1矩形多次折叠 一、填空题（共 10 小题） 1、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE=30°，???? 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处，则 BC 的长为 3 ．= 3，折叠后，点 C 落在 AD2、 （2010?盐城）小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图
① ，AD＞CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的 点 F 处，折痕为 AE（如图②；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M ） 处， 折痕为 DG （如图③． ） 如果第二次折叠后， 点正好在∠NDG 的平分线上， M 那么矩形 ABCD 长与宽的比值为2．3、 把如图所示的矩形纸片 ABCD 折叠， C 两点恰好落在 AD 边上的点 P 处， B、 已知∠MPN=90°， PM=6cm， PN=8cm， 2 那么矩形纸片 ABCD 的面积为 115.2 cm ．4、如图所示，一张矩形纸片沿 BC 折叠，顶点 A 落在点 A′ 处，再过点 A′ 折叠使折痕 DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则 △ADE 的面积是 24 ．5、 如图， 一张矩形纸片沿 BC 折叠， 顶点 A 落在点 A′ 处， ， 第二次过 A′ 再折叠， ， 使折痕 DE∥BC， AB=2， 若 AC=3， 则梯形 BDEC 的面积为 9 ．6、如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′ 处，点 A 落在点 A 处，则 AE、AB、BF 之间的 2 2 2 关系是 AE +AB =BF ．27、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面） ：如果由信纸折成的长方形纸条 （图① 长为 25cm， ） 宽为 x cm， 为了保证能折成图④ 的形状 （即纸条两端均超出点 P） ， 那么 x 的取值范围是 0＜x＜5 cm． 8、点 E、F 分别在一张长方形纸条 ABCD 的边 AD、BC 上，将这张纸条沿着直线 EF 对折后如图，BF 与 DE 交于点 G， 2 如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽 AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积 S△GEF= 4 cm ．9、 （2007?莆田）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 为 90 度．10、如图 2，将矩形纸片 ABCD（图 1）按如下步骤操作： （1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E（如图 2）（2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF 交 ； AD 边于点 F（如图 3）（3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为 67.5° ． ；二、解答题（共 11 小题） 11、 （2010?密云县） （1）观察与发现： 小明将三角形纸片 ABC（AB＞AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展开纸片（如图①； ） 再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到△AEF（如图②．小明认为△AEF 是等腰三 ） 角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③；再沿过点 E 的直线折 ）3叠，使点 D 落在 BE 上的点 D′ 处，折痕为 EG（如图④；再展平纸片（如图⑤．求图⑤ ） ） 中∠α 的大小．12、 （2008?南充）如图，已知平面直角坐标系 xoy 中，有一矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，AB∥x 轴，B（3，3） ，现将纸片按如图折叠，AD，DE 为折痕，∠OAD=30 度．折叠后，点 O 落在点 O1，点 C 落在线段 AB 点 C1 处，并且 DO1 与 DC1 在同一直线上． （1）求折痕 AD 所在直线的解析式； （2）求经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式； （3）若⊙P 的半径为 R，圆心 P 在（2）的抛物线上运动，⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径 R 的值．13 、 如 图 ① 是 长 方 形 纸 带 ， 将 纸 带 沿EF折 叠 成 图 ②， 再 沿BF折 叠 成 图③ ． （1）若∠DEF=20°，则图③ 中∠CFE 度数是多少？ （2）若∠DEF=α，把图③ 中∠CFE 用 α 表示． 14、生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条反面） ： （l）如果信纸折成的长方形纸条宽为 4cm，为了保证能折成图丁形状（即纸条两端均刚好到达点 P） ，纸条长至少 多少厘米？纸条长最小时．长方形纸条面积是多少？ （2）假设折成图丁形状纸条宽 xcm，并且一端超出 P 点 2cm，另一端超出 P 点 3cm， ① 请用 x 的代数式表示信纸折成的长方形纸条长． ② 用含 x 的代数式表示折成的图丁所示的平面图形的面积 S．15、生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条反面） ： （1）如果信纸折成的长方形纸条宽为 2cm，为了保证能折成图丁形状（即纸条两端均超出点 P） ，纸条长至少多少 厘米？纸条长最小时．长方形纸条面积是多少？4（2）假设折成图丁形状纸条宽 xcm，并且一端超出 P 点 2cm，另一端超出 P 点 3cm，若信纸折成的长方形纸条长 为 ycm．求 y 关于 x 的函数关系式，用含 x 的代数式表示折成的图丁所示的平面图形的面积 S； （3）若希望（2）中纸条两端超出 P 点长度相等，即最终图形丁是轴对称图形，如果 y=15cm，则开始折叠时点 M 应放在什么位置？16、如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点 B 落在 B′ 处，顶点 A 落在 A′ 处，EC 为折痕，点 E、A′ 、B′ 在同 一条直线上． （1）猜想折痕 EC 和 ED 的位置关系，并说明理由； （2）ED 的反向延长线交 CA 交于 F，若∠BED=32°，求∠AEF 和∠A′ 的度数． EC17、如图，将正方形纸片的两角分别折叠，使顶点 A 落在 A′ 处，顶点 D 落在 D′ 处，BC、BE 为折痕，点 B、A′ 、D′ 在同一条直线上． （1）猜想折痕 BC 和 BE 的位置关系，并说明理由； （2）写出图中∠D′ 的余角与补角； BE （3）延长 D′ B、CA 相交于点 F，若∠EBD=33°，求∠ABF 和∠CBA 的度数．18、 （2006?