新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结
《推理与证明》知识归纳总结
归纳推理合情推理推理类比推理推演绎推理理与综合法证明直接证明分析法证明数学归纳
间接证明反证法第一部分合情推理
学习目标：
了解合情推理的含义（易混点）
理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理:
1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:
第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;
第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究:
1.归纳推理的结论一定正确吗?
2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?
题型1用归纳推理发现规律
1、观察：.516.11；.对于任意正实数a,b，试写出使ab211成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式
[解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)
f(n))3n23n1
总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:
第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.思考探究:
1.类比推理的结论能作为定理应用吗?
2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?
(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?
题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的______.
【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即S等体积法，V1，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是3111ah3arrh，类比问题的解法应为Srrh即正四面体的内切球的半径是高3344总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想发思考探究:
1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?
1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
第二部分演绎推理
学习目标：
理解演绎推理的含义（重点）
掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）合情推理与演绎推理之间的区别与联系一、知识归纳：演绎推理的含义:
1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.演绎推理又叫逻辑推理.2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.思考探究:
演绎推理的结论一定正确吗?
演绎推理的模式
1.演绎推理的模式采用“三段论”:(1)大前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情况(S是M);
(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:(1)大前提:x∈M且x具有性质P;(2)小前提：y∈S且SM
(3)结论：y具有性质P.演绎推理与合情推理
合情推理与演绎推理的关系:
(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
第三部分直接证明与间接证明
学习目标：
1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。知识归纳：三种证明方法:
综合法、分析法、反证法
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；
(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立
(4)肯定原命题的结论成立
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法
在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC[解析]ABC为锐角三角形，AB2A2B，
ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB
22同理可得sinBcosC，sinCcosA
sinAsinBsinCcosAcosBcosC
考点2分析法
已知ab0,求证abab
[解析]要证abab，只需证(ab)2(ab)2即ab2abab，只需证bab，即证ba显然ba成立，因此abab成立
总结：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3反证法已知f(x)axx2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根x1x02x01【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax00ax，解得x02，这与x00矛盾，
2x01故方程f(x)0没有负数根
总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法
学习目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。知识归纳：数学归纳法的定义：
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k（∈+，且≥0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法步骤：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k2且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）
A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立
[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B总结：用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式f(k)（3）从f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子
例2、用数学归纳法证明不等式1223n(n1)1(n1)2
2[解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立
123k(k1)(k1)2
212则1223k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)(k2)
2（2）假设当n=k时等式成立，即121(k2)2(k1)(k2)2(k1)(k1)(k2)(k1)(k2)0211223k(k1)(k1)(k2)[(k1)1]2
2当n=k+1时，不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
总结：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面
扩展阅读：新课标高中数学知识点归纳总结
高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教A版
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、
三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。
选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2：由3个模块组成。
选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修22：导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数
选修23：计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。
系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。
选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。
选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修43：数列与差分。
选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。
选修47：优选法与试验设计初步。选修48：统筹法与图论初步。选修49：风险与决策。
选修410：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算
关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.
2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设x1、x2[a,b],x1x2那么
f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.
必修1数学知识点第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.
步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1x2，则：fx1fx2=
(2)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；
若f(x)0，则f(x)为减函数.§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
x，都有fxfx，那么就称函数fx为
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作AB.
2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
.并规定：3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
空集合是任何集合的子集.
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
x，都有fxfx，那么就称函数fx为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在
P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子
集，2n1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：AB.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：AB.3、全集、补集？CUA{x|xU,且xU}§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
程是yy0f(x0)(xx0).2、几种常见函数的导数n'n1'①C0；②(x)nx；
③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；⑤(a)alna；⑥(e)e；
⑦(logax)'1xlna''；⑧(lnx)'1x
*n3、导数的运算法则（1）(uv)uv.（2）(uv)'u'vuv'.uuvuv（3）()'(v0).2vv4、复合函数求导法则'''a0,m,nN⑵an1an,m1；
4、运算性质：⑴arasarsa0,r,sQ；
⑵ararsa0,r,sQ；
s复合函数yf(g(x))的导数和函数
yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：
极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；
极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：
①如果在x0附近的左侧f(x)＞0，右侧f(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）
''⑶abarbra0,b0,rQ.
r§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：yaxa0,a1
⑵loga⑶logMlogNMnaMlogaN；
ba5、换底公式：logabloglog第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根
函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.2、零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，
xcca0,a1,c0,c1,b0.
