（-x)^9÷x^4 ;7^3n+1÷7^3 (2a)^3÷(4a^2)^3 ; (x-y)^10÷(x-y)÷(y-x)^5 已知a^m÷a^n=a^4,a^m·a^n=a^6.求m,n的值； 已知2a-3b-4c=4.求4^a÷8^b÷2^4c的值..计算：（2b）^5÷(2b)^3(a^4)^3·(a^5)^3÷(a^2)^2÷(a^3)^3(9×10^9)÷(3×10^7)如果（a-b)^4m-2÷(a-b)^2m+5=(a-b_百度作业帮
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已知a^m÷a^n=a^4,a^m·a^n=a^6.求m,n的值； 已知2a-3b-4c=4.求4^a÷8^b÷2^4c的值..计算：（2b）^5÷(2b)^3(a^4)^3·(a^5)^3÷(a^2)^2÷(a^3)^3(9×10^9)÷(3×10^7)如果（a-b)^4m-2÷(a-b)^2m+5=(a-b)^3,求m的值计算：（3x+y)^2 ;(-x+3y)^2 ; (-m-n)^2求教啊,有过程最好,没有也算了~
a^m÷a^n=a^4& &可以换a^{m-n}=a^4& a^m·a^n=a^6.&可以换a^{m+n}=a^6& &所以&m+n=6& &m-n=4& 所以m=5&n=1& &最上面的是要求什么?
晕~！我才小学~怎么问题会分类到我这~
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2009年全国名校高三模拟试题分类汇编
立体几何
三、解答题(第一部分)
1、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中
（1）求证：；
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系............1分
（1）设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴
又， ∴
即
（2）设平面PAD的法向量是，
取得，又平面的法向量是∴
∴到平面PAD的距离
解法二：
（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P-ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，
∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴
（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；
∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，
则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角；
可以计算得，
（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；
由VM-PAD=VP-ADM求得。
2、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)如图，分别是正方体的棱的中点．
（1）求证：//平面；（2）求证：平面平面．
（1）证明：连结NK.
在正方体中，
四边形都为正方形，
分别为的中点，
为平行四边形.
为平行四边形.
平面平面，平面
（2）连结
在正方体中，
分别中点，
四边形为平行四边形.
在正方体中，平面平面
为正方形，
平面平面
平面
平面 平面平面
3、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)如图，平面平面ABCD，ABCD为正方形，是直角三角形，且，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点.
（1）求证：∥面EFC；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面,又H为AB中点，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG..........6分
（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中，，同理，
又，∴在MGE中，
，
故异面直线EG与BD所成的角为...................12分
4、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点，
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）若AC1⊥平面A1BD，二面角B-A1C1-D的余弦值.
解：（1）连结AB1交于A1B于点E，连结ED.
∵侧面ABB1A1是正方形
∴E是AB1的中点
又∵D是AC的中点
∴B1C∥平面A1BD..................4分
（2）取A1C1的中点G，连结DG，则DG⊥A1C1
∴BD⊥平面A1C1D
∴BG⊥A1C1
∴∠BGD为二面角B-A1C1-D的平面角..................8分
∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥BD，又∵CC1⊥平面ABCD，且AC1在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD
∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC
又∵DG=A1A=AB
∴........................12分
5、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD.
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，且，问为何值时，PC⊥平面BMD.
解：
以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.
（1），
故直线PD与BC所成的角的余弦值为
（2）设平面PAB的一个法向量为，
由于
由
取的一个法向量
又二面角P-AB-C不锐角.
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°
（3）设三点共线，
（1）
（2）
由（1）（2）知
故
6、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点
(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离
解法1：(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD
（2分）
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴
（4分）
，又在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°，
（6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角
（8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°；
（10分）
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则
，
（12分）
在中，由勾股定理可求得PM=
,所以：∴
即点D到平面PAM的距离为
（14分）
解法2：(Ⅰ) 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意，可得
......2分
∴
（4分）
∴
即,∴AM⊥PM
（6分）
(Ⅱ)设，且平面PAM，则
即
∴ ，
取，得
（8分）
取，显然平面ABCD，
∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；
（10分）
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为
7、(天津市汉沽一中学年度高三第四次月考试题)如图所示的几何体中,平面，,，
，是的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解法一: 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
，
.............................. 4分
(Ⅰ)证: ...... 5分
...... 6分
,即............................ 7分
(Ⅱ)解:设平面的法向量为,
由,得
取得平面的一非零法向量为
.............................. 10分
又平面BDA的法向量为
.......................................... 11分
，
∴二面角的余弦值为.
................................. 14分
解法二:
(Ⅰ)证明:取的中点,连接,则,
故四点共面， .............................. 2分
∵平面，
.............................. 3分
又
.............................. 4分
由，
平面
.............................. 6分
;
........................... 7分
(Ⅱ)取的中点,连,则
平面
过作,连,则
是二面角的平面角.
........................... 9分
设, 与的交点为,记,,则有
.
.
,
........................ 12分
又
在中,
即二面角的余弦值为.
........................ 14分
8、(厦门市第二外国语学校学年高三数学第四次月考)如图，已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．
解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．设
则，．连结，．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即DH与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得DH与平面所成的角为．
9、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)在正三棱锥中，
D是AC的中点，.