辽宁）如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点 O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC=4，点 E 为 BC 的中点，点 N 的坐标为（3，0） ，过点 N 且平行于 y 轴的直线 MN 与 EB 交于点 M．现将纸片折叠，使顶点 C 落在 MN 上，并与 MN 上的点 G 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴的交点． （1）求点 G 的坐标； （2）求折痕 EF 所在直线的解析式； （3）设点 P 为直线 EF 上的点，是否存在这样的点 P，使得以 P，F，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请 直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．519、如图，在直角坐标系中，矩形纸片 ABCD 的点 B 坐标为（9，3） ，若把图形按要求折叠，使 B、D 两点重合，折 痕为 EF． （1）△DEF 是否为等腰三角形？（不要说明理由） （2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由． （图中实线、虚 线一样看待） （3）求折痕 EF 的长及所在直线的解析式．20、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠， 使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折痕 CE=55，且??????∠?????? =3 4．（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标．21、 （2006?宜宾）如图，矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中，使点 O 为坐标原点，边 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴 的正半轴上，且 OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点 O 落在线段 CB 上，设落点为 P，折痕为 EF． （1）当 CP=2 时，恰有 OF=13 4 ，求折痕 EF 所在直线的函数表达式；（2）在折叠中，点 P 在线段 CB 上运动，设 CP=x（0≤x≤5） ，过点 P 作 PT∥y 轴交折痕 EF 于点 T，设点 T 的纵坐标 为 y，请用 x 表示 y，并判断点 T 运动形成什么样的图象； （3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕 EF 最长？并计算出 EF 最长时的值． （不要求证明）6三、选择题（共 9 小题） 22、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 P 在线段 BC 上运动，现将纸片折叠，使点 A 与点 P 重合，得折痕 EF （点 E、F 为折痕与矩形边的交点） ，设 BP=x，当点 E 落在 AB 上，点 F 落在 AD 上时，x 的取值范围是（ ）A、0＜x≤1 B、0＜x≤3 C、1≤x≤3 D、3≤x≤5 23、将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2 的度数是（）A、100° B、110° C、120° D、140° 24、如图所示，将宽为 4 厘米的纸条折叠，折痕为 AB，如果∠ACB=30°，折叠后重叠部分的面积为（ 米．）平方厘A、16 B、14 C、12 D、4 25、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面） ：如果由信纸折成 的长方形纸条（图① ）长为 16 cm，宽为 2cm，AM=4cm 折成图 4 所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 （ ）A、8cm B、10cm 2 2 C、12cm D、14cm 26、一根长 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点 P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为（ ）227A、7.5cm B、9cm C、12cm D、13.5cm 27、 将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD， 沿对称轴 EF 折叠成如图的形状， 若折叠后， 与 CD 间的距离为 60cm， AB 则原纸片的宽 AB 是（ ）A、5cm B、10cm C、15cm D、20cm 28、 （2006?成都）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的 C 点落在 B′ 或 B′ M M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A、85° B、90° C、95° D、100° 29、请你找一张长方形纸片（如图 1） ，按照以下过程进行动手操作： 步骤 1：在 CD 上取一点 P，将角 C 向上翻折，使点 C′ 落在原长方形所在的平面内，这样将形成折痕 PM，如图 2； 步骤 2：再将角 D 向上翻折，使点 D′ 落在 PC′ 所在的直线上，得到折痕 PN． 如图 3，设折角∠MPC′ =α，∠NPD′ =β，则∠MPN 的度数为（ ）A、85° B、90° C、95° D、100° 30、 （2009?天水）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB，以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角 的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是（ ）8A、正三角形 C、正五边形B、正方形 D、正六边形9矩形多次折叠 答案与评分标准 一、填空题（共 10 小题） 1、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE=30°，???? 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处，则 BC 的长为 3 ．= 3，折叠后，点 C 落在 AD考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：△ABE 和△AB1E 对折，两三角形全等，△EC1F 和△ECF 对折，两三角形也全等，根据边角关系求出 BC． 解答：解：∵△ABE 和△AB1E 对折， ∴△ABE≌△AB1E， ∴BE=B1E，∠B=∠AB1E=90°， ∵∠BAE=30°，????= 3，∴BE=1， ∵△AB1C1≌△AB1E， ∴AC1=AE， 又∠AEC1=∠AEB=60° ∴AEC1 是等边三角形，EC1=AE=2 ∵EC=EC1=2， ∴BC=2+1=3． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折 叠前后图形的形状和大小不变． 2、 （2010?