离散推理与证明练习题 推理

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《离散数学》双语教学 第一章
真值表，逻辑和证明
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离散数学ch5[2]推理演算|离​散​数​学
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你可能喜欢离散数学第3章 命题逻辑的推理理论_中华文本库
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?B) ? B (A?B)?(C?D)?( ?B??D) ? (?A??C) 附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
关于推理定律的几点说明： A, B, C 为元语言符号 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 A ? B 产生两条推理定律
第二节 自然推理系统P
一、形式系统 1．形式系统的定义 定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
可以将 I 记为.其中是 I 的形
式语言系统，为 I 的形式演算系统。
2．形式系统的分类
形式系统一般分为两类。 一类是自然推理系统， 它的特点是 从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算， 得到的最后命题公式是推理的结论 （有时称为有效的结论， 它可 能是重言式，也可能不是） 。另一类是公理推理系统，它只能从 若干给定的公理出发， 应用系统中推理规则进行推理演算， 得到 的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统 P 定义 3.3 P 的定义如下 1． 字母表 （1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … （2） 联结词符号：?, ?, ?, ?, ? （3） 括号与逗号：(, ), ， 2． 合式公式（同定义 1.6） 3． 推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为 后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以 用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
（8） 假言三段论规则： A?B B?C ?A?C （9） 析取三段论规则： A?B ?B ?A （10） 构造性二难推理规则： A?B C?D A?C ?B?D
(11) 破坏性二难推理规则： A?B C?D ?B??D ??A??C （12）合取引入规则： A B ?A?B
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
(2)证明： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ┐p∨q p→q r∨┐q q→r p→r r→s p→s 前提引入 ①置换 前提引入 ③置换 ②④假言三段论
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离散数学中与量词有关的推理规则
摘　要：清楚地叙述了自然推理系统中的存在量词消去规则和全称量词引入规则满足的条件，而这些条件在许多离散数学教科书中叙述得相当含糊。与某些教科书中存在量词消去规则只能用于无自由变元的公式不同，按照本文给出的条件，存在量词消去规则也可以用于有自由变元的公式，因而增强了系统的推理能力。引进了解释之间和赋值之间关于公式集的等价性，从而证明了系统是可靠的，即一个证明中的结论是其有提的逻辑推论． 下载
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