1已知函数y=x^2-4x+6,（1）若y在区间[m,m+1]上单调递减,求实数m的取值范围（2）若y在区间[a,b](a《b)上的小值为a,最大值为b,求a,b的值2 已知f(x)=x^2绝对值（x-a)为定义在R上的偶函数,a为实常数（1）求a的值（2）若已知g(x)_百度作业帮 1已知函数y=x^2-4x+6,（1）若y在区间[m,m+1]上单调递减,求实数m的取值范围（2）若y在区间[a,b](a《b)上的小值为a,最大值为b,求a,b的值2 已知f(x)=x^2绝对值（x-a)为定义在R上的偶函数,a为实常数（1）求a的值（2）若已知g(x)为定义在R上的奇函数,判断并证明函数y=f(x)*g(x)的奇偶性3 已知函数f(x)=x^2-(a+2)x+a+1,则函数g(x)=(11/8)x-(a^2/4)-3/2,称方程f(x)=x的根为函数f(x)的不动点（1）若f(x)在区间[0,3]上有两个不动点,求实数a的取值范围（2）记区间D=[1,a](a>1),函数f(x)在D上的值域为集合A,函数g(x)在D上的值域为集合B,已知A属于B,求a的取值范围本人很笨，理解能力不好， 1先算对称轴,为x=2,y在区间[m,m+1]上单调递减所以m+1小于等于2,m小于等于12f(-x)=x^2绝对值（-x-a)=x^2绝对值（x-a)所以a=0f(-x)*g(-x)=-g(x)*f(x）,所以y是奇函数3令F（x）=x^2-(a+2)x+a+1-x即F（x）=x^2-(a+3)x+a+1在[0,3]上有两个根,所以F（0）>=0F（3）>=0,即-1 我只做了第一题。。。因为f(x)在[m,m+1]上单减所以f(m)>f(m+1)推出m>-3/2不知道对不对的。。。高中数学错题分析第1-3章修改稿_百度文库 两大类热门资源免费畅读 续费一年阅读会员，立省24元！ 评价文档： 喜欢此文档的还喜欢 高中数学错题分析第1-3章修改稿 阅读已结束，如果下载本文需要使用 想免费下载本文？ 把文档贴到Blog、BBS或个人站等： 普通尺寸(450*500pix) 较大尺寸(630*500pix) 你可能喜欢 20080份文档第三节函数、方程及其应用 三年高考荟萃第一部分2010 年高考题一、选择题 1.（2010 上海文）17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解，则 x0 属于区间 （A） （0，1）. 答案 D （B） （1，1.25）. （C） （1.25，1.75） （D） （1.75，2） （ ）
【解析】 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg7 47 1 ? ?0 4 4f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间（1.75，2）2.（2010 湖南文）3. 某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关，则其回归方程可 能是 A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200^ ^B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200^^答案 A 3.（2010 陕西文）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么， 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x ．．． 之间的函数关系用取整函数 y＝[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（A）y＝[x ] 10（B）y＝[x?3 ] 10（C）y＝[x?4 ] 10（D）y＝[x?5 ] 10答案 B 解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B 法二：设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) ， 0 ? ? ? 6时, ?? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10?， ? 10 ? ? ? ? ?? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10? ? 1 ，所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?3.（2010 浙江文） （9）已知 x 是函数 f(x)=2x+ ，则 x 2 ∈（ x 0 ，+ ? ） （A）f( x1 )＜0，f( x 2 )＜0 （C）f( x1 )＞0，f( x 2 )＜0 （B）f( x1 )＜0，f( x 2 )＞0 （D）f( x1 )＞0，f( x 2 )＞01 的一个零点.若 x1 ∈（1， x 0 ） ， 1? x1解析：选 B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题 4.（2010 山东文） （11）函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是答案 A 5.（2010 山东文） （8）已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万件） 的函数关系式为 y ? ? （A）13 万件 (C) 9 万件 答案 C1 3 x ? 81x ? 234 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3(B)11 万件 (D)7 万件6. 2010 山东文） （ （5） f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数， x ? 0 时， f ( x) ? 2x ? 2 x ? b（ b 设 当 为常数） ，则 f (?1) ? （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 答案 A 7.（2010 四川理） （4）函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称的充要条件是 （A） m ? ?2 （B） m ? 2 （C） m ? ?1 （D） m ? 1 解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴为 x＝－ 于是－ 答案 A 8.（2010 四川理） （2）下列四个图像所表示的函数，在点 x ? 0 处连续的是m 2m ＝1 ? m＝－2 2（A） （B） 解析：由图象及函数连续的性质知，D 正确. 答案 D（C）（D）29.（2010 天津文） （10）设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) ，x x g( f ( x) ? {g ( x)?x,?x4,g?x). x), 则 g ( x )? ? (f ( x) 的值域是（A） ? ?9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) （B） [0, ??) （C） [? , ??) （D） ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?【答案】D 【解析】 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法， 属于难 题。 依 题 意 知? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? f ( x) ? 2 2 ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ?，? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2 ?10. （ 2010x天 津 文 ）（ 4 ） 函 数f （ x ）= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为 f（0）=-1&0 f(1)=e-1&0,所以零点在区间（0，1）上，选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。11.（2010 天津理） （8）若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)&f(-a),则实数 a 的取值范 1?log 2 x, x ? 0, ? ? ?2围是 （A） （-1，0）∪（0，1） （C） （-1，0）∪（1,+∞） 【答案】C 【解析】 本题主要考查函数的对数的单调性、 对数的基本运算及分类讨论思想， 属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。 （B） （-∞，-1）∪（1,+∞） （D） （-∞，-1）∪（0,1）?a ? 0 ?a&0 ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?3?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ?a ? 2 ? a ? a ? ?【温馨提示】 分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解， 解对数不等式既要注意真数大 于 0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。 12.