盐城）小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图① ，AD＞CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的 点 F 处，折痕为 AE（如图②；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M ） 处， 折痕为 DG （如图③． ） 如果第二次折叠后， 点正好在∠NDG 的平分线上， M 那么矩形 ABCD 长与宽的比值为2．考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：连 DE，由翻折的性质知，四边形 ABEF 为正方形，∠EAD=45°，而 M 点正好在∠NDG 的平分线上，则 DE 平 分∠GDC，易证 RT△DGE≌Rt△DCE，得到 DC=DG，而△AGD 为等腰直角三角形，得到 AD=2DG= 2CD．10解答：解：连 DE，如图 ∵沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处， ∴四边形 ABEF 为正方形， ∴∠EAD=45°， 由第二次折叠知，M 点正好在∠NDG 的平分线上， ∴DE 平分∠GDC， ∴RT△DGE≌Rt△DCE， ∴DC=DG， 又∵△AGD 为等腰直角三角形， ∴AD=，2DG= 2CD， 2．∴矩形 ABCD 长与宽的比值为 故答案为：2．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角 形的性质． 3、 把如图所示的矩形纸片 ABCD 折叠， C 两点恰好落在 AD 边上的点 P 处， B、 已知∠MPN=90°， PM=6cm， PN=8cm， 2 那么矩形纸片 ABCD 的面积为 115.2 cm ．考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：根据勾股定理，得 MN=10；根据直角三角形的面积公式，得 AB=4.8；根据折叠，知 BC=6+8+10=24，进而求 得矩形的面积． 解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm， ∴MN=10，BC=10+6+8=24． 根据直角三角形的面积公式，得 AB=????????? ???? =4.8．2则矩形的面积=4.8×24=115.2（cm ） ． 点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法． 4、如图所示，一张矩形纸片沿 BC 折叠，顶点 A 落在点 A′ 处，再过点 A′ 折叠使折痕 DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则 △ADE 的面积是 24 ．11考点：翻折变换（折叠问题） 。 专题：计算题。 分析： BC 折叠， 沿 顶点 A 落在点 A′ 根据折叠的性质得到 BC 垂直平分 AA′ 即 AF= AA′ 又 DE∥BC， 处， ， ， 得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出三角形 ADE 的面积．1 2解答：解：连 AA′ ，交 BC 于点 F，如图， ∵沿 BC 折叠，顶点 A 落在点 A′ 处， ∴BC 垂直平分 AA′ ，即 AF= AA′ ， 又∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， S△ABC：S△ADE=AF ：AA′=1：4， ∴S△ADE=4S△ABC=4? ?4?3=24． 故答案为 24． 点评：本题考查了折叠的性质：对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了三角形相似的性质：相似三角形面积的 比等于相似比的平方． 5、 如图， 一张矩形纸片沿 BC 折叠， 顶点 A 落在点 A′ 处， ， 第二次过 A′ 再折叠， ， 使折痕 DE∥BC， AB=2， 若 AC=3， 则梯形 BDEC 的面积为 9 ．2 21 21 2考点：梯形；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：根据折叠的性质可得 BC 是△ADE 的中位线，则△ABC∽△ADE，相似比是 ．即可求得△ABC 与△ADE 的面积， 进而求解． 解答：解：∵△ABC≌△A′ BC ∴B，C 是△ADE 的中位线． ∴△ABC∽△ADE，相似比是 ． ∵△ABC 的面积是 AB?AC= ×2×3=3． ∴△ADE 的面积是 3×4=12． ∴梯形 BDEC 的面积=△ADE 的面积△ABC 的面积=123=9． 故答案为：9． 点评：本题主要考查了折叠的性质，正确理解 BC 是△ADE 的中位线是解决本题的关键． 6、如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′ 处，点 A 落在点 A 处，则 AE、AB、BF 之间的 2 2 2 关系是 AE +AB =BF ．1 21 21 21 212考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析： 由折叠的性质知： BF=B′ 且∠B′ F， FE=∠BFE， AD∥BC 可知∠B′ 由 EF=∠BFE， 通过等量代换可证得 B′ E=B′ F=BF， 进而可在 Rt△A′ E 中，利用勾股定理得到所求线段的关系． B′ 解答：解：由折叠的性质知：A′ =AB，AE=A′ B′ E，BF=B′ F，∠A′ =∠A=90°，∠B′ FE=∠BFE； 又∵AD∥BC，∴∠BFE=∠B′ EF， ∴∠B′ EF=∠BFE=∠B′ FE，即 B′ E=B′ F=BF； 2 2 2 在 Rt△A′ E 中，由勾股定理得：A′ +A′ =B′ ， B′ B′ E E 2 2 2 即：AE +AB =BF ． 点评：此题考查图形的翻折变换，涉及到矩形的性质、平行线的性质以及勾股定理的综合应用，难度不大． 7、生活中，有人喜欢把传送的便条折成 形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面） ：如果由信纸折成的长方形纸条 （图① 长为 25cm， ） 宽为 x cm， 为了保证能折成图④ 的形状 （即纸条两端均超出点 P） ， 那么 x 的取值范围是 0＜x＜5 cm． 考点：展开图折叠成几何体；几何体的展开图。 专题：几何图形问题。 分析：立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．将图形展开我们可看到，超出 P 点的线段有两条与 x 相等，还 有两条是以 x 为边长的正方形的对角线，列出不等式解答即可．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开 图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 解答：解：根据题意列不等式可得 0＜2x+22x＜25，解得 0＜x＜5． 故答案为：0＜x＜5． 点评：本题主要考查展开图折叠成几何体．通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开 图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们展开以后的形状． 