12线性代数的过去、现在、未来及其应用
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12线性代数的过去、现在、未来及其应用
线性代数的简单介绍；线性代数是高等代数的一大分支；线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究；现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间；作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空；向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域；高维问题研究是目前许多数学领域的热点，也是代数表；我们可以简单地说数学中的线性问题――-那些表现出；线性代数方法是指使用线性观点
线性代数的简单介绍线性代数是高等代数的一大分支。线性代数是最古老的数学分支之一，是研究数学的最基础的工具，但是线性代数理论的研究目前仍然十分活跃，许多新成果不断涌现。线性代数已渗透到数学的众多分支和其它学科的许多分支，是应用最广泛的数学分支之一。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分高维问题研究是目前许多数学领域的热点，也是代数表示论和非交换代数/几何的一个重要方向。由于高维代数表示型是野的，其表示分类是不可能的。有限复杂度自入射代数是表示中高维问题研究的一类重要代数，我们发现它具有驯化代数的一些特征。外代数及其上斜群代数不仅是有限复杂度自入射代数的典型例子，也有着非常深刻的背景和应用，也是我们有限复杂度自入射代数的起点。我们提出了循环维数向量概念，建立了外代数Koszul模的循环滤的方法，推广了遗传代数表示的一些结果，并证明外代数的斜群代数以McKay箭图为其箭图。本年度的主要突破是对McKay箭图的研究，我们将Cartan矩阵推广到高维，建立了McKay箭图与半正定而次型的联系而推广了Euclid图的性质。刻画了一般循环群和Abel群的McKay箭图。。我们可以简单地说数学中的线性问题――-那些表现出线性的问题――是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的发展史讲到线性代数的发展史必须提及代数的发展史一、代数学的形成和发展历史从代数学的发展历史看，大体上分为三个时期。而在这三个时期中，人们将三个很不相同的东西都理解为代数学，也就是说这三个时期中说的代数学有很大差异。因此也就很难给“什么是代数学”下一个统一的定义。下面我们从三个不同时期的内容来了解代数学，了解代数学的形成和发展历史。 1. 第一个时期 这一时期大约从古代一直到十七世纪的样子。在九世纪时，中亚地区(约783－850)，他在公元820年写了一本书，其阿拉伯书名为“ilm al-Jabr wal Mugabalah”。 al-Jabr意为“整理”－ －即把负项移到方程另一边变成正项；Mugabalah意为“对消”或“化简” －－即指方程两边也可消去相同项或合并同类项。因此，该书若直译应为“整理与对消的科学”。在12世纪该书译成拉丁文时书名为《Ludus algebrae et almugraba eque》.后来简称为Algebra。这样，Algebra作为代数学的名称，从那时起在欧洲一些国家使用。在我国，最早把Algebra音译为“阿尔热巴拉”，到1859年清数学家李善兰棣么根(A.deMorgan)的书《Elements of Algebra》才正式把Algebra定名为“代数学”，一直沿用至今。花拉子米的《代数学》内容由三部分组成：①讲述现代意义下的初等代数，其中有特殊的数学方程及解法，代数式的运算等；②讨论各种实用算术问题；③列举大量有关继承遗产的应用问题。《代数学》传入欧洲后，对欧洲数学的代数产生了重大影响。应该指出，公元一世纪编著而在公元263年又被我国数学家刘微的注译《九章算术》中就已经有一元二次方程，到七世纪，中国已能解三次、四次方程的正根，十一世纪能求数学系数高次方程的近似根，即秦九鞘方法。中国在代数学上的辉煌成就，可以说是当时世界上最先进的代数学。在古代，为了解决某些数学问题而找到的定理和法则都是用语言把它写下，因为那时字母表示法还没有发明，后来渐渐意识到字母表示数的重大意义，即不仅用字母表示未知数，也用字母表示已知数和给定量。这样一来，就使得代数学中一个定理和法则描述和表达极其明确和简洁，这对于代数学的发展产生重大影响，是数学史上一个划时代的伟大事件。从此开始，人们把代数学实际看成是关于字母计算、关于由字母所构成的公式的变换和代数方程的科学。它与算术的不同在于算术永远是对具体数字的运算，仅仅从这以后，甚至很复杂的数学法都易于观察和了解。在用字母代表数的变迁中作出贡献的首推韦达，而笛卡尔对此也作了不少工作。这一时期代数学的另一特点是整个数学，无论是几何学还是无穷小分析，都叫做代数学。这特别明显表现在十七世纪欧拉所著的有名的《代数学引论》一书中，他当时把代数学定义为各种量的计算的理论，他的书包含有：整数、分数、二、三次方根计算、对数、级数、多项式的计算、二项式定理及应用、线性方程组理论、一二三四次方程解法以及整数不定方程解法等等。一般二次方程的求根公式最早出现在花拉子米的《代数学》一书中，这是花拉子米的最重要的贡献。一直到十六世纪，三、四次方程的求根公式相继被意大利数学家菲洛、塔尔塔里亚和费拉里()所找到。 2.第二个时期 在十八世纪和十九世纪初，代数学的问题之一，即代数方程的解法被认为是中心问题。因为在十六世纪意大利数学家在求得三、四次方程的一般解法后，人们就全国来求五次或五次以上一般方程的代数解法，当时一些最伟大的数学家如卡丹、笛卡儿、牛顿、欧拉、达朗贝尔、拉各朗日、高斯、阿贝尔、伽罗华以及斯图母等等，创造了与这个问题有关的大规模的复杂理论。如高斯在1799年证明了有名的代数学基本定理，笛卡儿特别是斯图母于1835年给出了关于实根个数的判定法，等等，对代数学的发展产生重要影响。但是，虽然经过大多数数学家的顽强努力，而用根号解高于四次方程的问题仍悬而未决。当1824年一个年青的有天才的挪威数学家阿贝尔()的著作出版时，使当时所以数学家都大为惊奇，他证明了如果方程的次数大于等于5，且系数看出字母，那么任何一个由这些系数组成的根式都不可能是该方程的根。原来一切国家的最伟大的数学家三个世纪以来用根号解五次或更高次的方程，之所以不能获得成就，只因为这个问题根本就没有解。但是，这并不是问题的全部，代数、方程理论的最关键之处仍留在
