就可以总结出以上三个式子的共同特点是：几项和的平方就等于各项的平方与每两两乘积的二倍的和。这个证明就是连续用完全平方式展开就可以得到。由此我们可以对此公式的形式进一步拓展为&任意项和的平方的展开式，它就是等于各项的平方与这任意项中每两两乘积的二倍的和&。 它的应用如：2002年我爱夏令营的一竞赛试题：已知a1，a2，&&&，a2009都是+1或-1，设b是这2009个数的两两乘积之和：(1)求b的最大值和最小值，并指出能达到最大值与最小值的条件。(2)求b的最小正值，并指出能达到最小正值的条件。这个题目如果是直接去求简直是不太可能正确的解出此题，如果我们用上面的这个公式的拓展形式去解此题，就显得容易多了，即把2009项的每两两乘积之和化为[(a1+a2+&&&+a2009)²-(a1²+a2²+&&&+a2009²)]/2，这样不管a1，a2，&&&，a2009取的是+1还是-1，a1²+a2²+&&&+a2009²的值都等于2009不变。如此2009项的每两两乘积之和的最值就取决于(a1+a2+&&&+a2009)²的最大与最小了。因为a1，a2，&&&，a2009取值是+1或-1，所以(a1+a2+&&&+a2009)²的最大值能取到2009²，最小值就可以取到1，这样第一问就可以解决了。而对于第二问只要判断出平方数比2009大的最小的数即可。由此看来，如果我们撑握了这个公式的拓展的应用，对解决这类问题就会轻而易举。如果我们把这个题目的条件改为a1，a2，&&&，a2009取的是+2或-2等。它的解法还是一样的，只是数字的计算变得比上面问题复杂点而已。 第三、完全平方式在二次根式中有理化应用 我们知道，二次根式里的开方与完全平方式中的平方刚好可以把平方内的非负数开出来。正因为平方与开方有互逆的运算，所以在解决开平方的有理化问题，往往要把根号内的代数式化为一个完全平方式的形式。如；第1题：设m是不为零的整数，二次方程mx²-(m+1)x+1=0有有理根，求m的值。第2题：化简 3加2根号2的算术平方根。前一个题目首先要注意的是m不等于零，然后根据求根公式可以知道，要使这个方程有有理根，求根公式里的判别式应该是一个整式的平方，不然就开不出来，方程也就不可能是有理根了 ，所以有&&&&&&&&&&& △=(m+1)²-4m=m²-6m+1=a²(且其中a为非负整数)，然后化上式化为(m-3)²-8=a²，再移项用平方差的公式进行因式分解，利用求整解方程的方法化这个不定方程为几个二元一次方程组，从而解出这几个二元一次方程再检验即可。至于后一个题目是直接把3拆成2加1，再把2看成是根号2的平方，用完全平方和就可以开出来，即结果是根号2加上1。总之，只要是解决开平方的有理化的问题，就一定要先考虑在根号里面的代数应该是某一个数或是整式的完全平方式，然后再用平方差公式对其进行因式分解，转化为求整解不定方程的方法，就可以解决此类问题。 第四、用完全平方式来求范围 再看式子a²+2ab+b²=(a+b)²与 a²-2ab+b²= (a-b)²我们知道这两个公式中的右边，从结果的正负来看(a+b)²与(a-b)²都是大于等于零的。所以，我们还可以用这个关系去解决好多有关求范围的竞赛问题。如：已知实数a ，b满足a²+ab+b²=1,且t=ab-a²-b²。那么t的取值范围是多少？ 解：这个问题如果用上面两个式子相加就可以得到2ab=t+1，如果用上面两个式子相减就会得到a²+b²=(1-t)/2，再根据完全平方式这个公式就可以得到：(a+b)²=(t+3)/2&&& (a-b)²=-(3t+1)/2，然后根椐完全平方式不可能为负数的意义，就可以得到(t+3)/2 &0且-(3t+1)/2&0的不等式组，由此我们就可以很快地得出t的取值范围是：-3&t&-1/3。如果我们再进一步对完全平方差的研究还可以发现一个重要的不等式：因为a²-2ab+b²= (a-b)²&0的，所以就可以得到：a²+b²&2ab，这个式子当且仅当a=b时才可以取到等号。如果我们用这个不等式去求一些最值问题时，就有一种直接的效果。如；当我们求a²+1/a²的最小值时用这个不等式就方便多了，就有a²+1/a²&2a&1/a=2，所以当且仅当a=&1时就得到最小值是2等等。 &通过上面的探讨，我们可以发现数学竞赛的题目还是来源于书本的知识。只不过是对书本知识的拓展应用，只要我们在平时的教学中能够充分做好各个知识的拓展的教学，就完全可以消除学生怕竞赛及竞赛难的心理恐惧。从而也会激
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文明上网,理智发言完全平方式的特点_百度知道
完全平方式的特点
怎么知道哪些式子是完全平方公式?
最好举个例子
提问者采纳
只要原式可以写成（a+b）²即可其中a和b既可以是数，也可以是代数式（单项式，多项式都可以）即把某某看做是一项，利用了整体带入的数学思想。这需要多进行一些练习才能一下看出来，不必着急如（a+2b）²=a²+4ab+4b²
其中2b为公式中的b
25x²+20xy+4y²=(5x+2y)² 其中5x是公式中的a，2y是公式中的b
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出门在外也不愁1.5完全平方式(1)_百度文库
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