6、重要公式：logabmnmnlogab
7、倒数关系：logab1logbaa0,a1,b0,b1.
§2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象：ylog
2、性质：图-12.51.5axa0,a1
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
⑴圆柱侧面积；S侧面2rl
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑵圆锥侧面积：S侧面rl
⑶圆台侧面积：S侧面rlRl⑷体积公式：
V柱体Sh；V锥体⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：ktan2、直线方程：⑴点斜式：yy0kxx0
y2y1x2x113Sh；
V台体13S2上S上S下S下h
⑸球的表面积和体积：
S球4R，V球43R.
3第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
⑵斜截式：ykxb
yy1xx1xayb⑶两点式：y2y1x2x1
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
⑷截距式：1
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
⑸一般式：AxByC0
3、对于直线：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：k1k2⑴l1//l2；
bb216、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
⑵l1和l2相交k1k2；k1k2⑶l1和l2重合；
10、面面平行：
⑷l1l2k1k21.
4、对于直线：l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20dr相切0;dr相交0.
弦长公式：l2r2d2
1k2(x1x2)4x1x2
2A1B2A2B1⑴l1//l2；
B1C2B2C13、两圆位置关系：dO1O2⑴外离：dRr；⑵外切：dRr；
⑶相交：RrdRr；⑷内切：dRr；⑸内含：dRr.
3、空间中两点间距离公式：P1P2⑵l1和l2相交A1B2A2B1；A1B2A2B1⑶l1和l2重合；
BCBC2112⑷l1l2A1A2B1B20.
5、两点间距离公式：P1P2x2x1y2y1z2z1
2必修3数学知识点第一章：算法
1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构⑴顺序结构示意图：
当型循环结构直到型循环结构6、点到直线距离公式：dAx0By0CAB22
7、两平行线间的距离公式：l1：AxByC10与l2：AxByC20平行，
C1C2AB22则d
第四章：圆与方程1、圆的方程：2⑴标准方程：xaybr
22其中圆心为(a,b)，半径为r.
⑵一般方程：xyDxEyF0.其中圆心为(D2,E2)，半径为r12DE4F.
22语句n语句n+122（图1）
⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
2、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:
222满足条件？是语句1否语句
②IF-THEN格式：是满足条件？否语句
⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：循环体满足条件？是否
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：循环体否
满足条件？是（图5）
4、基本算法语句：①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句的一般格式：变量＝表达式（“=”有时也用“←”）.④条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE语句的一般格式为：IF条件THEN语句1
ENDIF（图2）
IFTHEN语句的一般格式为：IF条件THEN语句
ENDIF（图3）
⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：
循环体WEND（图4）
直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：
DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）
⑹算法案例：①辗转相除法结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；）：若R0＝0，则n为m，n的最大公约数；若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；）：若R1＝0，则R1为m，n的最大公约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；
依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所求
的最大公约数。
②更相减损术结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。③进位制十进制数化为k进制数除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为2、总体分布的估计：⑴一表二图：
①频率分布表数据详实
②频率分布直方图分布直观
③频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：⑴平均数：xx1x2x3xnn⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：ybxa（最小二乘法）
nxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率
1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A的概率：P(A)mn,0P(A)1.
2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A)3、几何概型：⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。⑵几何概型概率计算公式：P(A)d的测度D的测度mn.
；取值为x1,x2,,xn的频率分别为p1,p2,,pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。⑵方差与标准差：一组样本数据x1,x2,,xn方差：s2；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,,An彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：P(AB)P(A)P(B)⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，则有：
P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)
1nn2i(xi1x)；
标准差：s1nn2i1(xix)
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。①事件A的对立事件记作A
P(A)P(A)1,P(A)1P(A)sin
costan②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：tansincos必修4数学知识点第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、lr.
3、倒数关系：tancot1§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）1、诱导公式一：
sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan..
2、诱导公式二：
sinsin,3、弧长公式：lcoscos,
tantan.4、扇形面积公式：SnR360212lR.
3、诱导公式三：
sinsin,§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：siny,cosx,tanyxcoscos,
tantan.4、诱导公式四：
sinsin,2、设点Ax,yrxy）
yr22为角终边上任意一点，那么：（设
tantan.cos，
yxsin，cotxy5、诱导公式五：
sincos,2cossin.23、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角
函数线的画法.y
正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT
6、诱导公式六：
sincos,2cossin.2
5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：y-4-7-32-4-72y=sinx2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
-2-3-2-21-1y1-1o322奇偶性、单调性、周期性.
x3、会用五点法作图.
yx在x[0,2]上的五个关键点为：
y=cosx-5-32--2-2-32ox3（0，0）（，，1）（，，0）（，，）-1（，2，0）.