（1）求证：（5分）
（2）（理科）求二面角的大小。（7分）
（文科）求二面角
平面角的大小。（7分）
10、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)如图，P-ABCD是正四棱锥是正方体，其中.
（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；
（3）求到平面PAD的距离.
解法一:
(1) 连结AC , 交BD于点O , 连结PO ,
则PO⊥面ABCD , 又∵AC⊥BD
, ∴,
∵BD∥B1D1
(2) ∵AO⊥BD , AO⊥PO ,
∴AO⊥面PBD ,
过点O作OM⊥PD于点M,连结AM ,
则AM⊥PD ,
∴∠AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, ------6分
又∵, ∴AP=,PO=
, ∴ ,
即二面角的大小为 .
(3) 分别取AD , BC中点E , F ,作平面PEF , 交底面与两点S , S1 , 交B1C1于点B2 , 过点B2作B2B3⊥PS于点B3 , 则 B2B3⊥面PAD , 又 B1C1∥AD ,
∴B2B3的长就是点B1到平面PAD 的距离 .
------10分
∵PO=AA1=2 ,
------12分
解法二: 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
（1）设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，
------4分
（2）设平面PAD的法向量是，
又平面的法向量是
------8分
（3）
到平面PAD的距离 -----12分
11、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，、分别是、的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B－CE－F的大小．
（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，
易证：且∥
于是，EF∥MD，而MD?平面PCD
所以EF∥平面PCD
（Ⅱ）以点为原点，建系，
易求得(1,1,0)、(，，)、(0，1，0)、(，0，0)，
从而分别求出平面和平面的法向量、
从而算出二面角大小为．
12、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，直线B1C与平面ABC成30°角。
（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（2）（文科）求二面角B-B1C-A的正切值；
（3）（理科）求直线A1C与平面B1AC所成的角的正弦值。
解：（1）三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
又AC面B1AC
............（6分）
（2）三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
为直线B1C与平面ABC所成的角，即
过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B1C于N，加结AN。
∴平面BB1CC1⊥平面ABC
∴AM⊥平面BB1C1C
由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B-B1C-A的平面角。
在Rt△B1BC中，BC=BB1
在Rt△BAC中，由勾股定理知
在Rt△AMC中，
在Rt△MNC中，
在Rt△AMN中，
即二面角B-B1C-A的正切值为 ............（文12分）
（3）（理科）过点A1作A1H⊥平面B1AC于H，连结HC，则
∠A1CH为直线A1C与平面B1AC所成的角
在Rt..................（理12分）
13、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知．
（1）证明：平面；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．
（2）AD∥BC∠PCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角
..........................................8分
（3）作
为二面角的平面角..............................10分
................................................12分
14、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)如图，在△中，,，为的中点，沿将△折起到△的位置，使得直线与平面成角。
(1)若点到直线的距离为，求二面角的大小；
(2)若，求边的长。
解：(I)由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC.
过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，........................(2分)
∴∠A′ED＝30°，又A′O＝BO＝1，∴∠A′OD＝60°，
从而A′D＝A′Osin60°＝.............................................................(4分)
过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC.
∴∠A′ED为二面角A′-BC-A的平面角...........................................(5分)
由已知，A′E＝1，在Rt△A′DE中
∴∠A′ED＝60°故二面角A′-BC-A的大小为60°...............................(6分)
(II)设BC＝，∠A′CB＝θ，则A′C＝，∠OCB＝π－θ.
在Rt△BOC中，............(8分)
在△A′DB中，A′B＝
在△A′BC中，A′B2＝A′C2＋BC2－2A′C·BC
............(10分)
...........................(12分)
15、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（1）证明；
（2）证明平面；
（1）证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故．，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（1）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
16、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.
（1） 求证:；
（2） 求二面角的正切值.
（1）证明：∵,............2分
∴,............3分
∴,而
∴............5分
（2）解：取的中点，连，,如图
∵∴∴............7分
又由（1）知，
∴,
∴为二面角的平面角.........9分
在中，,
∴,∴............10分
又
在中，
即二面角的正切值为.............12分
17、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在直三棱柱中，，，
为的中点.
（1）求证： //平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）设是上一点，试确定的位置，使平面⊥
平面，并说明理由.
（1）证明：如图，连结AB1与A1B相交于M。
则M为A1B的中点
连结MD，则D为AC的中点
∴B1C∥MD
又B1C平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD ............4分
（2）∵AB=B1B
∴四边形ABB1A1为正方形
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD
∴AC1⊥A1B∴A1B⊥面AB1C1
............6分
∴A1B⊥B1C1
又在直棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥B1C1
∴B1C1⊥平面ABB1A1
............8分
（3）当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE ............9分
∵D、E分别为AC、C1C的中点
∴DE∥AC1
∵AC1⊥平面A1BD
∴DE⊥平面A1BD
又DE平面BDE
∴平面A1BD⊥平面BDE
............12分
18、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF//平面PEC；
（3）求二面角P-EC-D的大小.
证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD。..................4分
（2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。
∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。............4分
（3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角。..................10分
∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得
..................14分
19、(广东省广州市学年高三第一学期中段学业质量监测)如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.