8、点 E、F 分别在一张长方形纸条 ABCD 的边 AD、BC 上，将这张纸条沿着直线 EF 对折后如图，BF 与 DE 交于点 G， 2 如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽 AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积 S△GEF= 4 cm ．考点：翻折变换（折叠问题） 。13分析：作 EM⊥FG 于 M．根据折叠的性质和平行线的性质，得∠GEF=∠GFE，则 GE=GF；根据 30°的直角三角形的性 质，得 GE=2EM=2AB=4，从而求解． 解答： 解：作 EM⊥FG 于 M． 根据折叠的性质和平行线的性质，得∠GEF=∠GFE． ∴GE=GF． 在直角三角形 GEM 中，∠EGM=∠BGD=30°，EM=AB=2， ∴EG=2EM=4． ∴FG=EG=4． ∴S△GEF=4×2÷2=4（cm ） ．2点评：此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、等边对等角的性质、直角三角形的性质． 直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半． 9、 （2007?莆田）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 为 90 度．考点：翻折变换（折叠问题） ；角平分线的性质。 分析：根据折叠的性质得到∠A′ BC=∠ABC，∠DBE′ =∠DBE． 由平角的定义求解． 解答：解：观察图，容易得到∠A′ BC=∠ABC，∠DBE′ =∠DBE． 则∠A′ BC+∠DBE′ =90°，即∠CBD=90°． 点评：此题考查翻折变化和角平分线的性质，由题意得，∠A′ BC=∠ABC，∠DBE′ =∠DBE，是解题的关键． 10、如图 2，将矩形纸片 ABCD（图 1）按如下步骤操作： （1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E（如图 2）（2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF 交 ； AD 边于点 F（如图 3）（3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为 67.5° ． ；考点：翻折变换（折叠问题） 。 专题：数形结合。 分析：根据翻折前后角度不发生变化，第一次折叠求出∠EAD 的度数，再利用第 2 次翻折，得出∠AFE=∠EFA′ 以及 度数，从而求出∠AEF 的度数． 解答：解：根据题意：以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E， ∴∠EAD=45°， ∵过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF 交 AD 边于点 F， ∴∠EA′ F=∠FAD=45°， ∴∠AFE=∠EFA′ =（180°45°）÷2=67.5°，14∴∠AEF=∠FEA′ =180°67.5°45°=67.5°． 故答案为：67.5°．点评：此题主要考查了翻折变换，利用翻折变换前后角不发生大小变化是解决问题的关键． 二、解答题（共 11 小题） 11、 （2010?密云县） （1）观察与发现： 小明将三角形纸片 ABC（AB＞AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展开纸片（如图①； ） 再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到△AEF（如图②．小明认为△AEF 是等腰三 ） 角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③；再沿过点 E 的直线折 ） 叠，使点 D 落在 BE 上的点 D′ 处，折痕为 EG（如图④；再展平纸片（如图⑤．求图⑤ ） ） 中∠α 的大小．考点：翻折变换（折叠问题） ；等腰三角形的判定；矩形的性质。 专题：操作型。 分析： （1）由两次折叠知，点 A 在 EF 的中垂线上，所以 AE=AF； （2）由图知，∠α=∠FED（180°∠AEB）÷2． 解答：解： （1）同意．如图，设 AD 与 EF 交于点 G． 由折叠知，AD 平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°， 所以∠AGE=∠AGF=90°， 所以∠AEF=∠AFE．所以 AE=AF， 即△AEF 为等腰三角形． （2）由折叠知，四边形 ABFE 是正方形，∠AEB=45°， 所以∠BED=135 度． 又由折叠知，∠BEG=∠DEG， 所以∠DEG=67.5 度． 从而∠α=90°67.5°=22.5 度． 点评：本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养 其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等． 在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时， 还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．1512、 （2008?南充）如图，已知平面直角坐标系 xoy 中，有一矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，AB∥x 轴，B（3，3） ，现将纸片按如图折叠，AD，DE 为折痕，∠OAD=30 度．折叠后，点 O 落在点 O1，点 C 落在线段 AB 点 C1 处，并且 DO1 与 DC1 在同一直线上． （1）求折痕 AD 所在直线的解析式； （2）求经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式； （3）若⊙P 的半径为 R，圆心 P 在（2）的抛物线上运动，⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径 R 的值．考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析： （1）根据 B 点的坐标即可得出 A 点的坐标，也就知道了 OA 的长，可在直角三角形 OAD 中，根据 OA 的长和 ∠OAD 的度数求出 OD 的长，即可得出 D 点的坐标，进而可用待定系数法求出直线 AD 的解析式． （2）本题的关键是求出 C1 的横坐标，可过 C1 作 x 轴的垂线，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C1DC=60°， 因此可在构建的直角三角形中用 BC 的长和∠C1DC 的度数来求出 C1 的坐标， 进而可用待定系数法求出抛物线的解析 式． （3）由于圆 P 与两坐标轴都相切，如果设 P 点的坐标为（x、y） ，则有|x|=|y|，进而可联立抛物线的解析式求出 P 点的坐标．也就得出了圆的半径的长． 解答：解： （1）由已知得 OA=3，∠OAD=30 度． 3×3 =1， 3∴OD=OA?tan30°= ∴A（0，3） ，D（1，0）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b． 把 A，D 坐标代入上式得：?? = 3 ， ?? + ?? = 0 ?? =
