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高中数学平面向量知识点归纳
　　知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设 ，则 + = =
（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法：
① 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量
②向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ； （Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 =
6、平面向量的基本定
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高中数学平面向量讲义
高中数学平面向量讲义
一. 基本知识
【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念：
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
（2）向量的加法：设AB a,BC b，则a+b=AB BC=AC
①0 a a 0 a；②向量加法满足交换律与结合律；
PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”．
（3）向量的减法：
① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
③作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
a； （Ⅱ）当
0时，λa的方向与a的方向相同；当
a的方向与a的方向相反；当
0时， a 0，方向是任意的
（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b= a
（6）平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1, 2使：a
2e2，其中不共线的向量e1,e2叫
【2】平面向量的坐标表示
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高一数学平面向量复习
平面向量复习课　　　　　　　　　　中山市实验高中高三数学备课组一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。二．知识梳理　1．向量的概念：　　向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。　2．向量的基本运算（1） 向量的加减运算　　几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。　　坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 )
a-b=(x1-x2,y1-y2)　(2) 平面向量的数量积 ：
ab=cos　　　设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2　（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ　　若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ x1y2-x2y1=0　3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ ? =0　　设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是
）单位向量都相等
任一向量与它的相反向量不相等平行向量不一定是共线向量
模为的向量与任意向量共线2. 已知正六边形中，若， ，则（
）　　3. 已知向量，=2若向量与共线，则下列关系一定成立是
∥或4. 若向量，共线且方向相同，=__________。（二）．典例分析例1：（1）设与为非零向量，下列命题：①若与平行，则与向量的方向相同或相反；②若与共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；　③若与共线，则；④若与反向，则　其中正确命题的个数有（A）1个
（D）4个（2）下列结论正确的是
（B） （C）若（D）若与都是非零向量，则的充要条件为错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。　　第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（与共线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量作伸缩变换成为另一个向量所作的伸缩量；若，为非零向量，则共线的与满足与同向时，与反向时。第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例2
设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb
CD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb∴
梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a
用a，b来标DC、BC、MN。解：DC= AB=aBC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- aMN=DN-DM=a-b-a= a-b例4
b=(3,-4)且a∥b求a解：设a=(x,y)则
（1）由a∥b得
（2）解（1）（2）得
a=(6,-8)或(-6,8)四． 归纳小结1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。五．作业：1、下列命题正确的是（
）A．若，则
B．若，则或C．若，则
D．若，则2、已知平行四边形ABCD的三个顶点、、，则顶点D的坐标为（
D．3、设，与反向的单位向量是，则用表示为　　A．
D．4、D、E、F分别为的边BC、CA、AB上的中点，且，，下列命题中正确命题的个数是（
）①；②；③；④。A．1个
D．4个5、化简：=__________。6、已知向量，且，则的坐标_____________。7、若，则的夹角为______________。8、已知向量求
（1）的值；
（2）与的夹角。9、如果向量与，的夹角都是，而，且，求的值。10、如图，设为内一点，∥，且， ，，，试用，，表示．答案基础知识训练：D，C，D，达标练习： D，B，B，D，
6，（，-），（-，）7，0，
8，(1)ab=10,
(2) =arccos9,-1
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轻松搞定高中数学：平面向量
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作　者：， 著
ISBN：4出版时间：页数：80
包装：平装开本：16开字数：
《轻松搞定高中数学：平面向量》简介：　　《轻松搞定高中数学：平面向量》倒数第一的学生考上了北大、他让准备放弃高考的学生成为理科状元、他的一个班有37人被北大、清华录取、另有10人被牛津、剑桥、耶鲁等世界名校录取、高考前猜了6道题，他让学生高考数学得到147分、他考前辅导学生2小时。能让学生至少提高20分。
《轻松搞定高中数学：平面向量》作者简介：　　王金战，中国人民大学附属中学数学教师、全国优秀教师、中科院在读博士、国家“十一五”重点课题《素质教育中的家长作用研究》课题组组长、美中英才教育联盟理事长、宽高教育董事长。他从教29年、曾任班主任、教导主任、校长等职，积累了丰富的教学管理经验。2003年他所带的55名学生的一个班，37人进了清华、北大，10了英国的剑桥大学、牛津大学以及美国的耶鲁大学等名校。2006年他把独生女儿送进了北京大学，可谓成功的家长。他被评选为“中国教育界领军人物”、“全国十大名牌教师”、“中国十大名师”。其教育类专著《英才是怎样造就的》、《中国英才家庭造》、《学习哪有那么难》、《好孩子是怎样培养的》、《考前30天必做60题》、《数学是怎样学好的》等书一直排在教育类畅销图书的前列。他做客中央电视台《子午书简》、《实话实说》、《新闻频道》、《师说》、《辉煌中国60年教育盛典》及凤凰卫视《鲁豫有约》，传播他独到的教育理念和教学经典，受到国内主流报刊的报道。他在全国各地作了几百场报告，场场爆满，他的精彩演讲令成千上万的家长、学生和教师为之感动，为之顿悟。他被誉为当今教育名人、出色的激励大师、孩子成才的设计师。
《轻松搞定高中数学：平面向量》目录：平面向量第1课时　向量的概念与向量的线性运算第2课时　平面向量基本定理第3课时　向量正交分解与向量的直角坐标运算第4课时　向量数乘运算及其几何意义第5课时　向量数量积运算以及运算律（一）第6课时　向量数量积运算以及运算律（二）第7课时　向量数量积坐标运算第8课时　向量的投影与夹角第9课时　向量的模第10课时　向量的平行和垂直第11课时　定比分点第12课时　平移第13课时　向量与三角函数（一）第14课时　向量与三角函数（二）第15课时　向量与三角函数（三）第16课时　向量与几何（一）第17课时　向量与几何（二）第18课时　向量与解析几何第19课时　向量结台其他问题（一）第20课时　向量结台其他问题（二）检测题
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