（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；
(Ⅱ) 求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱椎的体积.
解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //
四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. ......3分
又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO......4分
平面EFOG,PA平面EFOG, ......5分
PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ......6分
方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//
又//AB,//
平面EFG//平面PAB, ......4分
又PA平面PAB,平面EFG. ......6分
方法三)如图以D为原点,以
为方向向量建立空间直角坐标系.
则有关点及向量的坐标为:
......2分
设平面EFG的法向量为
取.......4分
∵,......5分
又平面EFG.
AP//平面EFG. ......6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形
,又∵面ABCD
又
平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =......8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为......9分
......10分
结合图知二面角的平面角为......11分
(Ⅲ) ......14分
20、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)如图①，在等腰梯形CDEF中，已知CD∥EF，CD＝2，EF＝6，AD、BC均为梯形的高，且AD＝BC＝.现沿AD、BC将△ADE和△BCF折起，使点E、F重合为一点P，如图②所示.又点N为线段AB的中点，点M在线段AD上，且MN⊥PC.
(1)求线段AM的长；
(2)求二面角P－MC－N的大小.
解：(1)由题意，AD⊥平面PAB，取CD的中点E，连接NE
∵四边形ABCD是矩形，点N是AB的中点
∴AD∥EN，EN⊥平面PAB
由题意得PA＝AB＝BP＝2
∴PN⊥AB ......2'
如图所示，建立空间直角坐标系N－xyz
则A(0，－1，0)，P(，0，0)，C(0，1，)
设M(0，－1，z)，则\s\up5(→(→)＝(0，1，－z)，
\s\up5(→(→)＝(－，1，)
......4'
由\s\up5(→(→)·\s\up5(→(→)＝1－z＝0
z＝
∴AM＝
......6'
(2)设平面PMC的法向量\s\up5(→(→)＝(x0，y0，z0)，\s\up5(→(→)＝(0，2，)
由\s\up5(→(→)·\s\up5(→(→)＝0且\s\up5(→(→)·\s\up5(→(→)＝0
得
\s\up5(→(→)＝(，－1，2) ......9'
∵平面MCN的法向量\s\up5(→(→)＝(1，0，0)
∴cos＝\s\up5(→(m,\s\up5(→)＝
＝ ......11'
∵二面角P－MC－N为锐角，
∴二面角P－MC－N的大小为. ......12'
21、(北京市东城区学年度高三年级部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF//平面PEC；
（3）求二面角P-EC-D的大小.
证明：（I）连结AC，则AC⊥BD。
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD。..................4分
（II）取PC的中点K，连结FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形。
∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，
∴AF//平面PEC。..................4分
（III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角。..................10分
∵E为AB的中点，AE//CD，
∴AM=AD=2，
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得
..................14分
22、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图，已知长方体
直线与平面所成的角为，垂直于
，为的中点.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求平面与平面所成的二面角；
（3）求点到平面的距离.
解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
（I）因为所以=
易知异面直线所成的角为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，
所以距离=所以点到平面的距离为。。。。4分
23、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图直棱柱ABC-A1B1C1中AB=,AC=3,BC=,D是A1C的中点E是侧棱BB1上的一动点。
(1)当E是BB1的中点时证明：DE//平面A1B1C1；
(2)求的值
(3)在棱 BB1上是否存在点E,使二面角E-A1C-C是直二面角？若存在求的值，不存在则说明理由。
证明：①取AC中点M连BM，DM
又
即四边形DMBE为平行四边形.....................3分
又面ABC,D面ABC
面ABC
②在中，....2分
③过B作,
如图建系 设.....................2分
设面的法向量
.........3分
面的法向量......................1分
二面角是直二面角，
....................................3分
24、(江苏省常州市高三第一学期期中统一测试数学试题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（1）证明:连结BD.
在长方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
又B1D1平面，平面，
EF∥平面CB1D1.
6′
（2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1平面CB1D1，
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
13′
25、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
解:方法一：⑴．证明：连结OC
............ 1分
，． ......... 2分
在中，由已知可得 ... 3分
而，
.....................
.....................
.................................
6分
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为
BC的中点知，
∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，............... 8分
在中，
是直角斜边AC上的中线，∴ ...............9分
∴，
........................... 10分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． ..............................
11分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ，
......................................................12分
∴， ∴点E到平面ACD的距离为
方法二：⑴．同方法一．
⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
...............
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．......
⑶．解：设平面ACD的法向量为则
，
∴，令得是平面ACD的一个法向量．
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．...14分
26、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)已知正方体ABCD-中，E为棱CC上的动点，
（1）求证：⊥；
（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面⊥；
解析:连结AC，设，连结
（1）,
∴,
又,
∴,
．
∴⊥．-----------------------------------------------7分
（2）在等边三角形中，，而，平面, 平面, ，∴⊥平面．于是.
在正方体ABCD-中，设棱长为，
∵E为棱CC的中点，由平面几何知识，得，
满足，∴．
平面⊥平面．------------------------------------14分
27、(广东省恩城中学2009届高三上学期模拟考试)如图, 在矩形中, ,
分别为线段的中点, ⊥平面.
(1) 求证: ∥平面；
(2) 求证:平面⊥平面；
(3) 若, 求三棱锥的
体积.