3， 解得： ?? = 3折痕 AD 所在的直线的解析式是 y= （2）过 C1 作 C1F⊥OC 于点 F， 由已知得∠ADO=∠ADO1=60°， ∴∠C1DC=60°． 又∵DC=31=2， ∴DC1=DC=2．3x+ 3．16∴在 Rt△C1DF 中，C1F=DC1?sin∠C1DF=2×sin60°= 则 DF= DC1=1， ∴C1（2，3．1 23） ，而已知 C（3，0） ．2设经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式是 y=ax +bx+c， （a≠0） ． 把 O，C1，C 的坐标代入上式得：?? = 0 4?? + 2?? + ?? = 3， 9?? + 3?? + ?? = 0解得?? =
3 ?? = 323 ， ?? = 032 3 3 x+ x 为所求． 2 2 32 3 3 2 3 x+ x=x，解得 x1=0（舍去） ??2 = 3 ， ． 2 2 3 32 3 3 2 3 x+ x=x 解得 x1=0（舍去） ??2 = 3 + ， ． 2 2 3 2 3 2 3 或 R=3+ ． 3 3∴y=（3）设圆心 P（x，y） ，则当⊙P 与两坐标轴都相切时，有 y=±x． 由 y=x，得由 y=x，得∴所求⊙P 的半径 R=3点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质等知识点．综合性较强． 13 、 如 图 ① 是 长 方 形 纸 带 ， 将 纸 带 沿 EF 折 叠 成 图 ② ， 再 沿 BF 折 叠 成 图③ ． （1）若∠DEF=20°，则图③ 中∠CFE 度数是多少？ （2）若∠DEF=α，把图③ 中∠CFE 用 α 表示． 考点：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质。 分析：因为长方形的对边是平行的，所以∠BFE=∠DEF=20°；图① 中的∠CFE=180°∠BFE，以下每折叠一次，减少一 个∠BFE，所以则图③ 中的∠CFE 度数是 120°， （2）由（1）的规律可以得到结果． 解答：解： （1）∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE=∠DEF=20°；17∴图① 中的∠CFE=180°∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE， ∴则图③ 中的∠CFE 度数是 120°， （2）由（1）中的规律，可得∠CFE=180°3α． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折 叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 14、生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条反面） ： （l）如果信纸折成的长方形纸条宽为 4cm，为了保证能折成图丁形状（即纸条两端均刚好到达点 P） ，纸条长至少 多少厘米？纸条长最小时．长方形纸条面积是多少？ （2）假设折成图丁形状纸条宽 xcm，并且一端超出 P 点 2cm，另一端超出 P 点 3cm， ① 请用 x 的代数式表示信纸折成的长方形纸条长． ② 用含 x 的代数式表示折成的图丁所示的平面图形的面积 S．考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析： （1）根据折叠知，纸条长至少是宽的 5 倍，进一步求得纸条长最小时，长方形纸条面积； （2） （1） 根据 的结论， y=5x+5， 则 进一步根据矩形的面积公式和等腰直角三角形的面积公式表示平面图形的面积． 解答：解： （1）根据折叠的方法，知纸条长至少是宽的 5 倍， 2 即为 4×5=20（cm） ，此时纸条的面积是 20×4=80cm ． （2）根据题意，得 y=5x+5． 则平面图形的面积 S=x（5x+5）=5x +5x． 点评：此题是一道动手操作题，要通过实际动手操作了解纸条的长和宽之间的关系． 15、生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条反面） ： （1）如果信纸折成的长方形纸条宽为 2cm，为了保证能折成图丁形状（即纸条两端均超出点 P） ，纸条长至少多少 厘米？纸条长最小时．长方形纸条面积是多少？ （2）假设折成图丁形状纸条宽 xcm，并且一端超出 P 点 2cm，另一端超出 P 点 3cm，若信纸折成的长方形纸条长 为 ycm．求 y 关于 x 的函数关系式，用含 x 的代数式表示折成的图丁所示的平面图形的面积 S； （3）若希望（2）中纸条两端超出 P 点长度相等，即最终图形丁是轴对称图形，如果 y=15cm，则开始折叠时点 M 应放在什么位置？2考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析： （1）根据折叠知，纸条长至少是宽的 5 倍，进一步求得纸条长最小时，长方形纸条面积； （2） （1） 根据 的结论， y=5x+5， 则 进一步根据矩形的面积公式和等腰直角三角形的面积公式表示平面图形的面积； （3）根据（2）中的函数关系式，求得 x 的值，再进一步求得点 M 的位置． 2 解答：解： （1）根据折叠的方法，知纸条长至少是宽的 5 倍，即为 2×5=10（cm） ，此时纸条的面积是 20cm ． （2）根据题意，得18y=5x+5． 则平面图形的面积 S=2x+3x+1 2 ?? +（ 22?? ）2=2.5x +5x．2（3）当 y=15 时，则 5x+5=15，x=2． 则点 M 应在距离点 A 的 2×2+2.5=6.5 处． 点评：此题是一道动手操作题，要通过实际动手操作了解纸条的长和宽之间的关系． 16、如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点 B 落在 B′ 处，顶点 A 落在 A′ 处，EC 为折痕，点 E、A′ 、B′ 在同 一条直线上． （1）猜想折痕 EC 和 ED 的位置关系，并说明理由； （2）ED 的反向延长线交 CA 交于 F，若∠BED=32°，求∠AEF 和∠A′ 的度数． EC考点：角的计算；垂线；翻折变换（折叠问题） 。 专题：探究型。 分析： （1）猜想两折痕的位置关系可认真观察图形，由图形可容易看出 CE 与 ED 是垂直关系的，要证垂直，只要∠ CEB'=90°即∠2+∠3=90°就可以了． （2）根据折叠性质，再用上（1）的结论及对角线知识可求得所求角的度数了． 解答：解： （1）∵EC 和 ED 是折痕， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2（∠2+∠3）=180°， ∴∠2+∠3=90°， 即 CE⊥ED， ∴折痕 EC 和 ED 是垂直关系． （2）由（1）知 CE⊥ED， ∴∠2+∠3=90°，又∠2=∠1=32°， ∴∠3=90°∠1=90°32°=58°， 即∠A'EC=58°； ∵ED 的反向延长线交 CA 交于 F， ∴∠AEF=∠2=∠1=32°．点评：折叠问题要重视折痕，找清折痕两边重合的部分，即相等的边，相等的角有哪些，找准这些关系对解决题目 是有很大帮助的． 