（2010 天津理） （2）函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是x(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由 f (?1) ?1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间（-1，0）上。 2【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 13.（2010 福建文）7．函数 （x)= ? f A．3 【答案】B 【解析】当 x ? 0 时，令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ；2? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x&0D．0的零点个数为 ()B．2C．1当 x ? 0 时，令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ，所以已知函数有两个零点，选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 14.（2010 湖北文）3.已知函数 f ( x) ? ??log3 x, x ? 0x ?2 , x ? 0，则 f ( f ( )) ?1 9A.4 【答案】BB.1 4C.-4D-1 41 1 1 1 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ，则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? ， 9 9 9 4所以 B 正确. 二、填空题 1. 2010 上海文） （ 14.将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、2 : nx ? y ? n ? 0 、3 : x ? ny ? n ? 0 n ? N ， （ l l*n ? 2 ）围成的三角形面积记为 Sn ，则 lim S n ?n ??。【答案】1 24【解析】B (n n , ) 所以 BO⊥AC， n ?1 n ?11 n 2 n ?1 Sn = ? 2 ? ( 2? )? 2 n ?1 2 2(n ? 1)所以 lim S n ?n ??1 22.（2010 湖南文）10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间，若用 0.618 法安排 试验，则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8 或 148.2 【解析】根据 0.618 法，第一次试点加入量为 110＋（210－110） ? 0.618＝171.8 或 210－（210－110） ? 0.618＝148.2【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法，属容易题。 3. （2010 陕西文） 13.已知函数 f x） ? （ ＝, 1 , ?3x ?2 x ?2 , ? x ? ax, x ?1若f f （ （0） ＝4a， ） 则实数 a＝.答案 2 【解析】f（0）=2，f（f（0） ）=f(2)=4+2a=4a，所以 a=2 4.（2010 重庆理） （15）已知函数 f ? x ? 满足： f ?1? ?1 ， 44 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ，则 f ? 2010? =_____________.解析：取 x=1 y=0 得 f (0) ?1 2法一：通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ，寻得周期为 6 法二：取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= ―f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)= 5.（2010 天津文） （16）设函数 f(x)=x-1 21 ,对任意 x ?[1, ??），f(mx)+mf(x)&0 恒成立， x则实数 m 的取值范围是________ 【答案】m&-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。 已知 f（x）为增函数且 m≠0 若 m&0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x）均为增函数，此时不符合题意。1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2mx ? (m ? ) ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 x 2 因为 y ? 2x2 mx x m x m 1 2 在 x ? [1, ??) 上的最小值为 2，所以 1+ 2 ? 2 即 m &1,解得 m&-1. mM&0，时有 mx ? 【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题， 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为5最值的方法求解。 6.（2010 浙江文） （16） 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售 额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月 份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元， 则，x 的最小值 。 答案 20 7. （ 2010 天 津 理 数 ）（ 16 ） 设 函 数 f ( x) ? x2 ?1 ， 对 任 意 x ? ? , ?? ? ，?2 ?3? ??x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ?m?【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依据题意得.3 x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立，即 2 2 m1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x ? 时函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? ，所以 2 ? 4m ? ? ，即 2 x x 3 m 3(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ，解得 m ? ?3 3 或m ? 2 2【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题， 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 8.（2010 广东文数）6? 2 9.（2010 江苏卷）11、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x x?0 ?1,的范围是_____。2 ? 【解析】 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x ? 2 x ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2?1 ? x ? 0 ?三、解答题 1.（2010 福建文）21．(本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于 港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处， 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与 轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在 ? ，使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇？若存在，试确定 ? 的取值范围；若不存在，请说明理由。782.（2010 湖北文）19.（本小题满分 12 分） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m ） ，其中有部分旧住房需要拆 除。 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房， 同事也拆除面积为 b （单 位：m ）的旧住房。 （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆 除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.1 =1.6）5 2 292009 年高考题1.（2009 福建卷文）若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过x0.25， 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1xB. f ? x ? ? ( x ?1)2D. f ? x ? ? In ? x ?? ?1? ? 2?