证明: ⑴ 在矩形ABCD中,
∵AP＝PB, DQ＝QC,
∴AQCP为平行四边形.-------------2分
∵CP平面CEP,
AQ平面CEP,
∴AQ∥平面CEP.
----------------4分
⑵ ∵EP⊥平面ABCD,
AQ平面ABCD,
----------------------6分
∵AB＝2BC, P为AB中点, ∴AP＝AD. 连PQ, ADQP为正方形.
∴AQ⊥DP.-----------------------------------------8分
又EP∩DP＝P,
∴AQ⊥平面DEP.
∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. ----------------------10分
⑶解：∵⊥平面
∴EP为三棱锥的高
----------------------------------------------14分
28、(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.
方法一：(1) 证：取的中点，连.
∵为的中点，∴且. ............1分
∵平面，平面，
∴，∴.
............2分
又，∴.
............3分
∴四边形为平行四边形，则.
............4分
∵平面，平面，
∴平面.
............5分
(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴
............6分
∵平面，平面，∴.
............7分
又，故平面.
............8分
∵，∴平面.
............9分
∵平面，
∴平面平面.
............10分
(3) 解：在平面内，过作于，连.
∵平面平面， ∴平面.
∴为和平面所成的角.
............12分
设，则，
，
R t△中，.
∴直线和平面所成角的正弦值为 .........14分
方法二：设，建立如图所示的坐标系，则
.......2分
∵为的中点，∴.
............3分
(1) 证：，
............4分
∵，平面，∴平面.
............5分
(2) 证：∵，
............6分
∴，∴.
............8分
∴平面，又平面，
∴平面平面.
............10分
(3) 解：设平面的法向量为，由可得：
............12分
又，设和平面所成的角为，则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.
............14分
29、(2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图5，已知等腰直角三角形，其中∠=90o，．
点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，
使⊥，连结、．
（1）求证：⊥；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
解：（1）∵点A、D分别是、的中点，
...... 2分
∴∠=90o.
∴.
∴ ,
∵,
∴⊥平面.
...... 4分
∵平面,
∴.
...... 6分
（2）法1：取的中点，连结、．
∵,
∴.
∵,
∴平面.
∵平面,
∴.
...... 8分
∵
∴平面.
∵平面,
∴.
∴∠是二面角的平面角.
......10分
在Rt△中, ，
在Rt△中, ，
.
......12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是.
......14分
法2：建立如图所示的空间直角坐标系．
则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,
......8分
设平面的法向量为=（x，y，z），则：
，
......10分
令，得，
∴=（1，1，－1）.
显然，是平面的一个法向量，=（）．
......12分
∴cos=．
∴二面角的平面角的余弦值是.
......14分
30、(广西桂林十八中06级高三第二次月考)如图，在直三棱柱中，平面侧面
（1）求证：
（2）若，直线与平面所成的角为，
二面角的大小为，求的值.
解：(1)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，...................2分
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC......................................................4分
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
.......................................................6分
(2)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=....................8(分
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,..................10分
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝，故θ＋＝.........12分
31、(河南省实验中学学年高三第一次月考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴BC⊥侧面PAB...（2分）
又∵BC侧面PBC，∴侧面PAB⊥侧面PBC..................... （4分）
（2）解：取AB中点E，连结PE、CE
又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.............................................（6分）
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求................................................（8分）
（3）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB，∴AB⊥平面PEF
又∵AB//CD，∴CD⊥平面PEF，∴平面PCD⊥平面PEF.....................（10分）
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求.................................... （12分）
32、(广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°,再在的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°．
（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离.
解：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形
...１分
取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．
.........4分
（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角
........................５分
作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．
............6分
可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=...7分∴cos∠PEQ＝
.........9分
（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则
∴．
∴ ． ∴ ．
..............................14分
33、(广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知四棱锥（如图）底面是边长为2的正方形.侧棱底面，、分别为、的中点，于。
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）直线与平面所成角的正弦值为，求PA的长；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。
解（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD
∴MN⊥PA
且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
..................3分
MN平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
............4分
（Ⅱ）∵BC⊥BA
∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
即............7分
在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=
∴
..................10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知
MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角
............12分
而
∴
............14分
34、如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱锥C-BGF的体积。
解：（1）证明：∵平面，，
∴平面，则
----------------2分
又平面，则
平面
----------------4分
（2）由题意可得是的中点，连接
平面，则，
而，是中点
---------6分
在中，，平面
--8分
（3）平面，，
而平面，平面
是中点，是中点，
且，
---------9分
平面，，
中，，
---------10分
---------11分
---------12分
35、(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空间直角坐标系如图，则, ．
由M为PB中点，∴．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．
∴PA⊥平面DMC．
（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，
则，从而x+z=0；
，从而． ......②
由①、②，取x=?1，则．
∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值为－．
36、(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)如图，长方体中，,点在上且,过点 的平面截长方体，截面为（在上）.
(1)求的长度；
（2）求点C到截面的距离.