17、如图，将正方形纸片的两角分别折叠，使顶点 A 落在 A′ 处，顶点 D 落在 D′ 处，BC、BE 为折痕，点 B、A′ 、D′19在同一条直线上． （1）猜想折痕 BC 和 BE 的位置关系，并说明理由； （2）写出图中∠D′ 的余角与补角； BE （3）延长 D′ B、CA 相交于点 F，若∠EBD=33°，求∠ABF 和∠CBA 的度数．考点：角的计算；余角和补角；翻折变换（折叠问题） 。 专题：计算题。 分析： （1）由于△A′ 与△ACB 关于 BC 对称，即△A′ CB CB≌△ACB，那么∠A′ BC=∠ABC，同理∠D′ BE=∠DBE， 而∠A′ BC+∠ABC+∠D′ BE+∠DBE=180°，从而易求∠A′ BC+∠D′ BE=90°，即可证 BC⊥BE； （2）由（1）知△A′ CB≌△ACB，那么∠BA′ C=∠A=90°，即∠A′ CB+∠CBA′ =90°，而∠A′ BC+∠D′ BE=90°，利用等角 的余角相等可知∠CBA′ =∠D′ BE，即知∠ACB=∠A′ CB=∠D′ BE=∠DBE，也就易求∠D′ 的余角、补角； BE （3）由∠EBD=33°，知∠D′ BD=66°，利用对顶角相等可知∠ABF=66°，从而易求∠A′ BA，也就可求∠CBA． 解答：解： （1）BC⊥BE； ∵△A′ 与△ACB 关于 BC 对称， CB ∴△A′ CB≌△ACB， ∴∠A′ BC=∠ABC， 同理有∠D′ BE=∠DBE， 又∵∠A′ BC+∠ABC+∠D′ BE+∠DBE=180°， ∴∠A′ BC+∠D′ BE=90°， ∴BC⊥BE； （2）由（1）知△A′ CB≌△ACB， ∴∠BA′ C=∠A=90°， ∴∠A′ CB+∠CBA′ =90°， 又∵∠A′ BC+∠D′ BE=90°， ∴∠CBA′ =∠D′ BE， 同理∠ACB=∠A′ CB=∠D′ BE=∠DBE， ∴∠D′ 的余角是∠CBA′ BE ，∠CBA，∠BED，∠BED′ ，补角是∠ABE； （3）∵∠EBD=33°， ∴∠D′ BD=66°， ∴∠ABF=66°， ∴∠A′ BA=180°66°=114°， ∴∠CBA= ×114°=57°．1 220点评：本题考查了角的计算、余角和补角的定义、翻折变化、全等三角形的性质、正方形的性质．注意翻折变化就 相当于轴对称变化． 18、 （2006?辽宁）如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点 O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC=4，点 E 为 BC 的中点，点 N 的坐标为（3，0） ，过点 N 且平行于 y 轴的直线 MN 与 EB 交于点 M．现将纸片折叠，使顶点 C 落在 MN 上，并与 MN 上的点 G 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴的交点． （1）求点 G 的坐标； （2）求折痕 EF 所在直线的解析式； （3）设点 P 为直线 EF 上的点，是否存在这样的点 P，使得以 P，F，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请 直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。 专题：压轴题。 分析： （1）根据正方形的性质，EB=2，根据 MN∥y 轴，N（3，0） ，MN⊥EB 且 MB=NA=1，可求 EM=1，而 EG=EC=2， 所以 sin∠EGM=???? = 1，即∠EGM=30°，所以 MG=EGcos30°= ???? 23，即 G（3，4 3） ；（2）先求得 F（0，42 所在直线解析式：y=3） ，E（2，4） ，设直线 EF 的解析式：y=kx+b（k≠0） ，利用待定系数法可求得，折痕 EF3x+42 3； 3，12 3） P2（1，4 3） P3（ 3， ， ，（3） 分为以下几种情况： PF=FG， PF=PG， PG=FG， 分别计算可得， 1 P （ 723） 4（3，4+ 3） ，P ．解答：解： （1）∵四边形 ABCO 是正方形， ∴BC=OA=4， ∵E 为 CB 中点， ∴EB=2， ∵MN∥y 轴，N（3，0） ，21∴MN⊥EB 且 MB=NA=1， ∴EM=1， 而 EG=EC=2， ∴sin∠EGM=???? = 1， ???? 2∴∠EGM=30°， ∴MG=EGcos30°= ∴G（3，43，3） ；（2）∵∠EGM=30°， ∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°， ∴CF=CEtan60°=2 ∴FO=423，3， 3） ，E（2，4） ，∴F（0，42设直线 EF 的解析式：y=kx+b（k≠0） ， ∴2?? + ?? = 4 ， ?? = 42 3 ?? = 3 ， ?? = 42 3 3x+42 3；∴∴折痕 EF 所在直线解析式：y=（3）P1（3，12 3） 2（1，4 3） 3（ 3，72 3） 4（3，4+ 3） ，P ，P ，P ．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应 的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．2219、如图，在直角坐标系中，矩形纸片 ABCD 的点 B 坐标为（9，3） ，若把图形按要求折叠，使 B、D 两点重合，折 痕为 EF． （1）△DEF 是否为等腰三角形？（不要说明理由） （2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由． （图中实线、虚 线一样看待） （3）求折痕 EF 的长及所在直线的解析式．考点：矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题） ；中心对称。 专题：代数几何综合题。 分析： （1）根据矩形对边平行得到∠BEF=∠OEF，由翻折可得到∠BEF=∠OEF，那么∠OEF=∠BEF．那么△DEF 为等 腰三角形． （2）连接 BD 交 EF 于 M，由 BM=DM，EM⊥BD，可求出 EM=FM，OM=MB，故四边形 AEFD 与四边形 CFEB 关于 M 成中心对称． （3）设 BE=OE=x，则 AE=9x，利用勾股定理可求出 x=5．可求出 E，F 的坐标．进而求出函数的解析式． 解答：解： （1）△DEF 为等腰三角形． 分） （2 （2）连接 BD 交 EF 于 M， ∵B、D 关于 EF 对称， ∴BM=DM，EM⊥BD， 易证 EM=FM， ∴E、F 关于 M 成中心对称，B、D 关于 M 成中心对称，又 M 为 BD 的中点， ∴A、C 关于 M 成中心对称， ∴四边形 AEFD 与四边形 CFEB 关于 M 成中心对称． 分） （6 （3）设 BE=OE=x，则 AE=9x， 在直角三角形 AED 中， （9x） +3 =x ，解得 x=5， ∴E（4，3） ，F（5，0） ， EF=2 2 23 + 1 = 10， 分） （922直线 EF 的解析式为 y=3x+15． （12 分）点评：本题考查的是图形的折叠及用待定系数法求一次函数的解析式． 20、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠， 使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折痕 CE=55，且??????∠?????? =3 4．23（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标．