答案 A 解析1 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的零 4点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 点 ， 因 为 g(0)= -1,g(? ?3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零 2?1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合，故选 A。 2.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a -x-a(a&0 且 a ? 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围x是.10答案 解析{a | a ? 1}设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a&0 且 a ? 1)x有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? ax ( a ? 1) 的图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比， 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 的中点时， 对城 A 和城 B 的总影响厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在， 求出该点到城 A 的距离;若不存在， 说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?2 24 k ? (0 ? x ? 20) C 2 x 400 ? x 2x A B其中当 x ? 10 2 时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? （2） y ?4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 24 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , y' ? ? 3 ? ,令 y ' ? 0 得 ? x 2 400 ? x 2 x (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )218x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,所以 x 2 ? 160 ,即 x ? 4 10 ,当 0 ? x ? 4 10 时,1118x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 解法二: （1）同上. （2）设 m ? x2 , n ? 400 ? x2 , 则 m ? n ? 400 , y ?4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 24 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当且仅当 m n m n 400 400 m n 400 164 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160下面证明函数 y ?4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m设 0&m1&m2&160,则 y1 ? y2 ?4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2?(4 ( 2 ? m1 ) m 9 m1 m2 ) (? 4 4 9 9 ? ) ?( ? ) ? ? m1 m2 4 0 0 m1 4 0 0 m2 ? ? m1 m2 ( 4 0 0 m1 ) ( 4?0 0 2 ? m 4 9 ? ] m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ))? (m2 ? m1 )[? (m2 ? m1 )4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 , m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )因为 0&m1&m2&160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) &4×240×240 9 m1m2&9×160×160 所以4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )所 以 (m2 ? m1 )4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? 在 m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )(0,160)上为减函数. 同理,函数 y ?4 9 ? 在(160,400)上为增函数,设 160&m1&m2&400,则 m 400 ? my1 ? y2 ?4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m212? (m2 ? m1 )4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )因为 &400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) &4×240×240, 9 m1m2&9×160×160 所以4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )所 以 (m2 ? m1 )(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 度最小. 【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其 他因素，记余下工程的费用为 y 万元。 （Ⅰ）试写出 y 关于 x 的函数关系式； （Ⅱ）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建 n 个桥墩， ( n ? 1) x ? m，即n= 所以 上存在一点，当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x?256 x ? m x ? 2m ? 256. x（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f '( x) ? ?3256m x21 3 m 3 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x令 f '( x) ? 0 ，得 x 2 ? 512 ，所以 x =64 当 0& x &64 时 f '( x) &0，f ( x) 在区间（0，64）内为减函数；13当 64 ? x ? 640 时， f '( x) &0. f ( x ) 在区间（64，640）内为增函数， 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值，此时， n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? 6.（2009 年上海卷理）有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ x ? N ） f ( x ) ，*表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。 （1）证明 当 x ? 7 时，掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。 证明 （1）当 x ? 7时，f ( x ? 1) ? f ( x) ?0.4 ( x ? 3)( x ? 4)而当 x ? 7时 ，函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增，且 ( x ? 3)( x ? 4) &0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减? 当 x ? 7时 ，掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分（2）由题意可知 0.1+15ln 整理得a =0.85……………….9 分 a?6a ? e0.05 a?6解得 a ?e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1由此可知，该学科是乙学科……………..14 分 7.（2009 上海卷文） （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , 　x ? 6, ? 分 10 分 .有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , 　　　　　 6 ? ? x?4 ?14描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数（ x ? N * ） f ( x ) 表示 ， 对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关. （1）证明：当 x ? 7 时，掌握程度的增长量 f（x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科. 