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线性代数试题1答案
线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）
第一题：1-5:BDABB5-10:CCDDD第二题：11. -15；
14. t=-3；
16. n-r；?2?20?17.(1, 1, 2)；
18. 1，1，4；
19.??231?；
20.1, 2, 3. ???01?1???第三题：1?x121.解：11?x111?x?x001?x11= 111?y111?y100?y?y111?y1111?x1?xy000?xy11x=x2y2. 0y0011?2??11?1?22.解：令A=??211?, B=?3?. ?????111??6??????11?0?因为(AE)=??211010???03?1210? ?????2?101???????1000?1??010?2?1?001?2??1313
1??0??3??1?1，所以A?1???26??11????2??21?3??2??1??1?????3?3.???6????6??2?????1?2??131301?3??1?. 6?1??2?1?0??3?11由AX=B，得：X=A-1B=??23?1??0?223.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：?1?1?1?1???(?1T??2?3?4)??21??3114??1?13?2??00???35??03??56??0414?2?6?? 1?3??2?6?010007?00??. 1?3??00??1?114??1?1?002?6??01??????011?3??00???00?26???0014??11?3??0???1?3??0??00??0所以，r(?1,?2,?3,?4)=3,极大无关组为?1,?2,?3;?4?7?1?3?3.24.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：2??2?A??12?142???0?53?7?3??????17?411a??05?37a?2?????2??12?14??0?53?7?3?. ???0000a?5???若方程组有解，则r(A)?r(A)，故a=5. 当a=5时，继续施以初等行变换得：1??105?3?A?01??5?000????3?，原方程组的同解方程组为： ?50???416?x??x?x413??555,x3,x4为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组??x2?3?3x3?7x4?555??4??5???3??的一个特解：. ?5??0????0???16?x??x?x413??55,x3,x4为自由未知与导出组同解的方程组为：??x2?3x3?7x4?55??1??0??x3?量，令??分别取??,??，得到导出组的基础解系： ?0??1??x4??1??6???5???5?????37??,???，所以，方程组的全部解为： ?5??5??1??0??????0??1??????4??1??6??5???5???5???????337 v????c1???c2???，其中，c1 ，c2为任意常数. ?5??5??5??0??1??0????????0??0??1???????25. 解：矩阵A的特征多项式为：??2|?E?A|??1?100??21?(??2)2(??1)， 0??1所以，A的特征值为：?1??2?2,?3?1.对于?1??2?2，求齐次线性方程组(2E?A)x?o的基础解系，?000??10?1??0??1??,?0?，从2E?A???101???000?，得基础解系：?1?????????0??1???101??000?????????而矩阵A的对应于特征值?1??2?2的全部特征向量为：?0??1?c1?1??c2?0??????0??1?????c1,c2不全为零.对于?3?1，求齐次线性方程组(E?A)x?o的基础解系，??100??100??0??，从而矩E?A???1?11???01?1?，得基础解系：?1???????1???100??000????????0?阵A的对应于特征值?3?1的全部特征向量为：c?1?(c?0) . ???1????0??1??0??，?0?，?1?，因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量?1???????0??1??1????????010??200?所以， A相似于对角矩阵，且P??101?,???020?.
?????011??001?????2226.解：f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x322=[x12?4x1(x2?x3)?4(x2?x3)2]?4(x2?x3)2+2x2?x3?4x2x322=(x1?2x2?2x3)2?2x2 ?4x2x3?5x3222=(x1?2x2?2x3)2?2(x2 ?2x2x3?x3)?3x32=(x1?2x2?2x3)2?2(x2?x3)2?3x3.?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2??
令?y2?x2?x3，即?x2?y2?y3，??y?x3?x3?y3?3得二次型的标准形为：y12?2y22?3y32.第四题：11011027.证：因为?110?020?2?0，所以?1,?2,?3线性无关，111001所以向量组?1,?2,?3是R3空间中的一个基.
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。a11a121.设D=a21a22a31a32a13?2a113a11?a12a23=M≠0，则D1=?2a213a21?a22a33?2a313a31?a32a13a23=
D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足
)．A. A≠ O
D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则
)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0
B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=O
D.(AB)-1=B-1A-1?ab?-14.二阶矩阵A??，|A|=1，则A=
)． ??cd??d
A. ??cb??d?b??a?b??ab?
D.? ????a???ca???cd??cd?5.设两个向量组??????则下列说法正确的是??s与????????t，(
)．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r(????????s)= r(????????t)C.若s = t，则两向量组等价.D.若r(??????6.向量组??????A. ??????B. ??????C. ????????s)= r(????????t)，则两向量组等价.
??s线性相关的充分必要条件是
)．??s中至少有一个零向量 ??s中至少有两个向量对应分量成比例 ??s中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. ?s可由????????s-1线性表示7.设向量组?1,?2,...,?m有两个极大无关组?i1,?i2,...,?ir与?j1,?j2,...,?js，则下列成立的是(
)．A. r与s未必相等
B. r + s = mC. r = s
D. r + s & m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是(
)．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.?2x1?x2?x3?0?x2?kx3?0有非零解，则k = (
)． 9.设方程组??x?x?0?12A. 2
D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(
)．A. |A|&0
B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零
D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D =
．12.若方阵A满足A2 = A，且A≠E，则|A.113.若A为3阶方阵，且 |A|? ，则|2A|=
2?10?114.设矩阵A??2?1?2??31t?2?6?的秩为2，则t =
?4??15.设向量?＝(6，8，0)，?=(4，C3，5)，则(?,?．16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r & n，则基础解系含有解向量的个数为
个.17.设??＝(1，1，0)，??＝(0，1，1)，??=(0，0，1)是R3的基，则?=(1，2，3)在此基下的坐标为
.18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 .2219.二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?x3?4x1x2?2x2x3的矩阵A?123?20.若矩阵A与B=?024?相似，则A的特征值为
. ???003???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式1?x1111?x111?y的值.
?2??11?1?22.解矩阵方程：??211?X??3?. ?????111??6?????
23.求向量组??=( 1, 1, 2, 3 )，??=(－1,－1, 1, 1 )，??=(1, 3, 3, 5 )，并将其余向量用该极大??=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，无关组线性表示.
?2x1?x2?x3?x4?1?24.a取何值时，方程组?x1?2x2?x3?4x4?2有解？并求其通解?x?7x?4x?11x?a234?1（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
?225.已知A???1??1能否对角化，若能，求可逆矩阵
00?2?1?01?,求A的特征值及特征向量，并判断A??P，使P C1AP =Λ（对角形矩阵）．26.用配方法将下列二次型化为标准形：22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3
四、证明题（本大题共6分）27.设向量?1?(1,?1,1),?2?(1,1,1),?3?(0,0,1)，?1,?2,?3是R3空间中的一个基.
证明向量组
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第三方登录：考研数学(三)模拟试题题库
本试题来自：（2013年考研数学(三)模拟试题，）一、选择题设A为三阶方阵，A1，A2，A3表示A中三个列向量，则|A|=______．A．|A3，A2，A1|B．|A1+A2，A2+A3，A3+A1|C．|-A1，-A2，-A3|D．|A1，A1+A2，A1+A2+A3|正确答案：有， 或者 答案解析：有，
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