22§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
y2、记住余切函数的图象：
yy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域值域x2kRR{x|x2k,kZ}[-1,1]2x2k[-1,1]R无,kZ时，ymax1最值2,kZ时，ymin1x2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymin1周期性奇偶性在[2kT2T2T奇2,2k偶]上单调递增]上单调递减奇2单调性在[2k,2k]上单调递增在(k在[2k,2k]上单调递减2kZ在[2k,k2)上单调递增2,2k32对称性对称轴方程：xkZk2对称中心(k,0)对称轴方程：xk对称中心(k,0)2无对称轴对称中心(k2,0)§1.5、函数yAsinx的图象1、对于函数：
yAsinxBA0,0有：振幅A，周
平移个单位yAsinx
（左加右减）平移|B|个单位（上加下减）
期T2，初相，相位x，频率f1T2.
2、能够讲出函数ysinx的图象与
yAsinxB的图象之间的平移伸缩变
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T数ytan(x)，xk常数，且A≠0)的周期T22||；函
①先平移后伸缩：ysinx平移||个单位ysinx
（左加右减）
,kZ(A,ω,为
横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
对于yAsin(x和)yAcos(x)来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令xk2(kZ)与xk(kZ)
纵坐标不变yAsinx
横坐标变为原来的|平移|B|个单位（上加下减）
解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：Aymaxymin2yAsinxB
，Bymaxymin2.
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：cossin12
②先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
x纵坐标不变yAsin横坐标变为原来的|
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tantantan.
1tantantantan.
1tantan1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称
模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、ab≤ab.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向
2§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos1sin2.22、cos2cos2sin2
2cos112sin.
22变形如下：
21cos22cos升幂公式：
21cos22sincos21(1cos2)2降幂公式：
2sin1(1cos2)23、tan22tan.21tansin21cos2sin24、tan1cos2
§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式yasinxbcosxabsin(x)
2规定如下：⑴aa,⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当
0时,a的方向与a的方向相反.
（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanba).
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当
且仅当有唯一一个实数，使ba.§2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两
个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx2,y2，则：
⑴abx1x2y1y2⑵ax1y1
22⑶abab0x1x2y1y20⑷a//babx1y2x2y10
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则：⑴abx1x2,y1y2，
⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则⑴线段AB中点坐标为
x1x21y22,y2，
⑵△ABC的重心坐标为
x1x2x3y1y2y33,3.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.
2、a在b方向上的投影为：acos.3、22aa.24、aa.5、abab0.
2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：
ABx2x221y2y1.
3、两向量的夹角公式
cosabx1x2y1y2abx22
1y21x2y224、点的平移公式
平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，
函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的
图像的解析式为ykf(xh).§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例
知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只需证明ab，即ab0.
叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为n(x,y,z)．
即：两直线垂直⑵线面垂直两直线的方向向量垂直。
③求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．
na0④根据法向量定义建立方程组.
nb0①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向l量是u，则要证明，只需证明a∥u，即au.②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两
am0,则l.个相交向量分别为m、n，若an0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要
2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥
证，只需证uv，即证uv0.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，
ACBD则cos.
ACBDl2，只需证明a∥b，即akb(kR).
即：两直线平行或重合⑵线面平行两直线的方向向量共线。
①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即au0.
⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.
为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，
则为的余角或的补角的余角.即有：ausincos.
au⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，
平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.
⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面即dMPcosn,MPnMPMP
二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线
AOl,BOl，则AOB为二面角l的平
ABOlB⑶直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
nMP即d.nA②求法：设二面角l的两个半平面的法向量
O分别为m、n，再设m、n的夹角为，二面角n的夹角l的平面角为，则二面角为m、或其补角.
⑷两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
nMP即d.n根据具体图形确定是锐角或是钝角：
mn◆如果是锐角，则coscos，
mnmn即arccos；
mnmn◆如果是钝角，则coscos，
mnmn即arccos.
mn⑸异面直线间的距离设向量n与两异面直线a,b都垂直，Ma,Pb,则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向
上投影的绝对值。
5、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线l距离nMP即d.n6、三垂线定理及其逆定理若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
lb方向向量，=PQ，则点Q到直线距离为平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
122直h(|a||b|)(ab)P|a|推理模式：
PO,OPAAaPAa,aOAa2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R;
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直a:b:csinA:sinB:sinC.