解：（1）以D为坐标原点，DA为x轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量,可得,故;
(2)可求为平面的一个法向量，又,故点C到平面的距离为
37、(四川省万源市第三中学高2009级测试)如图，平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900, ∠BDC=600,BC=6,AB=AC．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（Ⅲ）设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。
（Ⅰ）证明
∵平面ACB⊥平面BCD，∠CBD=900，
∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA．又∠CAB=900，∴CA⊥平面ADB
∴平面ACB⊥平面BCD． ----------4分
（Ⅱ）解 设BC的中点为E，作EF⊥CD，垂足为F，连结AF。
∵AC=AB，∴AE⊥BC，∵平面ACB⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD,
∴FE是AF在平面BCD内的射影，
∴AF⊥CD,
即∠AFE就是二面角A-CD-B的平面角。
-------6分
在等腰直角△ABC中，斜边BC=6, ∴AE=3，且CE=3,
在Rt△CEF中，∠ECF=300, ∴EF=,
∴tan∠AFE=，即二面角A-CD-B的平面角的正切值是2． -------8分
（Ⅲ）解 如图，设DC的中点为G，分别以直线EG．EB．EA为x．y．z轴，建立空间直角坐标系E-xyz．
∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(,3,0)
,，
设过AD和BC平行的平面的一个法向量是n=（a,b,c），则有
且，即
且3b=0,取得n=，
∴点B到的距离d=。 -------12分
38、(天津市汉沽一中学年度第五次月考)如图，三棱锥P-ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小．
解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，
∴PCAB．..............................2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．..............................4分
又，
∴AB平面PCB．
..............................5分
(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则为异面直线PA与BC所成的角．.........6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=，PF=，
在中，
tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为．.......................................9分
（III）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得
DE PA．
∴为二面角C-PA-B的平面角．.......................................11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在中，PB=，
在中， sin∠CED=．
∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．......14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，．
.....................7分
则+0+0=2．
∴异面直线AP与BC所成的角为．...........................10分
（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．
，，
则
即
解得
得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=()．
，，
则
即
解得
得 n= (1，1，0)．.................................12分
∴二面角C-PA-B的大小为arccos．....................................14分
39、(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)如图,已知正三棱柱中,,,点、、分别在棱、、上,且．
（Ⅰ）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
解：（Ⅰ）延长、相交于点,连结,则二面角的大小为所求．作于点,连结,由三垂线定理知．∴为所求二面角的大小．由已知,,．由余弦定理得,．
∴,可得．在中,,则所求角为．...6分（也可用射影法求）
（Ⅱ）由已知矩形的面积为,,,,
∴．由，，
可得．设所求距离为,则由得,
,∴即为所求．......12分（用空间向量相应给分）
40、(四川省成都七中2009届高三零诊模拟考试)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(1)求证：EF∥平面SAD;
(2)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小.
解一:(1)作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连结AG,，又，故,AEFG为平行四边形．
EF∥AG，又AG?面SAD,EF?面SAD.所以EF∥面SAD.
(2)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,?ADG为等腰直角三角形．
取AG中点H，连结DH，则DH?AG.
又AB?平面SAD，所以AB^DH,而AB∩AG=A,所以DH^面AEF．
取EF中点M，连结MH，则HM^EF.
连结DM，则DM^EF.
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角,tan∠DMH===.
所以二面角A-EF-D的大小为．
解二：(1)如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(0,,),=(-a,0,).
取SD的中点G(0,0,),则=(-a,0,).
=,所以EF∥AG，又AG?面SAD,EF?面SAD.所以EF∥面SAD.
(2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C0,1,0),S(0,0,2),E(1,,0),F(0,,1).
EF中点M(,,),=(-,-,-)=(-1,0,1),·=0,MD^EF
又=(0,-,0), ·=0,EA^EF,所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角,又cos==.
所以二面角A-EF-D的大小为arccos．
6分
三、解答题(第二部分)
41、(四川省成都市新都一中高2009级数学理科12月考试题)如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为的中点，
，．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，
连结，由（Ⅰ）得平面．
，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立
空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．
，．二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．
点到平面的距离
42、(枣庄市·理科)如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F
是CD的中点。
（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
(解)（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP=
又AB//DE，且AB=
∴AB//FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。............2分
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，
∴AF//平面BCE。 ............4分
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。 ............6分
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE。 ............8分
（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F-xyz.设AC=2，
则C（0，-1，0），..................9分
......10分
显然，为平面ACD的法向量。
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。............12分
43、(烟台·理科)四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E为PA中点，过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F，G，H，已知底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，∠BCD=135°
（1）求异面直线AF，BG所成的角的大小；
（2）设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ.
(解)由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，
可建立空间直角坐标系A-xyz，由平面几
何知识知：AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
F（1，0，1），G（1，1，1）............2分
（1）
............4分
（2）可证明AD⊥平面APB，∴平面APB的法向量为
设平面CPD的法向量为
............10分
............12分
44、(临沂一中·理科)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设，
求k的值.
(解)
（Ⅰ）证明： ............................2分
PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ...................................................3分
. .............................................5分
∴ CD⊥平面BEF. ..............................................................................6分
（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,
由E是PC中点,得EH∥PA,
PA⊥平面ABCD.
得EH⊥平面ABCD，且EH.................................................8分
作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.
故∠EMH为二面角E-BD-F的平面角，故∠EMH=600.........................10分
∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
故.
在Rt△EHM中，
得 ...............................................................12分
解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，
建立如图空间直角坐标系.
