求教一道简单微分方程_百度知道
//b.baidu.hiphotos.baidu://b简谐振动.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item/aecb31932daa96a47a98226cffc1789.jpg" esrc="http.baidu，等号右边的分量导致这个振动的平衡位置平移.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=413c6cca0caf/aecb31932daa96a47a98226cffc1789。<a href="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=309f7e73aacb/aecb31932daa96a47a98226cffc1789.hiphotos://b
这我知道那麼x(t)怎样解出来
图片第三行，是标准的简谐振动方程（加速度+ω平方*位移=0），第四行是标准的通解。这些都是比较基本的内容，如果没有特殊情况，可以直接写出答案。
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用一般乡法解就行啊这就是普通的二阶常系数微分方程。不过K是正数，还是负数
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常微分方程模拟试题(1)及参考解答
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常微分方程初值问题
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　　求常微分方程 　　　(1)满足初值条件 　　　(2)的解的问题。其中,x属于n维欧几里得空间Rn,?是由Rn+1中的开域G到Rn的映射。n=1时,(1)、(2)表示方程；n≥2时，它们表示向量方程。常微分方程初值问题包括以下的问题：初值问题(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在区间有多大；当初值(t0,x0)变化时,解如何变化；当方程(1)的?添进参数λ，即方程(1)变为时，解同参数λ有何依赖关系；等等。初值问题是于19世纪30年代首先提出的,所以又叫柯西问题。在这之前，求解常微分方程是企图求其通解，但能够求出通解的只是一些特殊的方程，而在力学和物理学中出现的大多数方程都无法求出通解。柯西从另一种观点考虑，提出了初值问题，并采用优函数方法，在函数?(t,x)于点(t0,x0)的某个邻域里解析的条件下第一次证明了初值问题 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所谓优函数是指：若?(t,x)、F(t,x)均在点(t0,x0)的某一邻域内解析，设 　　　且满足条件αmn&0,|αmn|&αmn，则F(t, x)称为?(t,x)的优函数，记为?&&F。此后,又在函数?的假设下证明了初值问题解的存在性。 　　为简单起见,以下没有特别指明之处，都是对n=1的情况而言的，但所有结论对一般的n都成立。 　　&　　解的存在性& 初值问题(1)+(2)并非都有解存在。例如，初值问题的解就不存在。甚至有的方程在它右数定义域上的任何一点都无解存在。例如方程 其中当x为无理数时?(x)=0,当x为有理数时 ?(x)=1，就是如此。初值问题有解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理:若?(t,x)在矩形域R(│t-t0│≤α│x-x0│≤b)上连续,则初值问题(1)+（2）在区间│t-t0│≤h上至少存在一个解x(t)。在这里,,（图1）。 常微分方程初值问题从点(t0,x0)向左右两边作欧拉折线序列{xm(t)}： 　 (3)　　　　　　　　　　　　(3)由阿斯科利-阿尔泽拉引理（一个在闭区间【α,b】上一致有界且同等连续的无穷函数序列，必可从中选取一个在此区间上的子序列）可以证明此序列存在一致收敛的子序列，它于|t-t0|≤h上收敛于初值问题的解，从而可以证明上述存在定理。这个定理也可以用绍德尔不动点定理给以证明。值得指出,上述欧拉折线公式(3)是常的基本公式之一。 　　解的开拓性& 柯西－皮亚诺存在定理描述的是解在t0附近的一个区间上的存在性，因而是一个局部性的定理。若 ?（t，x）在某一平面有界区域 G上连续，G 可能很大，这时，可以用如下方法把在小区间上有定义的解开拓到较大的区间上去。适当地选取 α0、b0& 0，作使R0G，则过点（t0,x0）至少有方程（1）的一个解x（t）在区间│t-t0│≤h0上存在。其中 令显然,则又可适当地选取α1b1&0，作R1:使于是可向右边开拓到区间 t1≤t≤t1+h1上(见图2)。如此继续下去，可一直开拓到G的边界嬠G的任何邻近。同样,也可将解 x(t)从点(t0-h0，x(t0-h0))向左边开拓。如此经开拓而得的解称为方程(1)过点(t0,x0)的饱和解。饱和解的定义区间称为解的最大存在区间;它必为。综上所述有开理:设?(t,x)在平面有界开域G上连续,设x(t)为(1)的任一解（或积分曲线）,其最大存在区间为(с,d)，则必有 式中ρ((t,x(t)),嬠G)表示点(t,x(t))到G的边界嬠G的距离。即，只要?在G上连续，则方程(1)过G中任一点的积分曲线必可延至与边界嬠G无限接近。 　　当G无界时,G上的积分曲线或是开拓到无限接近G的境界线，或者趋向无穷远。但在接近于G的境界线时,可能是振动的。