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
2、余弦定理：a2b2c22bccosA,222bac2accosB,222cab2abcosC.222bca,cosA2bc222acb,cosB2ac222abc.cosC2abPO,O推理模式：PAAaAO
a,aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与
AD与AC所成的角为2，AB(AD)所成的角为1，
与AC所成的角为．则coscos1cos2.
BA12用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
DC8、面积射影定理⑵已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：SABC12absinC12bcsinA12acsinB
已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cosSS'4、三角形内角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)
C2=S射S原2.
AB22C22(AB).
9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射sin2Asin2B,则AB或AB.特别注意，若影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有llllcos1cos2cos31sin1sin2sin32.
25、一个常用结论：在ABC中，absinAsinBAB;
2在三角函数中，sinAsinBAB不成立。
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
第二章：数列
1、数列中an与Sn之间的关系：
必修5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：asinAsinBsinC（其中R为ABC外接圆的半径）
,(n1)S1an注意通项能否合并。
SS,(n2).n1n2、等差数列：c2R.
b⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列
Aab2⑶通项公式：ana1qn1amqnm
a11q1qn⑷前n项和公式：Sn⑸常用性质
⑶通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.⑷前n项和公式：
nn12na1an2①若mnpqm,n,p,qN，则
amanapaq；
②ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为
lgq的等差数列；
⑸常用性质：
①若mnpqm,n,p,qN，则
amanapaq；
②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；
③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、，也成等差数列。
⑤单调性：an的公差为d，则：
）d0an为递增数列；）d0an为递减数列；）d0*12④若an是等比数列，则can，a，nan，anr21r是等比数列，公比依次是q，q，，q.(rZ)q⑤单调性：
a10,q1或a10,0q1an为递增数列；
a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摆动数列；
an为常数列；
⑥数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kS3kS2k是等差数列。
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、
S3kS2k是等比数列.
3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列Gab,（ab同号）。反之不一定成立。
24、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式,(n1)S1an构造两式作差求解。
SS,(n2)n1n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关anan1f(n1)an1an2f(n2)于n的函数）可构造：
...aaf(1)21型的递推式：（1）若p1时，数列{an}为等差数列;（2）若q0时，数列{an}为等比数列;
（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设an1p(an),展开移项整理得
an1pan(p1),与题设an1panq比较系
将上述n1个式子两边分别相加，可得：
anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)
数（待定系数法）得
qp1,(p0)an1qp1p(anqp1)①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法：a形如an1anf(n)n1f(n)型的递推数列（其ananf(n1)an1an1f(n2)中f(n)是关于n的函数）可构造：an2
...a2af(1)1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)
anqp1qp1p(an1q),即an构成
p1p1q以a1为首项，以p为公比的等比数列.再利用
等比数列的通项公式求出an的通项整理可p1q得an.
法二：由an1panq得anpan1q(n2)两式
相减并整理得
an1ananan1p,即an1an构成以
a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出
an1an的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求
㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式：⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，
通过待定系数法确定A、转化成以a1ABB的值，为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法：㈠形如an1panq（其中p,q均为常数且p0）
⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：在an1panf(n)两边同时除以pn1可得到an1pn1法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：
an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减
anpnf(n)pn1，令
anpn则bn1bnbn，
得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：
在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpnbn.
bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn，再用类型Ⅲ
类型Ⅵ对数变换法：形如an1paq(p0,an0)型的递推式：在原递推式an1paq两边取对数得
（累加法）便可求出an.
⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设anf(n)pan1f(n1)，通过
lgan1qlganlgp，令bnlgan得：
待定系数法确定的值，转化成以a1f(1)为首项，
bn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn以p为公比的等比数列anf(n)，再利用等比数
之后得an10.（注意：底数不一定要取10，可根据
列的通项公式求出anf(n)的通项整理可得an.
题意选择）。
类型Ⅶ倒数变换法：形如an1anpan1an（p为常数且p0）的递推an1panf(n)①，anpan1f(n1)，两
bn法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：
边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)②，由①②两式相减得an1anqp(anqan1)，即
an1qananqan1p，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.
式：两边同除于an1an，转化为化归为an1panq型求出还有形如an1manpanqqanp1an1an1an1p形式，
的表达式，再求an；
的递推式，也可采用取倒数方
法转化成1m1m形式，化归为an1panqn法三：递推公式为an1panq（其中p，q均
n为常数）或an1panrq（其中p，q,r均为常数）
1an的表达式，再求an.