则，，
设PA = k,则,
,................................................................2分
得...............................4分
有..................6分
(Ⅱ)...7分
设平面BDE的一个法向量，
则
取...............10分
.............................................11分
得 .....................12分
45、(临沂高新区·理科)如图，在五面体，ABCDF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF＝．
（1）证明EO∥平面ABF；
（2）问为何值是，有OF⊥ABE，试证明你的结论．
(解)（1）证明：取AB中点M，连结OM．
2分
在矩形ABCD中，OM＝，
又EF＝，则EF＝OM，
连结FM，于是四边形EFMO为平行四边形．∴OE∥FM．
4分
又∵EO平面ABF，FM平面ABF，∴EO∥平面ABF．
6分
（2）解：∵OF⊥平面ABE，连结EM．
∵EM平面ABE．∴OF⊥EM，又四边形OEFM为平行四边形．
∴□OEFM为菱形．
8分
∴OM＝MF，设OM＝a，则BC＝2a．
在正△ABF中，MF＝a，∴a＝，∴．
10分
∴CD＝，∴
综上可知，当时，有OF⊥平面ABE．
12分
46、(苍山县·理科)已知，为上的点.
（2）当二面角--的大小为的值.
(解)（1）当时.............2分
作∥交于，连.
由⊥面，知⊥面.............3分
当为中点时，为中点.
∵△为正三角形，
∴⊥，∴............5分
∴⊥............6分
（2）过作⊥于，连结，则⊥，
∴∠为二面角P-AC-B的平面角，，
............8分
............10分
......12分
47、(郓城实验中学·理科)如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F
为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
(解)19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.
∵二面角D-AB-E为直二面角，且， 平面ABE.
（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直
线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行
于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系
O-xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B-AC-E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
48、(苍山诚信中学·理科)如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正
三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。
（I）求异面直线PA与DE所成的角；
（II）求点D到面PAB的距离.
(解)（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角........................3分
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.
在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，
∴异面直线PA与DE的夹角为........................6分
（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.
∴D到面PAB的距离等于点M到
面PAB的距离.......7分
过M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
则MH就是点D到面PAB的距离.......10分
在
..................12分
解法二：如图取DC的中点O，连PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.
如图建立空间直角坐标系
则
.....................................3分
（1）E为PC中点，
，
，
∴异面直线PA与DE所成的角为........................6分
（2）可求，
设面PAB的一个法向量为，
. ②
由②得y=0，代入①得
令..............................9分
则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值
即点D到面PAB的距离等于....................................12分
49、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．
解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
∴，
在正方体中，有
， ∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又、分别是、的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故．
∴四边形是平行四边形．
又≌，
∴，
故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，
∴．
在正方体中，有
，
∴平面．
又平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
故平面平面
50、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)如图，直角梯形ABCE中，，D是CE的中点，点M和点N在ADE绕AD向上翻折的过程中，分别以的速度，同时从点A和点B沿AE和BD各自匀速行进，t 为行进时间，0。
（1） 求直线AE与平面CDE所成的角；
（2） 求证：MN//平面CDE。
解：（1）因，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直线AE与平面CDE所成的角为450....................................4分（2）解法一：如图，取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系A-xyz.
则 .........5分
得............9分
由，得，而是平面CDE的一个法向量，且平面CDE，
所以MN//平面CDE....................................................................................14分
解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为，点N到平面CDE的距离为，则，同理
所以，故MN//平面CDE.....................................................................14分
解法三：如图，过M作MQ//AD交ED于点Q，
过N作NP//AD交CD于点P，
连接MN和PQ.......................................5分
设⊿ADE向上翻折的时间为t，则，..................7分
因，点D是CE的中点，得，四边形ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形. ........................10分
在Rt⊿EMQ和Rt⊿DNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以Rt⊿EMQ≌Rt⊿DNP，
所以MQ//NP且MQ=NP，的四边形MNPQ为平行四边形，所以MN//PQ，因平面CDE，
平面CDE，所以MN//平面CDE............................................................14分
51、(重庆奉节长龙中学2009年高考数学预测卷二)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
（1）求证：；（2）求二面角的大小；
（3）求证：平面平面PAB.
方法一：（I）证明：，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，平面ABCD ......2分
在梯形ABCD中，可得
在平面ABCD内的射影为AO， ......4分
（II）解：，且平面平面ABCD
为二面角P-DC-B的平面角
是等边三角形即二面角P-DC-B的大小为 ...8分
（III）证明：取PB的中点N，连结CN， ①
，且平面平面ABCD，平面PBC ......10分
平面平面PAB
由①、②知平面PAB..............10分
连结DM、MN，则由MN//AB//CD，，
得四边形MNCD为平行四边形，，平面PAB．
平面PAD
平面平面PAB ...................12分
方法二：取BC的中点O，因为是等边三角形，
由侧面底面ABCD
得底面ABCD ......1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz......2分
（I）证明：，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，......3分
，即...4分
（II）解：取PC中点N，则
平面PDC，显然，且平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ......6分
，二面角的大小为 ......8分
（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
......10分
，
即
平面PAB，平面平面PAB ......12分
评析：本题考察的空间中的线线关系、面面关系以及二面角的求法关系是立体几何中的最主要关系，熟悉它们的判定和性质是高考复习的重点，本题重在考查学生的运算能力、空间想象能力．
52、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
（1）正方形ABCD是四棱锥P-ABCD的底面, 其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P-ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
53、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1-AC-B的平面角.