证明 （1）当 x ? 7 时， f ( x ? 1) ? f ( x) ?0.4 ( x ? 3)( x ? 4)而当 x ? 7 时，函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增，且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时，掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得a ? 0.85 a?6a ? e0.05 a?6解得 a ?e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1由此可知，该学科是乙学科……………..14 分2008 年高考题1.（2008 年全国一 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是 s s s s （ ）O A．tO B．tO C．t O D．t答案A2. 2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图， （ 那么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 （ ）15答案 D 3.（2008 年江苏卷 17）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB=10km ， 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上D OPC（含边界） ，且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP，设排污管道的总长 为 y km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO= ? (rad)，将 y 表示成 ? 的函数关系式； ②设 OP ? x (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总 长度最短． 解 本小题主要考查函数最值的应用．AB（Ⅰ）①设 AB 中点为 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= ? (rad) ，则AQ 10 10 ? , 故 OB ? ，又 OP＝ 10 ? 10 tan ? ， cos ? cos ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? ， 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OA ?所求函数关系式为 y ?20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA=OB=2?10 ? x ?2? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? （Ⅱ）选择函数模型①， y? ? 令 y? ? 0 得 sin ? ??10 cos? cos? ? (20 ? 10 sin ? ) 10(2 sin ? ? 1) ? cos2 ? cos2 ?? ? 1 ? ?? ，因为 0 ? ? ? ，所以 ? = .当 ? ? ? 0, ? 时， y? ? 0 ， y 是 ? 的减 4 6 2 ? 6?16函数；当 ? ? ?? ?? ? ? , ? 时， y? ? 0 ，y 是 ? 的增函数.所以当 ? = 时， yiin 6 ?6 4?10 3 km 处。 3? (10 ? 10 3 ) (km)。这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边4.（2008 年湖北卷 20）.(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间， 以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近 似函数关系式为t ? 2 5 ? V (t ) ? ?(?t ? 14t ? 40)e ? 50,0 ? t ? 10, ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,.10 ? t ? 12. ? 1（ Ⅰ ） 该 水 库 的 蓄 求 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 . 以 i ? 1 ? t ? i 表 示 第 i 月 份 （ i ? 1, 2,?,12 ）,问一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e ? 2.7 计算）. 解 （1）①当 0＜t ? 10 时，V(t)=(-t +14t-40) e21 t 4? 50 ? 50,化简得 t2-14t+40&0, 解得 t＜4，或 t＞10，又 0＜t ? 10，故 0＜t＜4. ②当 10＜t ? 12 时，V（t）＝4（t-10） （3t-41）+50＜50, 化简得（t-10） （3t-41）＜0, 解得 10＜t＜41 ，又 10＜t ? 12,故 10＜t ? 12. 3综上得 0&t&4,或 10&t≤12, 故知枯水期为 1 月，2 月， 月，4 月，11 月，12 月共 6 个月. ，3 (2)由(1)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.1由 V′ = e 4 (? （t）t1 2 3 1 t t ? t ? 4) ? ? e 4 (t ? 2)(t ? 8), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 4 2 41当 t 变化时，V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表： t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) -由上表，知 V(t)在 t＝8 时取得最大值 V(8)＝8e2+50=108.32(亿立方米).17故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米第二部分 两年模拟题 2011 届高三模拟题 题组一一、选择题 1． 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ） （ ） a 是 f ( x ) ? 2 x ? log1 x 的零点，若 0 ? x0 ? a ，则 f ( x0 ) 的值满足 （2A． f ( x 0 ) ? 0 【答案】BB． f ( x 0 ) ? 0C． f ( x 0 ) ? 0D． f ( x 0 ) 的符号不确定【分析】函数 f ( x) ? 2x ? log2 x 在 (0, ??) 上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是 唯一的，根据函数是单调递增性，在 (0, a ) 上这个函数的函数值小于零，即 f ( x0 ) ? 0 。 【考点】函数的应用。 【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界 点把定义域分成两个区间， 在其中一个区间内函数值都大于零， 在另一个区间内函数值都小 于零。2 2 ． 重 庆 市 重 庆 八 中 2011 届 高 三 第 四 次 月 考 文） 函 数 f ? x? ? ax ? bx?6 满 足条 件 （f ? ?1? ? f ? 3? ，则 f ? 2 ? 的值为（C ．8）A ．5B ．6D ．与 a ， b 值有关答案 B 提示： f ? ?1? ? f ? 3? 知对称轴 ? b ? 1 ， f ? x ? ? ax2 ? 2ax ? 6 ， 由 故 所以 f ? 2? ? 6 ． 2a 3． （重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考文）函数 f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? a 在 x ? ? ??,1? 上有 最小值，则函数 g ? x ? ? （ ） ．有最小值 Af ? x? 在 x ? ?1, ?? ? 上一定 xC ．是减函数B ．有最大值D ．是增函数答案： D 提示：由函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? a 在 ? ??,1? 有最小值， 知 a ? 1 ，又 g ? x ? ? x ? a ? 2a ，由 x ? 1 及 a ? 1 知 x2 g ' ? x ? ? 1 ? a ? x ? a ? 1 ?2 a ? 0 ，故 g ? x ? 为增函数． x x2 x24． （安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联合考试理） 已知函数 f ( x) ? ??2 x ? 1, x ? 1, ? 若f [ f (0)] ? 4a ，则实数 a 等于 （ 2 ? x ? ax, x ? 1, ?18）A．1 2B．4 5C．2D．9答案 C. 5． （安徽省蚌埠二中 2011 届高三第二次质检文） 已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) (a ? 0且a ? 1) 满足：对任意实数 x1、x2，当 x1 ? x 2 ? a 时，总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，那么实数 a 的取值范围是 A． （0，3） B． （1，3） C． (1, 2 3) D． (0, 2 3) （2）答案 C. 6.