时，要先在原递推公式两边同时除以qan1qn1n1，得：
类型Ⅷ形如an2pan1qan型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为：设an2kan1h(an1kan)，比较
pqanqn1q，引入辅助数列bn（其中
bnanqn），得：bn1pqbn1q再应用类型Ⅴ㈠的方
系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是
{an1kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为
an1panq型。
③1ab1ab(ab);
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.
②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列anbn的前n项和.
④Cnm1Cnm1C⑤nn!(n1)!n!.
⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸记住常见数列的前n项和：
n(n1)2此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项anc(anb1)(anb2)①123...n
;②135...(2n1)n2;③123...n2222(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，
16n(n1)(2n1).
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：设an第三章：不等式§3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）abba
cb2b11anb1anb2，通分整理后与原式相
②（传递性）ab,bcac
，从而可得
③（可加性）ab（同向可加性）a（异向可减性）a④（可积性）ab,c⑤（同向正数可乘性）aacbc
b,cdacbdb,cdacbd0acbc
比较，根据对应项系数相等得c(anb1)(anb2)=c(b2b1)anb1(1anb2).
常见的拆项公式有：①
1n(n1)1(2n1)(2n1)1n1n11ab,c0acbc
b0,cd0acbd
（异向正数可除性）ab0,0cdab
；cd⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)
⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)
ab0⑧（倒数法则）
1a1b;ab01a1b②22n1(
2、几个重要不等式
①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取
22a，bR,（当且仅当ab时取""号）.
""号）.变形公式：abab222（即调和平均几何平均算术平均平方平均）..
变形公式：
22ab2222②（基本不等式）
a，bR,（当
且仅当ab时取到等号）.
ab变形公式：ab2abab.
222(ab)22.
②幂平均不等式：
a1a2...an2221n用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术几何平均不等式）
abc33(a1a2...an).
2③二维形式的三角不等式：x1y122x2y222(x1x2)(y1y2)
22abc(a、b、cR)（当且仅当
(x1,y1,x2,y2R).
④二维形式的柯西不等式：
(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且
22222abc时取到等号）.
④abcabbccaa，bR
222（当且仅当abc时取到等号）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.⑥若ab0,则若ab0,则babaabab2（当仅当a=b时取等号）2（当仅当a=b时取等号）
ab仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：
(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).2222222⑥一般形式的柯西不等式：
(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).
babmam1anbn
⑦向量形式的柯西不等式：
设,是两个向量，则,当且仅当其中(ab0，m0，n0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0时，xaxaxa或
22是零向量，或存在实数k，使k时，等号成
⑧排序不等式（排序原理）：
设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则
a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancn
22⑨绝对值三角不等式ababab.
3、几个著名不等式①平均不等式：
2a1b1abab2ab222
a1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）
当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序
和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1f(x1x22)f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0x2),有
f(x1)f(x2)2或f(x1x22)f(x1)f(x2)2.
f(x)g(x)00g(x)g(x)0（时同理）“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a12)2f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a34(a12);
2⑶②将分子或分母放大（缩小），如1k21k(k1)2k2k,
1k21k(k1),
⑷(22k1kk)1k2kk1,
⑸k1(kN,k1)等.
*f(x)5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0(或0)
(a0,b4ac0)解集的步骤：
22规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：f(x)g(x)⑴当a1时,aaf(x)g(x)
一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.f(x)g(x)⑵当0a1时,aaf(x)g(x)
规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当a1时,
f(x)0f(x)logag(x)g(x)0
f(x)g(x)6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
loga⑵当0a1时,
f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.
f(x)g(x)loga规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：aa(a0).
⑷f(x)a恒成立f(x)
f(x)a恒成立f(x)mina.
2a(a0)⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);
③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④
f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)215、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：
由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可
判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值
法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将
规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当a0时b0,c0;
a0a0②当时0.2⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当a0时b0,c0;
a0a0②当时0.2⑶f(x)a恒成立f(x)
直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
f(x)a恒成立f(x)
(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题.
2、四种命题及其相互关系
第二步中最优解的确定方法：
ABzB利用z的几何意义：y纵截距.
x,zB为直线的
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件;③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件;④若pq且qp，则p是q的充要条件；⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要
①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的
纵截距最小的角点处，z取得最小值；
②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAxBy;
②“斜率”型：zyx或
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
22③“距离”型：zxy或z22
已知Axx满足条件p，Bxx满足条件q：①若AB,则p是q充分条件；
z(xa)(yb)或z22(xa)(yb).