（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA
∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA
∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE
∴DE⊥AB1
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=
∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1-AC-B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴，
, ∴.
54、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图a-l-是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I） 求三棱锥D-ABC的体积；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.
(1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
为二面角a-l-的平面角..
是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO
为二面角D-AC-B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.
为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctg
55、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图②
设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
56、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
P-ABC所成两部分的体积比．
(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P-ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
57、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B-FC-G的正切值.
证：(1)∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB
又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.
58、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.
（1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
∴PP1QQ1 .?
由四边形PQQ1P1为平行四边形,
知PQ∥P1Q1? ?
而P1Q1平面CDD1C1，
所以PQ∥平面CDD1C1?
（2）AD⊥平面D1DCC1，
∴AD⊥P1Q1，?
又∵PQ∥P1Q1，
∴AD⊥PQ.?
（3）由（1）知P1Q1 PQ,
，而棱长CD=1.
同理可求得 P1D=.
在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得
P1Q1=.?
59、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图4，在长方体中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面
的距离；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，
，。
（Ⅰ）证明：由，，
，有，于是。
（Ⅱ）E是AB的中点，得。
，，。
设平面的法向量为，单位法向量为，
由，解得。
于是，有。
设点E到平面的距离为，则
。
所以点E到平面的距离为。
（Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。
又，。
由，得
，解得，于是。
设所求的二面角为，则。
有，得。
解得，
所以，当AE=时，二面角的大小为。
60、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1-DE-B1的大小。
（1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1，
DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1
（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC-A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1-DE-B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。
61、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图：已知直三棱柱ABC-A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论
（I）连结DF，DC ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C
3＇
∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，
在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，
＝B1F2＋＝5a2， ∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1
FC1⊥EF
（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，
∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上
故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。
62、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离。
解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE
∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD
∵∠PEA是二面角P-CD-A的平面角
在中，∴二面角P-CD-A的正切值为
（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB
∴AH⊥平面PBC
故AH的长即为点A到平面PBC的距离
在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为
63、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），
设G（0，2，h），则
∴－1×0+1×（－2）+2h=0.
∴h=1，即G是AA1的中点.
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则
所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵
∴， 即AC1与平面EFG所成角为
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.
又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.
∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.
又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.
连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点.
（Ⅱ）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，
∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，
C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，
∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.
因为
64、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，
点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
（1）证明：连接BD.
为等边三角形.
是AB中点，
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED.
面PAB，面PAB.
（2）解：平面PED，PE面PED，
连接EF，PED，
为二面角P-AB-F的平面角.
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为
65、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
解（1）
（2）略
（3）
66、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
(I)证明 平面；
(II)证明平面EFD；
(III)求二面角的大小。
(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
在中，EO是中位线，。
而平面EDB且平面EDB，
所以，平面EDB。
(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
① 同样由底面ABCD，得
底面ABCD是正方形，有平面PDC
而平面PDC， ② ....................................6分
由①和②推得平面PBC 而平面PBC，
又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则
在中，
在中，
所以，二面角
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得
底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且
。这表明。
而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(II)证明：依题意得。又故
由已知，且所以平面EFD。
(III)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即
解得 。
点F的坐标为且
即，故是二面角的平面角。
67、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱
CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）.
本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.
解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.............6分
（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是
C1H在底面ABCD内的射影.
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，
∴tan∠C1HC=.
∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.
故二面角C1-EF-A的大小为.
解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）
（1）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角.
68、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是
梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线
AD1的距离为
⑴求证：AC∥平面BPQ
⑵求二面角B-PQ-D的大小
⑴连接CD1 ∵P、Q分别是CC1、C1D1的
中点。∴CD1∥PQ
故CD1∥平面BPQ
又D1Q=AB=1，D1Q∥AB，
得平行四边形ABQD1，故AD1∥平面BPQ
∴平面ACD1∥平面BPQ
∴AC∥平面BPQ
（4分）
⑵设DD1中点为E，连EF，则PE∥CD
∵CD⊥AD，CD⊥DD1
∴CD⊥平面ADD1
∴PE⊥平面ADD1
过E作EF⊥AD1于F，连PF。则PF⊥AD1，PF为点P到直线AD1的距离
PF=，PE=2
又D1E=，D1D=1，∴AD=1
取CD中点G，连BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD1∴AD⊥平面DCC1D1，则BG⊥平面DCC1D1
过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。
由△GHQ∽△QC1P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=
∴二面角B-PQ-D大小为arctan
69、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；
解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D1（0，0，0）、O1（2，2，0）
B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。
=（-4，4，-4），=（0，4，4），
=（-4，0，4）
=0+16-16=0，=16+0-16=0
∴AF⊥平面FD1B1.
证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC1上的射影，易证得BF⊥B1F，
DF是AF在面DC1上的射影，也易证得DF⊥D1F，所
以AF⊥平面FD1B1.
（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）
设与的夹角为，则
=......