（福建省莆田一中 2011 届高三上学期第三次月考试题文）已知函数f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象如图所示，则 ? 等于(A．)1 3B．2 3C． 1D．2答案 B. 7.（福建省莆田一中 2011 届高三上学期第三次月考试题文）函数 f (x ) 在定义域 R 内可导， 若 f ( x) ? f (2 ? x), 且 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ， a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3), 则 a , b, c 的大 若 小关系是( A． a ? b ? c 答案 B. 二、填空题 8． （安徽省合肥八中 2011 届高三第一轮复习四考试理） 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 2 f '(2) x, n ? f '(2), 则二项式 ) B． b ? a ? c C． c ? b ? a D． a ? c ? b1 2(x ?答案： 9.2 n ) 展开式中常数项是第 x项。三、简答题 9． （安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联合考试理） （本小题满分 13 分） 已 知 函 数 f ( x) ? x ?22 ? a ln x( x ? 0, a为常数) ， 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数 xx1 , x2 ，证明：当 a ? 0时,答案f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ). 2 21910． （安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联合考试理） （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x , t ? R. （1）若函数 y ? f ( x)依次在x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处取到极值，求 t 的取值范 围； （2） 若存在实数 t ? [0, 2] ，使对任意的 x ? [1, m], 不等式f ( x) ? x 恒成立，求正整数 m 的最大值。 答案2011. 安徽省野寨中学、 （ 岳西中学 2011 届高三上学期联考文） （本题满分 13 分） 设实数 a & 0 ， 设函数 f (x ) = a 1 - x 2 + （1）设 t =1+ x +1+ x +1 - x 的最大值为 g(a ) 。1 - x ，求 t 的取值范围，并把 f (x ) 表示为 t 的函数 h (t ) ；（2）求 g(a ) 。答案 12. 解： （1）因为 t =所以 h(t ) =1 2 at + t - a, t 21+ x +1- x[ 2, 2 ]， 1 - x 2 =1 2 t - 1 2[ 2, 2 ] [ 2, 2 ]的对称轴，又 a & 02；（2）直 t = 所以，当 t = 当t = 当t = 1 a1 1 线是抛物线 h(t ) = at 2 + t - a, t a 21 a( 0, 2 ]，即 a ?2 & a? 22 ，则 g(a ) = h( 2) = 2( 2, 2 ]，即 ) ，即 -1 1 1 ，则 g(a ) = h(- ) = - a ； a 2a 21 ? ( 2, a2 & a & 0 ，则 g(a ) = h(2) = a + 2 2ì ? a + 2, a & - 1 ? ? 2 ? ? ? 1 2 综上，有 g(a ) = ? - a ,& a ? í ? 2a 2 ? ? ? 2 ? 2, a ? ? ? 2 ? ?1 212.（北京市西城区 2011 届高三第一学期期末考试理） （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x . （Ⅰ）若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上，求 f (? ) 的值； （Ⅱ）若 x ? [ ?? ?, ] ，求 f ( x) 的值域. 6 3答案 （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）因为点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上， 所以 sin ? ? ?1 3 ， cos ? ? ， 2 221??????2 分所以 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ???????4 分? 2 3 ? (?3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2??????5 分（Ⅱ） f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3sin2x ? cos 2 x ?1??????6 分 ??????8 分? 2sin(2 x ? ) ? 1 ， 6因为 x ? [ ? 所以 ??? ?,1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ， 2 66 3] ，所以 ??6? 2x ??6?5? ， 6??????10 分 ??????11 分 ??????13 分所以 f ( x ) 的值域是 [?2,1] .13. （北京市西城区 2011 届高三第一学期期末考试理） （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ?1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行，求 a 的值； (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间； (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ，若对任意 x1 ? (0, 2] ，均存在 x2 ? (0, 2] ，使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ，2求 a 的取值范围. 答案 （本小题满分 14 分） 解： f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?2 ( x ? 0) . x 2 . 3??????2 分（Ⅰ） f ?(1) ? f ?(3) ，解得 a ? （Ⅱ） f ?( x) ???????3 分(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x??????5 分①当 a ? 0 时， x ? 0 ， ax ? 1 ? 0 ， 在区间 (0, 2) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 ， 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ，单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ??????6 分1 1 时， ? 2 ， 2 a 1 a 1 a在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 ， 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ，单调递减区间是 (2, ) . ????7 分1 a1 a221 ( x ? 2) 2 ③当 a ? 时， f ?( x) ? ， 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ???8 分 2 2x④当 a ?1 1 时， 0 ? ? 2 ， 2 a 1 a 1 a在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 ， 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ，单调递减区间是 ( , 2) . （Ⅲ）由已知，在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知， g ( x)max ? 0 ，由（Ⅱ）可知， ①当 a ?1 a1 a???9 分??????10 分1 时， f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增， 2故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ， 所以， ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ，解得 a ? ln 2 ? 1，故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?1 . ?????11 分 21 1 1 时， f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增，在 [ , 2] 上单调递减， 2 a a 1 a 1 ? 2 ln a . 2a故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 ， 2 ln a ? ?2 ， ?2 ln a ? 