面，阿贝尔只是证明了一般的五次或五次以上的方程不能用根号解，但并不排除特殊的方程可用根号解。于是关于用根号解方程的问题又在新的基础上提出来了：一个方程究竟可用根号解的充分必要条件是什么？这个问题于1830年竟被一个不满20岁的法国青年数学家伽罗华(Calios )所彻底解决。他的工作是开创性的，他在方程解方面的卓越成就现在已发展成数学中一个新的分支DD群论，它广泛应用于数学、物理、化学等学科中去。在十九世纪中叶，即欧拉的《代数学引论》出版一百年的时候，谢尔的两卷《代数学》问世了，该书把代数定义为代数方程理论的科学，书中第一次序数了代数方程理论的顶峰DD伽罗华理论。在这一时期，作为与代数方程解法相关联的行列式与矩阵的理论，二次型及线性变换等线性代数理论也发展起来了。 3. 第三个时期 包含各类专业文献、中学教育、高等教育、专业论文、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、文学作品欣赏、12线性代数的过去、现在、未来及其应用等内容。　
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线性代数的理解 学完再看觉得自己弱爆了
对了解矩阵、线性变换的本质有太大帮助
如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。&，然而&按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。&
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵&相似&？这里的&相似&是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用&特征&甚至&本征&来界定？它们刻划的究竟是什么？
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是&存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质&，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用&空间&来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的&连续&性的运动，
上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，&空间&是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0,x1,&, xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
L2. 闭区间[a,b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是nx 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。
接着理解矩阵。
上一篇里说&矩阵是运动的描述&，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白&高等数学是研究运动的数学&这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，&运动&的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个&运动&，一下子就&跃迁&到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的&运动&，或者说&跃迁&，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，&运动&这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是&跃迁&。因此这句话可以改成：
&矩阵是线性空间里跃迁的描述&。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语&&变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4x 4的。说其原因，很多书上都写着&为了使用中方便&，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学&&几何工具算法详解》。
一旦我们理解了&变换&这个概念，矩阵的定义就变成：
&矩阵是线性空间里的变换的描述。&
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个&对立矛盾统一体&。这样一来，&选定一组基&就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
&矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。&
理解这句话的关键，在于把&线性变换&与&线性变换的一个描述&区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道，线性空间里的基本对象是向量，而向量是这么表示的：
&&&&&& [a1, a2, a3, ..., an]
矩阵呢？矩阵是这么表示的：
&&&&&& a11, a12, a13, ..., a1n
&&&&&& a21, a22, a23, ..., a2n
&&&&&&&&&&&&&&&& ...
&&&&&& an1, an2, an3, ..., ann
不用太聪明，我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。特别的，n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵，如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系。之所以矩阵又是运动，又是坐标系，那是因为&&&运动等价于坐标系变换&。对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：&对象的变换等价于坐标系的变换&。或者：&固定坐标系下一个对...
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