22②若BA,则p是q必要条件；
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
③若AB，则p是q充分而不必要条件;
④若BA，则p是q必要而不充分条件;⑤若AB，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.
4、复合命题⑴复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.
选修数学知识点专题一：常用逻辑用语1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
⑵复合命题的真假判断
“p或q”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.5、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p：x,p(x)，它的否定p：
x0,p(x0).全称命题的否定是特称命题．
②特称命题p：x0,p(x0),，它的否定p：
x,p(x).特称命题的否定是全称命题.
专题二：圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形xa22ya22标准方程yb221ab0xb221ab0第一定义第二定义范围F2的距离之和等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）到两定点F1、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即axa且bybMFde(0e1)bxb且aya1a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0顶点10,b、20,b轴长对称性焦点焦距长轴的长2a短轴的长2b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称F1c,0、F2c,0F1F22ccaca22F10,c、F20,c(cab)2222离心率eaba221ba22(0e1)准线方程xa2cya2c焦半径M(x0,y0)左焦半径：MF1aex0右焦半径：MF2aex0SMF1F2btan2下焦半径：MF1aey0上焦半径：MF2aey02(F1MF2)焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb2a（焦点）弦长公式A(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)4x1x22焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xa22ya22yb221a0,b0xb221a0,b0第一定义第二定义范围顶点轴长对称性焦点焦距F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）到两定点F1、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即xa或xa，yRMFde(e1)ya或ya，xR1a,0、2a,010,a、20,a实轴的长2a虚轴的长2b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称F1c,0、F2c,0F1F22ccaca222F10,c、F20,c(cab)2222离心率eaba21ba22(e1)准线方程xa2cbaya2cab渐近线方程yxyx焦半径M(xy)图形0,0MF1ex0a左焦：M在右支MF2ex0a右焦：MF1ex0a左焦：M在左支右焦：MFexa20MF1ey0a左焦：M在上支MF2ey0a右焦：MF1ey0a左焦：M在下支MF2ey0a右焦：焦点三角形面积标准方程通径定义顶点y22pxy2p02px2SMF1F2bcot2p0x2py(F1MF2)2x22pyp0p0b过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHl上)与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线a20,02．双曲线
3．抛物线离心率对称轴范围x0pF,02x轴e1y轴x0pF,02y0y0焦点pF0,2pF0,2准线方程焦半径M(x0,y0)xp2p2xp2p2yp2p2yp2p2MFx0MFx0MFy0MFy0通径焦点弦长公式参数p的几何意义过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2pABx1x2p参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为，则设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x1,y1)、⑴x1x2p24,y1y2p;⑵AB22psin2;
⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为
1|FA|1|FB|2P2；
⑸.专题三：定积分1、定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点
Lnnni1f(i)xi1ban当n时，上f(i),，
述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在
ax0x1xi1xixnb将区间[a,b]dx，即区间[a,b]上的定积分.记作f(x)ab等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上任取一点i(i1,2,,n)，作和式
banf(x)dxlimni1banf(i)，这里，a与b分别叫
做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函
数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则
⑷利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是[a,a]上的奇函数,则f(x)dx0;若f(x)是[a,a]上的偶
aa函数,则f(x)dx2f(x)dx.
a0aa5、定积分的几何意义定积分f(x)dx表示在区间[a,b]上的曲线
abbaf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，
byf(x)与直线xa、xb以及x轴所围成的平面
图形（曲边梯形）的面积的代数和，即
【其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，因为
baf(x)dxSx轴上方－Sx轴下方.（在x轴上方的面积取
F(x)CF(x)f(】x)
正号,在x轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
⑶写出定积分表达式；
⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
3、常用定积分公式⑴0dxc（c为常数）⑵1dxxc
x1⑶xdx⑷1xx1c(1)
7、定积分的简单应用⑴定积分在几何中的应用：
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:（1）x型区域：
①由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线
xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面
x⑹adxaxlnac(a0,a1)
b积：S＝af(x)dx（如图（1））；
⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc⑼sinaxdx⑽cosaxdx1a1acosaxc(a0)(a0)
②由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝f(x)dx＝－f(x)dx（如图（2））；
aabbsinaxc4、定积分的性质⑴kf(x)dxkf(x)dx（k为常数）；
aabb⑵f(x)g(x)dxabbaf(x)dxbag(x)dx；
⑶f(x)dxabcaf(x)dxbcf(x)dx（其中acb);
③由一条曲线yf(x)【当axc时，f(x)0当cxb时，f(x)0
②由一条曲线yf(x)(其中x0）与直线
ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面
cabcf(x)dx0;f(x)dx0.】
积，可由yf(x)先求出xh(y)，然后利用
S＝bah(y)dy＝－）；h(y)dy求出（如图（6）
ab与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝f(x)dxacbcf(x)dx
＝f(x)dxf(x)dx.（如图（3））；
④由两条曲线yf(x)，yg(x)（f(x)g(x))与直线xa,xb(ab)所围成的曲边梯形的面积：S
③由两条曲线yf(x)，yg(x)与直线
ya,yb(ab)所围成的曲边梯形的面积，可由
yf(x)，yg(x)先分别求出xh1(y)，
b然后利用S＝xh2(y)，图（7））；
|h(y)－ha12(（如y)|dy求出
baf(x)dxg(x)dxabf(x)g(x)dx.（如
ab图（4））
（2）y型区域：
①由一条曲线yf(x)(其中x0）与直线
ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由yf(x)得xh(y)，然后利用S＝h(y)dy求
⑵定积分在物理中的应用：①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分，即Sbav(t)dt..