2 ， 2 2 e??????13 分 ??????14 分所以， ?2 ? 2 ln a ? 0 ， f ( x)max ? 0 ， 综上所述， a ? ln 2 ? 1.题组二一、 选择题 1．(江西省上高二中 2011 届高三理）设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题： ①c＝0 时，f(x)是奇函数 ③f(x)的图象关于(0，c)对称 其中正确的命题是（ ） D．①②④ ②b＝0，c&0 时，方程 f(x)＝0 只有一个实根 ④方程 f(x)＝0 至多两个实根A．①④ B．①③ C．①②③ 答案 C. 2． （四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理）设函数 f(x)是 定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数， f(2)＞1，f (2008 ) ? 若 则 a 的取值范围是（ ）a?3 ， a?323A. (??,0) 答案 B.B.(0,3)C.(0,+ ∞)D.(-∞,0)∪(3,+ ∞)3． （四川省成都外国语学校 10-11 学年高一）下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是（ ） A． f ( x) ? x, g ( x) ? ( x ) 2 B． f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ? 1) 2 C． f ( x) ? 1, g ( x) ? x 0 D． f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? 答案 D.2 4． （四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理）当 x ? 0 时， f ? x ? ? x ??x ?? x( x ? 0) ( x ? 0)1 1 ?x? 最 2 x x小值为（ A.1 答案 D.） B. 0 C. 2 D.45． （四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理）定义在 R 上的函数 y ? f (x) ，在（-∞， a） 上是增函数， 且函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数， x1 ? a, x2 ? a ， x1 ? a ? x2 ? a 当 且 时，有 （ ） B. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) D. ? f (2a ? x1 ) ? f ( x2 ? 2a)A. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) C. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 )答案 A. 6． （四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文） f (x) 是定义在 R 上的偶函数， x ? R ， 设 对1 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ， 且当 x ? [?2,0] 时， f ( x) ? ( ) x ? 1 ， 若在区间 (?2,6] 内关于 x 的 2方程 f ( x) ? log(ax?2) ? 0 （ a ＞1）恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是（ A.(1,2) 答案 D. B. (2,??) C. (1, 3 4 ) D. (3 4 ,2)）2 7.( 山西省四校 2011 届高三文）幂函数 y=(m ?m?1)xm -2m-3，当 x∈(0,+∞)时为减函数，2则实数 m 的值是（ A．m=2 答案 A.） B．m=?1 C．m=?1 或 2 1? 5 D．m≠ 28．(四川省成都外国语学校 2011 届高三理）定义在 R 上的函数 y ? f (x) ，在（-∞，a）上24是增函数，且函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数，当 x1 ? a, x2 ? a ，且 x1 ? a ? x2 ? a 时， 有 （ ） B. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) D. ? f (2a ? x1 ) ? f ( x2 ? 2a)A. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) C. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) 答案 A.9．(福建省福州八中 2011 届高三文) 函数 y ? ?? x 2 ( x ? 0) ? 的图象大致是 ?2 x ? 1( x ? 0) ?答案 D. 10 山东省实验中学 2011 届高三文理）某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关， 则其回归方程可能是 （ ） A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200 答案 A. 11.( 广西桂林中学 2011 届高三理)已知 x1 是方程 x x ? 10 x ? 2010 的根，则 x1?2=（ A．2008 答案 C. 12.(福建省四地六校联考 2011 届高三理)将函数 y = sin (x+ 向左平移 B．2009 ） C．2010 D．2011^ ^B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200^^x lg x ? 2010的根，x2是方程?6) (x ? R) 的图象上所有的点? 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，则所得的图象的 4)解析式为 ( A． y = sin (2x+ C． y = sin (x ? - ) (x ? R) 2 125? ) (x ? R) 12x 5? + ) (x ? R) 2 12 x 5? ) (x ? R) D． y = sin ( + 2 24B． y = sin (答案 B. 13 ． ( 吉 林 省 实 验 中 学 2011 届 高 三 文 ） 设 a ＞ 1 ， 函 数 f （ x ） =a|x| 的 图 像 大 致 是 （ ）25答案 A. 14． （河南信阳市 2011 届高三理） 已知函数① f ( x) ? 5 x? 2 3② f ( x) ? 5ecos x ； f ( ) ? e ③ x 5x；④ f ( x) ? 5ln x 。其中对于 f ( x ) 定义域内的任意一个自变量 x1 ，都存在唯一的自变量x2 ，使f ( x1 ) f ( x2 ) ? 5 成立的函数为（ ） B．②④ C．①③ D．③A．①③④ 答案 D. 二、 填空题x2 ( x ? R) 的值域为________________． 15． （江苏泰兴 2011 届高三理）函数 y ? 2 x ?1答案?0,1?16．江苏泰兴 2011 届高三理） （ 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数， f (1) ? 1 ， 若2a ? 3 ，则 a 的取值范围是__________________________． a ?1 2 答案 ?1 ? a ? 3 17.（江省吴兴高级中学 2011 届高三文）下列五个函数中:① y ? 2 ② y ? log2 f (2) ?③ y ? x 2 ; ④ y ? x ?1 ; ⑤ y ? cos 2 x , 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时，使 f (x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 恒成立的函数是 2 2（将正确的序号都填上）.答案 ② 18.（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）函数 f（x）=-x2+4x-1 在[t，t+1]上的最大值为 g（t） ， 则 g（t）的最大值为____________． 答案 3. 19.（江苏泰兴 2011 届高三理）函数 f（x）=-x2+4x-1 在[t，t+1]上的最大值为 g（t） ，则 g（t） 的最大值为____________． 答案 3.26三 解答题 20． （江苏泰兴 2011 届理） （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ：1 ? ax2 ?a ? 0? 是奇函数， x?b并且函数 f (x) 的图像经过点（1，3）（1）求实数 a, b 的值； ， （2）求函数 f (x) 的值域1 ? ax 答案 解： （1）?函数 f ( x) ? 是奇函数，则 f (? x) ? ? f ( x) x?b2?1 ? a?? x ? 1 ? ax2 ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ???（3分） ? x?b x?b2又函数 f (x) 的图像经过点（1，3） ? f (1) ? 3,? ， ∴a=2 ??（6分）1? a ? 3,? b ? 0, 1? b（2）由（1）知 f ( x) ?1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ?x ? 