f x=xsinx求导+cosx在区间（0,3派/2）上的极大值为？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-01-09 23:04 标签： xsinx积分
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设函数f(x)=（x2+ax+a）e-x，其中x∈R，(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小值为0；(Ⅱ)证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3。&
题型：解答题难度：中档来源：陕西省模拟题
解：(Ⅰ)由于，所以，令f′(x)=0，解得：x=0或x=2-a，①当a=2时，f′(x)≤0，此时无极值；②当0＜2-a，即a＜2时，f′(x)和f(x)的变化如下表1，此时应有f(0)=0，所以，a=0＜2；③当0＞2-a，即a＞2时，f′(x)和f(x)的变化如下表2，此时应有f(2-a)=0，即，所以必有；综上所述，当a=0或a=4时，f(x)的极小值为0。(Ⅱ)若a＜2，则由表1知，应有f(2-a)=3，即，∴，设，则，由a＜2，故g′(x)＞0，于是当a＜2时，g(a)＜g(2)=2＜3，即不可能成立；若a＞2，则由表2知，应有f(0)=3，即a=3；综上所述，当且仅当a=3时极大值为3。
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=（x2+ax+a）e-x，其中x∈R，(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“设函数f(x)=（x2+ax+a）e-x，其中x∈R，(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小..”考查相似的试题有：
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【优化方案】2013年高考数学总复习 第二章第一二课时知能演练+轻松闯关 文.doc5页
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【优化方案】2013年高考数学总复习 第二章第12课时知能演练+轻松闯关 文
1.若函数fx=ax3-bx+4,当x=2时,函数fx有极值-.
1求函数的解析式;
2求函数fx的极大值.
解:1由题意可知f′x=3ax2-b.
于是,解得,
故所求的函数解析式为fx=x3-4x+4.
2由1可知f′x=x2-4=x-2x+2.
令f′x=0,得x=2或x=-2,
当x变化时,f′x、fx的变化情况如下表所示:
x -∞,-2 -2 -2,2 2 2,+∞
f′x + 0 - 0 +
fx 单调递增单调递减 - 单调递增
因此,当x=-2时,fx有极大值.
2.已知函数fx=2-alnx++2axa∈R.
1当a=0时,求fx的极值;
2当a0时,求fx的单调区间.
解:1依题意知fx的定义域为0,+∞.
当a=0时,fx=2lnx+,f′x=-=.
令f′x=0,解得x=.
当0x时,f′x0;当x时,f′x0.
又∵f=2-2ln2,∴fx的极小值为2-2ln2,无极大值.
2f′x=-+2a=
当a-2时,-,
令f′x0得0x-或x;
令f′x0得-x.
当-2a0时,-,
令f′x0得0x或x-;
令f′x0得x-.
当a=-2时,f′x=-≤0.
综上所述,当a-2时,fx的递减区间为0,-和,+∞,递增区间为-,;当a=-2时,fx在0,+∞上单调递减;当-2a0时,fx的递减区间为0,和-,+∞,递增区间为,-.
一、选择题
1.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是
C.,D.2π,3π
解析:选C.y′=xsinx+cosx′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈,时,恒有xcosx0.故选C.
2.设fx=xax2+bx+ca≠0在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是
A.a,bB.a,c
C.b,cD.a+b,c
解析:选A.f′x=3ax2+2bx+c,由题意知1、-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,∴1-1=-,b=0,故选A.
3.函数fx=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是
C.0D.由a确定
解析:选C.f′x=3x2+6x+3=3x+12≥0恒成立,
∴fx在R上单调递增,故fx无极值,选C.
4.已知函数fx的导数为f′x=4x3-4x,且fx的图象过点0,-5,当函数fx取得极大值-5时,x的值应为
解析:选B.由f′x=0,得极值点为x=0和x=±1.仅当x=0时,fx取得极大值
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