考点：一次函数综合题；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） ；相似三角形的判定。 专题：综合题。 分析： （1）根据折叠知∠CDE=∠B=90°，根据等角的余角相等得到∠CDO=∠AED，再结合一对直角，即可证明两个 三角形相似； （2）首先应求得点 E 的坐标，根据折叠知 DE=BE，根据??????∠??????=3 4，设 AE=3t，则 AD=4t，再根据勾股定理表示出 DE=5t，即 BE=5t，所以 OC=AB=8t，再根据（1）中的两个相似三角形得到 CD=10t，从而在直角三角形 CDE 中，根据勾股定理列方程计算．求得点 E 的坐标后，用待定系数法求得直线 CE 的解析式，再进一步求得与 x 轴的 交点 P 的坐标． 解答：解： （1）△OCD 与△ADE 相似． 理由如下： 由折叠知，∠CDE=∠B=90°， ∴∠EDA+∠CDO=90°， ∵∠EDA+∠DEA=90°， ∴∠CDO=∠DEA， 又∵∠COD=∠DAE=90°， ∴△OCD∽△ADE；（2）∵tan∠EDA=???? = 3， 4 ????∴设 AE=3t，则 AD=4t， 由勾股定理得 DE=5t， ∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t， 由（1）△OCD∽△ADE，得 ∴???? ???? = ????， ????8?? ???? 4?? = 5?? ，∴CD=10t， 2 2 2 在△DCE 中，∵CD +DE =CE ， ∴（10t） +（5t） =（52 25）2，解得 t=1， ∴OC=8，AE=3，点 C 的坐标为（0，8） ， 点 E 的坐标为（10，3） ， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，24∴10?? + ?? = 3 解得 ?? =
1 2 ?? = 8 ?? = 8 =
?? + 8，则点 P 的坐标为（16，0） ．2 1∴??点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够熟练运用勾股定理、锐角三角函数的概念、待定系数法求得函数的解析 式． 21、 （2006?宜宾）如图，矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中，使点 O 为坐标原点，边 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴 的正半轴上，且 OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点 O 落在线段 CB 上，设落点为 P，折痕为 EF． （1）当 CP=2 时，恰有 OF=13 4 ，求折痕 EF 所在直线的函数表达式；（2）在折叠中，点 P 在线段 CB 上运动，设 CP=x（0≤x≤5） ，过点 P 作 PT∥y 轴交折痕 EF 于点 T，设点 T 的纵坐标 为 y，请用 x 表示 y，并判断点 T 运动形成什么样的图象； （3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕 EF 最长？并计算出 EF 最长时的值． （不要求证明）考点：二次函数综合题；一次函数综合题。 专题：压轴题。 分析： （1）Rt△PCE 中，根据勾股定理得到 OE，CE，得到点 E、F 的坐标，根据待定系数法求函数解析式． （2）易证 Rt△PTH≌Rt△OEH，进而证明 Rt△OEH∽Rt△OPC，就可以求出 y 与 x 的函数解析式． （3）猜想：当点 F 与点 A 重合时，折痕 EF 最长，易证 Rt△EOA∽Rt△PCO，就可以解决． 解答：解： （1）设 OE=y，则 CE=3y， ∵点 P 是点 0 关于直线 EF 翻折的对称点， 在 Rt△PCE 中，有 CE +CP =PE ，y= ∴点 E、F 的坐标分别是（0，2 2 213 13 ，OF= ， 4 613 13 ）（ ，0） ， ， 4 6 2?? 13 + ． 3 6∴折痕 EF 所在直线的解析式为 y=（2）由题意，点 T 的坐标为（x，y） ，连接 OP，交 EF 于点 H， ∵由已知得点 0 折叠后落到点 P 上，由翻折的对称性可知， ∴EF 为 OP 的垂直平分线， ∴OH=PH， ∴Rt△PTH≌Rt△OEH， ∴PT=OE， 分） （5 Rt△OEH∽Rt△OPC， UP=x， OE=????????? （??2 +9） = =PT， ???? 6 ??2 3 + （0≤x≤5） ， 6 2又 PT=3y， y=25所以点 T 运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分， 另法：由题意：点 T 的坐标为（x，y） ，连接 OP、OT． 由翻折性质得：OT=PT， 2 2 OT2=x +y ，PT=3y， 2 2 2 ∴x +y =96y+y ∴yT?? 2 6+3 2（0≤x≤5） ，所以点 T 运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分． （3）猜想：当点 F 与点 A 重合时，折痕 EF 最长， （10 分） 此时，仍设 CP=x，EA 为 OP 的垂直平分线，则有：EA⊥OP， ∴Rt△EOA∽Rt△PCO． OE=5?? ． 3又由（2）可知：OE= 解得 x=1 或 x=9， 又∵O≤x≤5， ∴x=1， ∴OE= ，（??2 +9）6，5 3∵在 Rt△OEA 中，OA=5． ∴EF=5 10 ． 3点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，是三角形与函数的综合题，难度较大． 三、选择题（共 9 小题） 22、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 P 在线段 BC 上运动，现将纸片折叠，使点 A 与点 P 重合，得折痕 EF （点 E、F 为折痕与矩形边的交点） ，设 BP=x，当点 E 落在 AB 上，点 F 落在 AD 上时，x 的取值范围是（ ）A、0＜x≤1 B、0＜x≤3 C、1≤x≤3 D、3≤x≤5 考点：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质。 专题：动点型。 分析：此题需要运用极端原理求解； ① 最小时，F、D 重合，由折叠的性质知：AF=PF，在 Rt△PFC 中，利用勾股定理可求得 PC 的长，进而可求得 BP BP 的值，即 BP 的最小值； ② 最大时，E、B 重合，根据折叠的性质即可得到 AB=BP=3，即 BP 的最大值为 3； BP26根据上述两种情况即可得到 x 的取值范围． 解答：解：如图； ① F、D 重合时，BP 的值最小； 当 根据折叠的性质知：AF=PF=5； 在 Rt△PFC 中，PF=5，FC=3，则 PC=4； ∴BP=xmin=1； ② E、B 重合时，BP 的值最大； 当 根据折叠的性质知：AB=BP=3， ∴BP=xmax=3； 综上可知：x 的取值范围是：1≤x≤3，故选 C．点评：此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出 x 的两种极值下 F、E 点的位置，是解决此题的关键． 