事实上，不管G是有界还是无界，如果将G的无穷远处也理解为其边界，那么方程(1)过G中任一点的积分曲线必可开拓到G的边界。因此,下面的结论总是成立的： 　　设x(t)的最大存在区间是(α,b),则t→α+或t→b－时有 　　　(4)式中M(t)=(t,x(t))为积分曲线上的点坐标； 　　解的惟一性& ?(t,x) 的连续性不能保证初值问题(1)+(2)的解惟一。例如方程其右端函数在整个平面R2上定义且连续，但过点(0，0)的解至少有两个：x1(t)=0 和实际上这时有无限个解通过这个点(图3)，形成过点(0,0)的一束解(称其为皮亚诺束)。这是平面情形。对一般的n,若方程(1)在域上过点(t0,x0)的解不惟一,则过此点的积分曲线的全体形成一个漏斗状的集合，称为积分漏斗。 　　惟一性条件& 初值问题解的惟一性条件,最常用的是李普条件。设?(t,x)在R:|t-t0|≤α,│x-x0│≤b上连续,存在常数K 使当时,则说?（t,x）在R上满足李普希茨条件。此外,常见的还有奥斯古德条件:当时。 其中ω(r)在r≥0上非负连续, 还有条件:当时。 其中ω(t,r)是 0&t&α,r≥0上的连续非负函数,对任何α∈(0,α),在0≤t≤α上连续可微的函数 r(t)呏0是满足方程及条件r(0)=妝+(0)=0在区间0&t≤α上的惟一解。 　　如果?(t,x)满足这些惟一性条件,则方程(1)只能有一个满足初值条件 (2)的解(惟一性定理)。这个定理可以用比较原理给以证明。在李普希茨条件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {xm(t)}于│t-t0│≤h上一致收敛于此解来证明。这些惟一性条件只保证解的局部惟一性。但只要?在域G中每一点都满足惟一性条件，则方程(1)过G中任一点的饱和解都是惟一的。惟一性的讨论已有一百多年的历史，至今仍有人在研究，并相继提出了许多惟一性条件。 　　解对初值和参数的&　在应用初值问题描述一个物理过程时,由于初值和方程(1)的右端函数通常由实验测定，而小的测量误差可能引起解的很大变化，因此在应用中（如在变分法和最优控制等学科中），就需要考察初值和参数变化时解的变化规律。于是解对初值和参数的依赖关系在理论上和应用上都很重要。 　　考虑带参数的常微分方程 　　 (1)λ式中(t,x)∈G，G是Rn+1中的开域, λ∈Iλ,Iλ是开区间，?:G×Iλ→Rn。为了表明解对初值和参数的依赖关系,把方程(1)λ满足初值条件(2)的解记为 x=φ( t, t0, x0,λ)；而φ( t0, t0, x0,λ)= x0。 　　解对初值和参数连续的一般定理&　 设 ?（t,x,λ）在G×Iλ上连续,关于x满足李普希茨条件,即存在常数K&0，使那么对每个(t0，x0)∈G,λ∈Iλ,存在通过(t0,x0)的 惟一解 x=φ(t,t0,x0,λ),其定义域是R1×G×Iλ中的开集E,在E上φ(t,t0,x0,λ)是连续的。这个定理只表明过点（t0,x0）的解在定义区域内是连续的，但并没有反映当初值和参数变化时解在 t的定义区间上整体的变化情况。下面的定理指出了对某个大范围内的t,解对初值和参数连续是一致的。 　　解对初值和参数的整体& 　设?(t,x,λ)满足上述定理的条件,又设x＝ψ(t)是方程(1)λ当λ=憳 时的解，其最大存在区间为(с,d)。对任一闭子区间【α,b】嶅（с,d），存在δ&0，使当时,对任意和λ∈(憳-δ,憳+δ)，则方程(1)λ的惟一解φ（t,t0,x0,λ）至少在【α,b】上有定义，且是变量t，t0，x0，λ在区域【α,b】×Uδ×（憳-δ，憳+δ）上的连续函数。并且对任意慪∈【α,b】，当时,φ(t,t0,x0,λ)→ψ(t) 对 t∈【α,b】一致成立。对任意 ε&0，存在δ&0，使当│x0- ψ(t0)|&δ，|λ-憳|&δ时有 |φ(t,t0,x0,λ)-ψ(t)│&ε,t∈【α,b】。 　　上述两定理中，?（t，x，λ）关于x满足李普希茨条件，目的是保证解的惟一性。事实上，只要初值问题(1)λ+(2)的解是惟一的，那么上面两定理仍然成立。 　　解对初值和参数的可微性定理& 设?（t,x，λ）在G×Iλ内关于(x，λ)连续可微，那么初值问题(1)λ+(2)的解x＝φ(t,t0,x0,λ)作为变量(t,t0,x0,λ)的函数在其定义域内连续可微。和作为t的函数分别满足初值问题和作为t的函数满足矩阵微分方程的初值问题Χ(0)=E。E为n×n单位矩阵。 　　在上面三个定理中，固定 λ时，就分别得到解对初值的有关依赖性定理。 　　初值问题的推广&　当?(t,x)连续时，就能保证牛的存在性，但在实际应用中出现了?(t,x)为不连续的情形，这类方程已成为现代微分方程理论研究的一个重要课题。前面已有例子表明，?(t,x)不连续时，不一定有牛顿解存在，因此很有必要推广解的概念。到目前为止，已有多种解的推广，下面简述常遇到的解的概念和一个存在性定理。设 φ(t)是区间I上的，对t∈I上除了一个测度为零的集合外，满足方程则φ(t)称为方程(1)的卡拉西奥多里解或卡氏解。 　　卡拉西奥多里存在定理& 设?(t,x)在G上定义,对每个固定的x关于t可测，对每个固定的t关于x连续；对任一有界D嶅G，存在勒贝格 m(t)，使得当(t,x)∈D时 |?(t,x)|≤m(t),则方程(1)存在一个满足初值条件(2)的卡氏解。当?(t,x)在G上连续时，卡氏解就归结为牛顿解。 　　常微分方程初值问题在常微分方程理论的发展中有着重要的作用，在实际应用中也极其重要，在促进某些数学分支的发展中也起了很大的作用。到目前为止，这方面的研究还在进行。&
常微分方程初值问题 -
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