【优教通，同步备课】高中数学（北师大版）必修五教案：2.1&典例分析：正余弦定理在解决三角形问题中的应用（数理化网&为您收集整理）&&人教版
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正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(ACB)=0∴A+B=90o或ACB=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;解:由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)C(cosA+cosB+cosC)=1.解：(sinA+sinB+sinC)C(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]C[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]C2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△。二、三角形中的求角或求边长问题例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。图1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x?cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。解：由cosA=，得sinA=,∵sinB<sinA,∴B中能是锐角∴cosB=,又cosC=-cos(A+B)=sinAsinBCcosAcosB=.例3(98年高考题)已知△ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边，且a+c=2b,ACB=60o,求sinB的值.解：由a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB即2sincos=2sinB由A+B+C=180o得sin=cos.又ACC=60o,得=sinB所以=2sincos又∵0o<<90o,cos≠0，所以sin=.从而cos=.所以sinB=.例4．（2005年湖北卷第18题）在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE?EDcosBED，解法2：以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=例5、(2005年天津卷第17题)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..解法一：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，，由，得所以①由正弦定理.由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，从而例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理））中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（Ⅰ）求的值（Ⅱ）设，求的值。解：（Ⅰ）由得由及正弦定理得于是（Ⅱ）由得，由可得，即由余弦定理得∴例7．（2004年浙江高考数学?理工第17题，文史第18题，）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值.解:(Ⅰ)====(Ⅱ)∵∴,又∵∴当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180°，所以sinA=sinC。连结BD，则四边形ABCD的面积。由余弦定理，在△ABD中，。在△CDB中，。所以20&#0;16cosA=52&#0;48cosC,又因为cosC=&#0;cosA，所以64cosA=&#0;32，cosA=,所以A=120°。所以S=16×sin120°=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。四、解实际应用问题例9某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，（1）&#0;（2）得2x&#0;y=6，将y=2x&#0;6代入（2）得，所以x=15，x=&#0;9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等式例10在△ABC中，求证：++=0.解：因为====4R2(cosBCcosA),同理=4R2(cosCCcosB)=4R2(cosACcosC).所以左边=4R2(cosBCcosA)+4R2(cosCCcosB)+4R2(cosACcosC)=0得证.例11（2000年北京春季高考题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,证明：。证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，，所以=。故等式成立。 例12（1999年全国高中数学联赛题）在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c，若，则。解：由正弦定理，由余弦定理，所以应填。
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数学：1.1.2-1《余弦定理》课件(新人教版A必修5)|
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正弦定理，证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
两边同除以即得： = =
用向量证明：1.过A作单位向量 垂直于
2.找与、 、 的夹角
3。利用等式 +=，与 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R注意：
（1）正弦定理适合于任何三角形。
（2）可以证明 = ==2R
（R为△ABC外接圆半径）
（3）每个等式?
正、余弦定理的应用主讲人：贾国富回顾:1.正弦定理3.在初中判断三角形的形状的依据的什么?即三角形分类的标准,按边或按角判断.2.余弦定理在?ABC中，已知2b=a+c，证明：
2sinB=sinA+sinC问题1：引：你能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？导：如何利用正弦定理证明以上关系？证明：由 得即2sinB=sinA+sinCa=2RsinA，b=2Rsi
课题三、例题分析宏观思路微观直觉四、基础练习一、知识网络二、学法指导五、小结及作业一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络上页重点：让学生掌握三角函数的　　　图象；在理解各组三角　　　公式的基础上掌握并熟　　　练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变换”　　　和“三
余弦定理主讲人：贾国富复习回顾1.正弦定理2.正弦定理的作用(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).第二种情况若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解;若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无 解.问题：问题：以?
三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．定义同角三角函数的基本关系图象性质单位圆与三角函数线诱导公式Cα±β
Sα±β、T α±βy=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B图象万能公式和差化积公式积化和差公式Sα/2=
授课教师　万金圣课题三、例题分析宏观思路微观直觉四、基础练习一、知识网络二、学法指导五、小结及作业一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络上页重点：让学生掌握三角函数的　　　图象；在理解各组三角　　　公式的基础上掌握并熟　　　练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变
正弦定理（一）1、已知两个三角形问：这两个三角形是否全等？2、已知两个三角形问：这两个三角形是否全等？利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？已知两角和任一边，求其它两边和一角；
已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。为 （）A、等边三角形B、直角三角形
C、等腰三角形D、等腰直角三角形?
验证正弦定理
正弦定理的推导
解三角形 数列解三角形一、课程内容解读
解三角形是高中数学中的传统内容，大纲教材比较关注三角形边角关系的恒等变换,教学重点放在运算上。把其列为第五章平面向量的第二节，作为平面向量的一个应用（共16页）。而课标教材它在模块5中独立成章,共28页，其中应用举例和相应素材14页，可见加大了应用的要求。新课标明确指出
余弦定理（一） 复习： 1.正弦定理2.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其它的边和角）.（二）余弦定理的推导如图，在 ? ABC中，
AB = c，BC = a，CA = b .余
1.2.1应用举例
解决有关测量距离的问题1、正弦定理:2、余弦定理:二、应用:一、定理内容:求三角形中的某些元素实例讲解分析：在本题中直接给出了数学模型（三角形），要求A、B间距离，相当于在三角形中求某一边长？想一想用正弦定理或余弦定理解决实例讲解答：A、B两点的距离为65.7米.解：如果对例1的题目进行修改：点A、B?
正弦定理和余弦定理高考对本章的考查趋势(1)斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题；(2)斜三角形的边角关系与解析几何、立体几何、实际应用联系起来组成中档题。正弦定理(1)正弦定理：（其中R为该三角形外接圆的半径）(2)常见变形公式：（角化边）（边化角）（比例）（1）余弦定理：(2)常见变形?
正弦定理（一） 正弦定理的推导
1. 在直角三角形中：这一关系式对任意三角形是否成立呢？2.在锐角三角形中：3.在钝角三角形中：正弦定理:利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角或其他的边、角.在一个三角形中，各边和它所对角的正?1-1-1 正弦定理_百度文库
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1-1-1 正弦定理|高&#8203;二&#8203;数&#8203;学&#8203;必&#8203;修&#03;课&#8203;件
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高中数学 正弦定理、余弦定理,解三角形|高&#8203;中&#8203;数&#8203;学&#8203; &#8203;正&#8203;弦&#8203;定&#8203;理&#8203;、&#8203;余&#8203;弦&#8203;定&#8203;理&#8203;和&#8203;解&#8203;三&#8203;角&#8203;形
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