0? ???（7分） x x当 x ? 0 时， 2 x ?1 1 1 ? 2 2 x ? ? 2 2 , 当且仅当 2 x ? , x x x即x ?2 时取等号?（10分） 2当 x ? 0 时， ?? 2 x ? ?1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x当且仅当 (?2 x) ?1 2 ,即x ?? 时取等号?????（13分） ?x 2综上可知函数 f (x) 的值域为 ? ?,?2 2 ? 2 2,?? ????（12分） 21． （江苏泰兴 2011 届高三理） （本题满分 16 分）设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间2?? ????2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M、m，集合 A ? ?x | f ( x) ? x? ．（1）若 A ? {1, 2}，且 f (0) ? 2 ，求 M 和 m 的值； （2）若 A ? {1} ，且 a ? 1 ，记 g (a) ? M ? m ，求 g ( a ) 的最小值．27答案 （1）由 f (0) ? 2可知c ? 2， ???????????1 分 又 A ? ?1 2?，故1 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根. ， ，1-b ? ?1+2= a ? ?? , ???????3 分 ?2= c ? a ?解得a ? 1, b ? ?2 ????4 分? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1,x ???2,2?当x ? 1时，f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1 ???????????5 分 当x ? ?2时，f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10. ???????????6 分（2）由题意知，方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2, x=11? b ? ?1 ? 1 ? a ?b ? 1 ? 2a ? ∴ ? ， 即? ?c ? a ?2 ? c ? a ?∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2]???????????8分其对称轴方程为x=1 4a ? 1 ? 1? 2a 2a又a≥1，故1-1 ?1 ? ? ,1? ???????????9分 2a ? 2 ? ???????????10分∴M=f（-2）=9a-2 m= f (2a ? 1 1 ) ? 1? ???????????11分 2a 4a 1 g（a）=M+m=9a-1 ???????????14分 4a又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的， 当a ? 1时，g (a)min = ? ?31 63 . ???16 分 4422 ． 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 10-11 学 年 高 一 ） 本 小 题 12 分 ） 已 知 奇 函 数 （ （?? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? f ( x ) ? ?0 ( x ? 0) ? x 2 ? mx ( x ? 0) ?（1）求实数 m 的值，并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象； （2）若函数 f（x）在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定 a 的取值范围. 答案 （1） x&0 时， 当 －x&0， f (? x) ? ?( x) ? 2(? x) ? ? x ? 2 x2 228又 f（x）为奇函数，∴ f (? x) ? ? f ( x) ? ? x2 ? 2 x ， ∴ f（x）＝x2＋2x，∴m＝2 y＝f（x）的图象如右所示?? x 2 ? 2 x ? （2）由（1）知 f（x）＝ ?0 ? x2 ? 2x ?( x ? 0) ( x ? 0) ， ( x ? 0)由图象可知， f ( x ) 在[－1，1]上单调递增，要使 f ( x ) 在[－1，|a|－2]上单调递增，只需 ??| a | ?2 ? ?1 ?| a | ?2 ? 1解之得 ?3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3 23. （四川省成都外国语学校 10-11 学年高一） （本小题 12 分） 已知定义在 R 上的函数 f ( x )( 对任意实数 x 、y 恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ， 且当 x ? 0 时，f ( x) ? 0 ， f 1 ? ? 又 )(1)求证 f ( x ) 为奇函数；(2)求证： f ( x ) 为 R 上的减函数；2 。 31 1 f (2bx) ? f ( x) ? f (bx) ? f (b) . 2 2 ? 2b 答案 (1)， （2）略 (3) x ? 。 b?2(3)解关于 x 的不等式：(其中b ? 2)24．四川省成都外国语学校 10-11 学年高一）本小题 14 分） （ （ 已知函数 f ( x) ? 1 ? （I） 当0 ? a ? b, 且f (a) ? f (b)时 ，求1 ， (x&0)． x1 1 ? 的值； a b（II）是否存在实数 a，b（a&b） ，使得函数 y ? f ( x) 的定义域、值域都是[a，b]？若存在， 请求出 a，b 的值，若不存在，请说明理由．? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? 答案 解： （I） ∵x&0，∴ f (x) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ? ∴f(x)在（0，1）上为减函数，在 (1, ??) 上是增函数． 1 1 1 1 由 0&a&b，且 f(a)=f(b)，可得 0&a ? 1&b 和 ? 1 ? 1 ? ．即 ? ? 2 ． a b a b（II）不存在满足条件的实数 a，b． 若存在满足条件的实数 a，b，使得函数 y= f (x) ? 1 ? a&01 的定义域、值域都是[a，b]，则 x29? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? f ( x) ? ? 而 ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ? 1 ①当 a , b ? (0,1) 时， f ( x ) ? ? 1 在（0，1）上为减函数． x ?1 ? a ? 1 ? b, ?f (a ) ? b, ? 故? 即 ? 解得 a=b． ?f (b) ? a. ? 1 ? 1 ? a. ?b ?故此时不存在适合条件的实数 a，b． ② 当 a , b ? [1,??) 时， f (x) ? 1 ?故??f (a ) ? a, ?f (b) ? b.即1 在 (1, ??) 上是增函数． x ? 1 ?1 ? a ? a , ? ? ?1 ? 1 ? b. ? b ?2 此时 a，b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数 a，b． ③ 当 a ? (0,1) ， b ? [1,??) 时，由于 1? [a , b] ，而 f (1) ? 0 ? [a, b] ，故此时不存在适合 条件的实数 a，b． 综上可知，不存在适合条件的实数 a，b． 25.（山西省四校 2011 届高三文）(满分 12 分)已知函数 f(x)=ax -bx +9x+2,若 f(x)在 x=1 处的切线方程为 3x+y-6=0 （Ⅰ）求函数 f(x)的解析式2 2 （Ⅱ）若对任意的 x ? [ ,2] 都有 f(x) ? t ? 2t ? 1 成立,求函数 g(t) ? t ? t ? 2 的最值3 21 4答案 (12 分) 简答:① f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 9 , ? f ' (1) ? ?3' 2?? f (1) ?3 ????2 分a ?4 b?12???4 分②列表如下：x1 4?1 1? ? , ? ?4 2?1 2?1 3? ? , ? ?2 2?3 2?3 ? ? ,2? ?2 ?230f ' ( x)+00 +f ( x)57 16极大值11 2极小值24f(x) min =2???8 分2 对任意的 x ? [ ,2] 都有 f(x) ? t ? 2t ? 1 成立, 2 f(x) min =2 ? t ? 2t ? 1 ， ? 1 ? t ? 3 ???10 分 2 g(t) ? t ? t ? 2 ( ? 1 ? t ? 3 ),1 4t=-1 9 ,最小值- ,t=3 最大值 10?????????12 分 2 4226. 山西省四校 2011 届高三文）(满分 12 分)设函数 f ( x) ? 4 ln x ? ? x ? 1? ． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间； （Ⅱ） 若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 4x ? a ? 0 在区间 ?1,e? 内恰有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围． 