②变力作功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功W出（如图（5））；
-3-baF(x)dx.
专题四：推理与证明
合情推理推理推理与证明证明间接证明数学归纳法直接证明演绎推理归纳推理类比推理⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
比较法综合法分析法反证法
MaS从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示：要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；
1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;
*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
专题五：数系的扩充与复数1、复数的概念⑴虚数单位i；
⑵复数的代数形式zabi(a,bR)；
10，23n1,3n2,3n31
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类复数zabi6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
复数zabi复平面内的点Z（a,b)一一对应a,bR
实数(b0)纯虚数(a0,b0)虚数(b0)非纯虚数(a0,b0)复数zabi平面向量OZ一一对应3、相关公式⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabiab
22专题六：排列组合与二项式定理1、基本计数原理⑴分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方
z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算⑴复数加减法：abicdiacbdi；⑵复数的乘法：
法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法.⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方
法做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法.
2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
abicdiacbdbcadi；
⑶复数的除法：
abicdiabicdi
cdicdiacbdcd22n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.
2acbdbcadicd22bcadcd2i
⑵组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分
母实数化）5、常见的运算规律(1)(3)zzz2任取m个元素的一个组合.
⑶排列数：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作An.
⑷组合数：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取mm(2)zz2a,zz2
z4n22(4)(5)zzzR
4n322(6)i4n1i,i1,ii,i4n41;
(7)1i21(8)i,i,i
1i1ii2个元素的组合数，记作Cn.⑸排列数公式：
m①Annn1n2nm1
m(9)设是1的立方虚根，则
Amnn！nm!；
⑵二项展开式的通项公式：
Tr1Cnarnr②Annn!，规定0!1.⑹组合数公式：①CnmCnmnb0rn,rN,nN.主要用途
rnn1n2nm1m!或
mn！m!nm!nmn；
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如
在(axb)n的展开式中，第r1项的二项式系数
1x②CC，规定C1.
0n为Cnr，第r1项的系数为Cnranrbr；而(x)的
n⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
m⑻排列与组合的联系：AnmCnmAm，即排列就是先
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正.⑷1x的展开式：
n组合再全排列.
CnmAAmnmmn(n1)(nm1)m(m1)21n!m!nm!1xn(mn)CnxCnx0n1n1Cnx2n2Cnx，
n0若令x1，则有
⑼排列与组合的两个性质性质
mmm1mmm1排列An1AnmAn；组合Cn1CnCn.
11n2CnCnCnCn.
n012n二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
13n1Cn2的和.即Cn0Cn2Cn⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.3、二项式定理⑴二项展开公式：
⑸二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项
mnm式系数相等，即CnCn；
（2）增减性与最大值：当rr数Cn的值逐渐增大，当rn12r时，二项式系
n12时,Cn的值逐渐减小，
n2且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第
n＋1项）的二项式系数Cn2取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第
n12＋1项）的二项式系数
Cn2Cn2相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
ArAr1A设第r项的系数r最大，由不等式组
AAr1r可确定r.
n2n若(axb)a0a1xa2x...anx,
abnCnaCna0n1n1bCna2n2bCna2rnrbr
则设f(x)(axb)n.有：①a0f(0);
②a0a1a2...anf(1);
③a0a1a2a3...(1)nanf(1);④a0a2a4a6...⑤a1a3a5a7...f(1)f(1)2f(1)f(1)2;.
⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.
当A、B是相互独立事件时，那么事件AB发生（即A、B同时发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积.即
P(AB)P(A)P(B).
若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的.⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
专题七：随机变量及其分布知识结构
②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率
Pn(k)Cnpkk(1pn)k0,,12n,.
k⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A
发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.
1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.
当A、B是互斥事件时，那么事件AB发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即
P(AB)P(A)公式：P(BA)P(AB)P(A),P(A)0.
2、离散型随机变量⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用
字母X,Y,,等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
若X是随机变量，则YYaXb(a,b是常数）也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列.P(B⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件
A的对立事件通常记着A.
对立事件的概率和等于1.P(A)1P(A).
特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个
事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
⑴概率分布（分布列）
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，，xi，，xn，
X的每一个值xi（i1,2,,n）的概率P(Xxi)pi，则称表XPn件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的
概率为P(Xk)CMCNMCNnknk(k0,1,2,,m),于
x1p1x2p2xipixnpn是得到随机变量X的概率分布如下：
X0CMCNMCNn0n011CMCNMCNnn1mP为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.
nmnmCMCNMnCN性质：①pi0,i1,2,...n;②pi1.
i1其中mminM,n,n≤N,M≤N,n,M,NN*.我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,
⑵两点分布
如果随机变量X的分布列为
XP01p1p且称随机变量X服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是M,N,n.其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
XP则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
P(Xk)Cnp(1p)kknkx1p1x2p2xipixnpn.
其中k0,1,2,...,n,q1p，于是得到随机变量X的概率分布如下：X01kn则称
EXx1p1x2p2xipixnpn为离散型
PCnpq00nCnpq11n1CnpqkknkCnpqnn0随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.性质：①E(aXb)aE(X)b.②若X服从两点分布，则E(X)p.③若X~Bn,p，则E(X)np.⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
XP我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作X~Bn,p，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是p,k,n.⑷超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取
x1p1x2p2xipixnpn则称
nni2E(X))pi为离散型随机变量X的
D(X)(xi1xyiinxyni1
n方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值2222xnxynyiii1i12、独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数22列联表为：
x1y1ay2bdb+d总计a+bc+da+b+c+d越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.
性质：①D(aXb)a2D(X).②若X服从两点分布，则D(X)p(1P).③若X~Bn,p，则D(X)np(1P).5、正态分布正态变量概率密度曲线函数表达式：fx12x2c总计a+c若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.
具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K2的值K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中
x222nabcd为样本容量，K2的值越大，说明“X
e,xR，其中,是参数，与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。
K3.841时，X与Y无关；K22且0,.记作N(,2).如下图：
3.841时，X
与Y有95%可能性有关；K26.635时X与Y有99%可能性有关.
专题八：统计案例1、回归分析abx，回归直线方程ynxixyiybi1n2其中xixi1aybxn专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在xx,(0),变换:的作用下，点P(x,y)对
yy,(0).应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸
xyii1ninxynx2xi12i
缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
nx相关系数：ri1nix2yiny
xii1xyii1y2向)，这样就建立了一个极坐标系。
点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).
注：极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).
若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。
如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或M（，）M（2）椭圆
Mxa22yb221(ab0)的参数方程为
0OxOaaO图10xacos（为参数）；ybsin图2acos图3acos椭圆
ya22xb221(ab0)的参数方程为
M（，）MaOMOxbcos（为参数）；yasinaaON(a,)
p图4asin图5asin图6acos()（3）双曲线
xa22yb221(ab0)的参数方程
5、柱坐标系与球坐标系⑴柱坐标：空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标xcos(,,z)的变换关系为：ysin.zzxasec（为参数）；ybtan双曲线
ya22xb221(ab0)的参数方程
⑵球坐标系空间点P直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)的变x2y2z2r2xrsincos换关系：.yrsinsinzrcostxbco（为参数）；yacsc
2x2pt（4）抛物线y22px参数方程(t为参
y2pt数，t1tan参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点
6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标xf(t),并且对于t的x,y都是某个变数t的函数yg(t),每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在与原点连线的斜率的倒数.
（6）过定点P(x0,y0)、倾斜角为(2)的直线
这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆(xa)(yb)r的参数方程为xarcos（为参数）；ybrsin222xx0tcos的参数方程（t为参数）.
yy0tsin8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t),yg(t)。根据t的取值范围导出x,y的取值范围.友情提示：本文中关于《新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结：该篇文章建议您自主创作。
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