23、将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2 的度数是（ ）A、100° B、110° C、120° D、140° 考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．解答：解：根据折叠的性质，可得∠1 的补角为∠5=40°， ∴根据三角形外角定理有∠5+∠3=∠2， 而∠3=∠4，∠2+∠4=180°， ∴2∠240°=180°， 解可得：∠2=110°． 故选 B． 点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力． 24、如图所示，将宽为 4 厘米的纸条折叠，折痕为 AB，如果∠ACB=30°，折叠后重叠部分的面积为（ 米．）平方厘A、16B、1427C、12 D、4 考点：翻折变换（折叠问题） ；平行线的性质。 专题：几何综合题。 分析：根据翻折不变性，得到∠α=∠CAB，从而求出∠ABC=∠BAC，再得出△ACB 为等腰三角形，求出 AD 和 CB 的 长，进而求出△ABC 的面积． 解答：解：延长 GA 到 F，根据翻折不变性，∠α=∠CAB， ∵AG∥BC， ∴∠GAC=∠ACB=30°， ∴∠α=∠CAB=180° 30°
=75°， 2∴∠ABC=180°30°75°=75°， ∴AC=BC． 作 AD⊥BC，垂足为 D． 在 Rt△ACD 中，∠ACD=30°， AD= AC= ×4=2cm． ∴△ABC 的面积为 ×4×2=4cm． 故选 D．1 21 21 2点评：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角形的性质及含 30°的角的性质，综合性较强． 25、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面） ：如果由信纸折成 的长方形纸条（图① ）长为 16 cm，宽为 2cm，AM=4cm 折成图 4 所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 （ ）A、8cm B、10cm 2 2 C、12cm D、14cm 考点：翻折变换（折叠问题） ；菱形的性质；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：根据已知条件，由折叠易得 MB 和 AP 长度相等，那么阴影部分面积与矩形边长为 AM 的矩形的面积相同． 解答：解：读图可知，阴影部分的面积与边长为 AM 的矩形的面积相同， 2 即 2×4=8cm ， 故选 A．2228点评：本题通过折叠变换考查矩形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 26、一根长 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点 P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为（ ）A、7.5cm B、9cm C、12cm D、13.5cm 考点：翻折变换（折叠问题） 。 专题：操作型。 分析：将折叠纸条展开，分析其中的三角形，梯形的特点，再进行计算． 解答：解：将折叠这条展开如图， 根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即 3cm， 下底等于纸条宽的 2 倍，即 6cm， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的 2 倍，即 6cm， 故超出点 P 的长度为（3015）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5．故选 D． 点评：本题考查了折叠的性质．关键是将折叠图形展开，分析每个图形形状及与纸条宽的关系． 27、 将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD， 沿对称轴 EF 折叠成如图的形状， 若折叠后， 与 CD 间的距离为 60cm， AB 则原纸片的宽 AB 是（ ）A、5cm B、10cm C、15cm D、20cm 考点：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：设 AB=xcm．根据轴对称图形的性质，得 BE=DF=35x（cm） ，从而再根据 AB 与 CD 间的距离为 60cm，列方 程求解． 解答：解：设 AB=xcm． 根据轴对称图形的性质，得 BE=DF=35x（cm） ． 则有 2（35x）+x=60， x=10． 故选 B． 点评：此题主要能够根据轴对称图形的性质，用同一个未知数表示出有关线段的长． 28、 （2006?成都）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的 C 点落在 B′ 或 B′ M M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）29A、85° B、90° C、95° D、100° 考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得． 解答：解：根据图形，可得：∠EMB′ =∠EMB，∠FMB′ =∠FMC， ∴∠FME+∠FMB′ +∠EMB′ =180°， 又∵∠EMB′ +∠FMB′ =∠FME， ∴∠EMF=90°． 故选 B． 点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于 找到图形间的关系． 29、请你找一张长方形纸片（如图 1） ，按照以下过程进行动手操作： 步骤 1：在 CD 上取一点 P，将角 C 向上翻折，使点 C′ 落在原长方形所在的平面内，这样将形成折痕 PM，如图 2； 步骤 2：再将角 D 向上翻折，使点 D′ 落在 PC′ 所在的直线上，得到折痕 PN． 如图 3，设折角∠MPC′ =α，∠NPD′ =β，则∠MPN 的度数为（ ）A、85° B、90° C、95° D、100° 考点：翻折变换（折叠问题） 。 分析：由于折叠前后的两个角相等，所以 2α+2β=180°，则 α+β=90°，即∠MPN=90°． 解答：解：∵△MCP≌△MC'P，△NDP≌△ND'P， ∴∠α=∠MPC，∠β=∠NPD， ∴2α+2β=180°， ∴α+β=90°． 故选 B． 点评：本题考查了图形的翻折变化． 30、 （2009?天水）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB，以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角 的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是（ ）30A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形 考点：剪纸问题。 分析：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 解答：解：由第二个图形可知：∠AOB 被平分成了三个角，每个角为 60°，它将成为展开得到图形的中心角， 那么所剪出的平面图形是 360°÷60°=6 边形．故选 D． 点评：本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
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