已知圆M的圆心M在x轴上,半径为2直线l:3x-4y 1=0被圆M截得直线与圆的弦长公式为2√3.且圆心M在直线l的上方,求圆M的方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-26 00:31 标签： 圆的弦长公式
已知圆M：2x^2+2y^2-8x-8y-1=0和直线l:x+y-9=0,过直线上一点A作ABC，使角BAC=45度，AB过圆心M，且B,C在圆M上
已知圆M：2x^2+2y^2-8x-8y-1=0和直线l:x+y-9=0,过直线上一点A作ABC，使角BAC=45度，AB过圆心M，且B,C在圆M上
（1）当A横坐标为4时，求直线AC的方程
（2）求点A的横坐标的取值范围
圆M方程可改写为

(x-2)^2+(y-2)^2=(√34/2)^2

说明M的圆心为 O(2，2),半径r=√34/2。
A点在直线L上，所以当横坐标x=4，纵坐标=5，
AB通过圆心O（2，2）所以AB的斜率k1=(5-2)/(4-2) =3/2
..........(1)
设AC的斜率k2,AB、AC夹角为45°
=&
tan45=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=1

k2=(-1 ±k1)/(k1 ±1)
................(2)

将k1=3/2代入得

k2=(-1+3/2)/(3/2+1)=(1/2)/(5/2)=1/5

或k2=(-1-3/2)/(3/2-1)=(-5/2)/(1/2)=-5
AC有两条直线满足条件，由点斜式可得其方程分别是：

y-5=(1/5)(x-4)
x-5y+21=0

y-5=(-5)(x-4)
5x+y-15=0
求A点横坐标范围：设A的横坐标为a,则A点坐标为(a,9-a)。由于C在圆M上因此AC必须与圆M存在交点。也就是，圆心O至AC的距离必须小于半径，现在由圆心向AC作垂线，垂足为D，在直角三角形AOD中，由于角OAD=45°，所以OD=AO* √2/2=√[(a-2)^2+(9-a-2)^2]*√2/2≤√34/2
=&
(a-3)(a-6)≤0
=&
3≤a≤6 

M:(x-2)^2+(y-2)^2=8.5
圆心为(2,2)
A为(4,5)
AB过圆心M和A,则其方程为
AB:-3x+2y+2=0
其倾斜角为atan(1.5)
BAC为45度
所以AC的倾角为atan(1.5)+45度，或atan(1.5)-45
其斜率为-5,或0.2
AC过A点，其方程为
y=-5(x-4)+5
y=-5x+20
或
y=0.2(x-4)+5
y=0.2x+4.2
此直线与圆没有交点
所以
AC:y=-5x+20 

其他回答 (1)
(1)M(2,2),AM的斜率K1＝3/2，设ＡＣ的斜率为Ｋ２，（Ｋ２－Ｋ１）／（１＋Ｋ１＊Ｋ２）＝１，得Ｋ２＝－５，ＡＣ方程为Ｙ－５＝－５（Ｘ－４）

第二问，就是那么做的···
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＞＞＞已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线..
已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
设圆心M（0，b），半径R．圆M交L1于AB两点．AB=8，做MN⊥L1，交L1于N点．则N平分AB． AN=4，连AM，则AM=R．&|MN|=|4b+3|32+42=|4b+3|5，|AN|2+|MN|2=R2=16+(4b+3)225，点M到直线L2距离d=R（圆M与直线L2相切），d2=R2=(37-4b)225，∴16+(4b+3)225=(37-4b)225，16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），8b=34-16×2540=24，b=3，R2=(37-4×3)225=25，∴圆M的方程为：x2+（y-3）2=25．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线..”主要考查你对&&圆的标准方程与一般方程，圆的切线方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆的标准方程与一般方程圆的切线方程
圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程当＞0时，表示圆心在，半径为的圆； 当=0时，表示点； 当＜0时，不表示任何图形。 圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．(3)圆的一般方程形式的特点：a．的系数相同且不等于零；b．不含xy项．(4)形如的方程表示圆的条件：a．A=C≠0；b．B=0;c.即
&几种特殊位置的圆的方程：
圆的切线方程：
1、已知圆， （1）若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是； （2）当圆外时，表示过两个切点的切点弦方程。 （3）过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线。 （4）斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b，必有两条切线。 2、已知圆， （1）过圆上的点的切线方程为； （2）斜率为k的圆的切线方程为。 圆的切线方程的求法：
①代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个交点，将直线方程代入圆的方程，从而△=0，可求解；②几何法利用几何特征：圆心到切线的距离等于圆的半径，可求解．
过定点的圆的切线方程：
①过圆上一点的切线方程：与圆的切线方程是与圆的切线方程是 与圆的切线方程是 与圆的切线方程是
②过圆外一点的切线方程：设外一点，求过P0点的圆的切线．方法l：设切点是，解方程组
求出切点P1的坐标，即可写出切线方程。方法2：设切线方程是 ，再由 求出待定系数k，就可写出切线方程.特别提醒:一般说来，方法2比较简便，但应注意，可能遗漏k不存在的切线．因此，当解出的k值唯一时，应观察图形，看是否有垂直于x轴的切线．
发现相似题
与“已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线..”考查相似的试题有：
850351810845764133763440833177807307已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=4/3x-1/2,被圆M所截得的弦长为根号3，且圆心M在直线l的下方_百度知道
已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=4/3x-1/2,被圆M所截得的弦长为根号3，且圆心M在直线l的下方
（1）求圆M的方程（2）设A(0，t),B(讥珐罐貉忒股闺瘫酣凯0,t+6)(-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值
提问者采纳
(1)L：y=(4/3)x-1/2 ， 即：4x-3y- 3/2=0设圆心M(a，0)弦长的一半为√3/2，半径r=1∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²)∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2∴a=1或 -1/4即M(1，0)或(-1/4，0)又∵M在直线L下方∴M(1，0)即圆M：(x-1)²+y²=1(2)设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则：直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0联立AC、BC，得：C点的横坐标为 X(C)=6/(k1-k2)
∵|AB|=t+6-t=6∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-讥珐罐貉忒股闺瘫酣凯k2)
(画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0)∵AC、BC与圆M相切∴圆心M到AC的距离 d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t)圆心M到BC的距离 d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)]∴k1-k2=(1-t²)/(2t)
[1-(t+6)²]/[2(t+6)]
3(t²+6t+1)/(t²+6t)∴S=18/(k1-k2)
(已证)=6(t²+6t)/(t²+6t+1)=6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1)=6 [ 1
1/(t²+6t+1)
]∵-5≤t≤-2∴-2≤t+3≤1∴0≤(t+3)²≤4∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4∴S(max)=6(1
1/4 )=15/2S(min)=6(1
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