解法二：在B1C1上取点H，使B1H=1，连O1H和FH。
易证明O1H∥EB，则∠FO1H为异面直线EB与F所成角。
又O1H=BE=，HF==5，
O1F==2，
∴在△O1HF中，由余弦定理，得
cos∠FO1H==
70、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M-NQ-P的大小。
解：（1）如图②，作出MN、PQ
∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°
即四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M-NQ-P的平面角
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a
∴∠MEO＝60°
即二面角M-NQ-P的大小为60°。
71、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°
即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC
故取PB中点G，PC中点F
则AG⊥PB，GF∥BC
又BC⊥PB，∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE
连结GE，易证AE⊥平面POB
（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA
72、浙江省金华十校学年高三第一学期期末考试）
如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，
（I）求多面体ABCDS的体积；
（II）求AD与SB所成角的余弦值。
（III）求二面角A-SB-D的余弦值。
解：（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S-ABCD的体积。
所以............4分
（II）由题可知DA、DA、DC两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系
AD与SB所成的角的余弦为............9分
（III）设面SBD的一个法向量为
设面SAB的一个法向量为
............11分
所以所求的二面角的余弦为............14分
解法二：（I）同解法一
（II）矩形ABCD，
AD∥＝BC，即BC=a，
要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角。............6分
在中，由（1）知面ABCD。
CD是CS在面ABCD内的射影，且
BC与SB所成的角的余弦为
从而SB与AD的成的角的余弦为............9分
BD为面SDB与面ABCD的交线。
于F，连接EF
为二面角A-SB-D的平面角............11分
在矩形ABCD中，对角线
由（2）知在
为等腰直角三角形且
所以所求的二面角的余弦为............14分
72、温州中学高三2008学年第一学期期末考试）
如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
73、(台州市2008学年第一学期高三年级期末质量评估试题）
如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，为的中点.
（1）证明://平面；
（2）在棱上是否存在点，使三棱锥的
体积为？并说明理由.
(1)证明：连接,交于点，连接,得∥，
平面,平面, //平面.
..................7分
(2)
侧棱⊥底面, ⊥,过作⊥=,则∥.
,, ......12分
在棱上存在点使三棱锥的体积为，且是线段的三等分点.............14分
74、（台州市2008学年第一学期高三年级期末质量评估试题）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（1）证明PA//平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？
证明你的结论.
解（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），............2分
B（2，2，0）
设 是平面BDE的一个法向量，
则由
..................4分
∵
............5分
（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.
..................7分
设二面角B-DE-C的平面角为，由图可知
∴
故二面角B-DE-C的余弦值为
..................10分
（3）∵
∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由 ..................13分
∴
..................14分
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF
..................15分
用几何法证明酌情给分
75、（宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学）
在棱长为的正方体中，为棱的中点.
(Ⅰ)求证：平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.
(Ⅰ)（略证）：只需证即可。
(Ⅱ)连接，由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影，则即为与平面所成角. ...... 10分
在中，，
则
所以与平面所成角的余弦值为.
...... 14分
76、(浙江省嘉兴市高中学科基础测试）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，
M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅱ）求直线AD与PB所成角；
（Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．
【解】
（I）取PB的中点F，联结MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点．
∴MF∥AB，且MF=AB．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．
∴四边形CDFM是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF平面PCB，
∴DM∥平面PCB．
4分
（Ⅱ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．
∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．
8分
（Ⅲ）VP-MBD=VB-PMD
10分
VB-PMD =××××=
14分
77、(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题）已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长
为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点。
（Ⅰ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅱ）求点C到平面PDB的距离；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．
证明：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE
............1分
连结AC，由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC .........3分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
..................5分
解：（Ⅱ）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
..................7分
设点C到平面PDB的距离为d，
，
---------------------------10分
(Ⅲ) 解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴≌
∴ED=EB, ∵AD=AB
∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角 .................. 12分
∵BC⊥DE,
在Rｔ△ADE中，==BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=
..................15分
解法２：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则,从而..................
11分
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由法向量的性质可得：，
令，则，
∴
.........13分
设二面角D－AE－B的平面角为，则
∴
.......................................
15分
78、（宁波市2008学年度第一学期高三期末数) 在棱长为的正方体中，为棱的中点.
(Ⅰ)求证：平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.
解：(Ⅰ)（略证）：只需证即可。
(Ⅱ)连接，由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影，则即为与平面所成角. ...... 10分
在中，，
则
所以与平面所成角的余弦值为.
...... 14分
79、（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将沿AE折起，使平面平面ABCE，得到几何体.
（1）求证：平面；（2）求BD和平面所成的角的正弦值.
证明：（1）过D作于H.由平面平面得，平面，所以，由题意可得，因此平面.、
（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，再过B作于G，连结DG，CH，BH可得平面；所以为BD和平面CDE所成的角.在中，中，可得，又，因此
.由题意得，因此，BD和平面所成的角的正弦值为.
80、（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）(本小题满分14分) 在棱长为的正方体中，为棱的中点.
(Ⅰ)求证：平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.
解：(Ⅰ)（略证）：只需证即可。
(Ⅱ)连接，由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影，则即为与平面所成角. ...... 10分
在中，，
则
所以与平面所成角的余弦值为.
...... 14分
81、
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