答案 ∵ f ?( x) ? 7.(12 分) 解： （1）函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,??? ，???1 分4 2( x 2 ? x ? 2) 2( x ? 2)( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? ? ?? ，????3 分 x x x令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ,故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, 2 ? ． ???4 分 （2）方法 1：∵ f ( x) ? 4ln x ? ? x ? 1? ，2∴ f ( x) ? x2 ? 4x ? a ? 0即4ln x ? 2x ?1? a ? 0在?1 ?内恰有两个相异的实根。 ，e 令 g ? x ? ? 4ln x ? 2x ?1 ? a ， 则g ?( x) ?4 4 ? 2x ?2 ? ，???6 分 x x令g ?( x) ?4 ? 2x ? 0得x ? 2 x列表如下：xg ?( x )1?1, 2?+2 0? 2,e ?-e31g ( x)g (1)极大值g (2)g ( e)? g (1) ? ?3 ? a , g (e) ? 3 ? 2e ? a , g ? 2? ? 4ln 2 ? 5 ? a? g (e) ? g (1) ???8 分要使 f ( x) ? x2 ? 4x ? a ? 0在?1 ?内恰有两个相异的实根。 ，e 只需 g (e) ? 0 ? g (2) ,即 3 ? 2e ? a ? 0 ? 4 ln 2 ? 5 ? a? 3 ? 2e ? a ? 4 ln 2 ? 5? a 的取值范围是 ?3 ? 2e, 4ln 2 ? 5? ．???12 分方法 2：∵ f ( x) ? 4 ln x ? ? x ? 1? ，2∴ f ( x) ? x2 ? 4x ? a ? 0即4ln x ? 2x ?1 ? a在?1 ?内恰有两个相异的实根。 ，e 令 h ? x ? ? 4ln x ? 2x ?1 ， 则h?( x) ?4 4 ? 2x ?2 ? ，???6 分 x x令h?( x) ?4 ? 2x ? 0得x ? 2 x列表如下：xh?( x)1?1, 2?+2 0? 2,e ?-eh( x )h(1)极大值h(2)h(e)? h(1) ? ?3 , h(e) ? 3 ? 2e , h ? 2? ? 4ln 2 ? 5 ? h(e) ? h(1) ???8 分要使 f ( x) ? x2 ? 4x ? a在?1 ?内恰有两个相异的实根。 ，e 只需 h(e) ? a ? h(2) ,即 3 ? 2e ? a ? 4 ln 2 ? 5? a 的取值范围是?3 ? 2e,4ln 2 ? 5? ．?????12。27.（福建省福州八中 2011 届高三理） （本小题 13 分）在长为 100 千米的铁路线 AB 旁的 C 处有一个工厂，工厂与铁路的距离 CA 为 20 千米.由铁路上的 B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为 5∶3，为 节约运费，在铁路的 D 处修一货物转运站，设 AD 距离为 x 千米，沿 CD 直线修一条公32A 20 C x100 DB路(如图). (1)将每吨货物运费 y(元)表示成 x 的函数. (2)当 x 为何值时运费最省？ 答案 （本小题 13 分）解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为 5k、3k(元)(k 为常 数)AD=x，则 DB=100－x.CD ? AD2 ? AC2 ? x2 ? 202 ? x2 ? 400????????3 分∴每吨货物运费 y=(100－x)? 3k+ x2 ? 400 ? 5k(元)(0&x&100)??????6 分(2)令 y′=－3k+5k?2x2 x 2 ? 400?5 x ? 3 x 2 ? 400 x 2 ? 400? k=0∴5x－3 x2 ? 400 =0 ∵x&0，∴解得 x=15??????????????9 分 当 0&x&15 时，y′&0;当 x&15 时，y′&0 ∴当 x=15 时，y 有最小值.????????????12 分 答：当 x 为 15 千米时运费最省 .??????????13 分 28. （河北省唐山一中 2011 届高三文）(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 范围.1 3 2 x -(a+2)x +a(a+4)x+5 在区间(-1,2)内单调递减，求 a 的取值 3答案 解 1:f’(x)=x -2(a+2)x+a(a+4)=(x-a)(x-a-4)，???????????4 分 f’(x)&0 的解为(a,a+4)， ???????????7 分 ∵f(x)在区间(-1,2)内单调递减， ∴(-1,2) ? (a,a+4)，????????????????????10 分 由此得 a≤-1 且 a+4≥2，a 的范围是[-2，-1].22??????12 分解 2:f’(x)=x -2(a+2)x+a(a+4)， ???????2 分 ∵f(x)在区间(-1,2)内单调递减， ∴f’(x)≤0 在区间(-1,2)上恒成立， ???????4 分 2 ∵二次函数 f’(x)=x -2(a+2)x+a(a+4)的开口向上， 2 2 ∴f’(-1)=a +6a+5≤0 且 f’(2)=a -4≤0 ?????????????10 分 解得 a 的范围是[-2，-1]. ??????????????????12 分题组三一、选择题 1． （广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科） 方程 2 A．2 【答案】A33?x? x 2 ? 3 的实数解的个数为(D．4)B．3C．12． （四川省雅安市 2010 届高三第三次诊断性考试理科）b ?a ? ? 2 已知函数 f ( x) ? ? x x ? x ?x ?1 ?A．2( x ? 0) ( x ? 0)在 R 上连续，则 a ? b ? ( A )B．1C．0D． ? 13． （四川省自贡市 2010 届高三三诊理科试题）已知函数 y ?1 3 x ? x 2 ? x 的图象 C 上存在 3一个定点 P 满足： 若过定点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的两点 M ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ， N 就恒有 y1 ? y2 为定值 y0 ，则 y0 的值为（ B ） A． ?1 3B． ?2 3C． ?4 3D． ?24．四川省资阳市 学年度高三第三次高考模拟理） （ 已知命题 p： 函数 f ( x) ?| x ? a | 在 (1, +) 上是增函数，命题 q： f ( x) ? a x （ a ? 0 且 a ? 1 ）是减函数，则 p 是 q 的（ A ）（A）必要不充分条件 （C）充要条件（B）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件5． （四川省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊 断性考试理科）设方程 根为 A．2? x ? lg x的两个x1 , x2 ，则下列关系正确的是（ A ）B．0 ? x1 x2 ? 1x1 x2 ? 1C．x1 x2 ? 1D．x1 x2 ? 06． （四川省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科）设定义在 R 上的函数f ( x) ， f (0) ? 2008 ， 且 对 任 意 x ? R ， 满 足 f ( x 2 ? f ( x?) x ， 2 ? ) ? 3f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63? x ，则 f (2008) ? 下列关系正确的是（ D ） 2A． 22005? 2004B． 22007? 2006C． 22009? 2008D． 22008? 20077．(四川省成都市石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)定义在[0，1]上的函数 f (x) 满足x 1 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ? f ( x) ，且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时， 5 2 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ).则f ( ) 等于 （ C ） 201034A．1 2B．1 16C．1 32D．1 64二、填空题 8. （四川省成都 市 2010 届高三第三次诊断文科）关于 x 的方程 x2＋2ax－4＝0 的两个实根 x1、x2 满足 x1＜1＜x2，则实数 a 的取值范围是_____________. 3 答案：(－∞, ) 2 解析：记 f(x)＝x2＋2ax－4 则函数 f(x)的图象与 x 轴的两个交点分别在 1 的两侧 注意到 f(x)开口向上， 故 f(1)＜0 ? a＜ 24. (四川省绵阳市 2010 年 4 月高三三诊理科试题)若对任意 x∈R， y∈R 有唯一确定 的 f (x， y)与之对应，则称 f (x，y)为关于 x，y 的二元函数． 定义：同时满足下列性质的二元函数 f (x，y)为关于实数 x，y 的广义“距离”： （Ⅰ）非负性：f (x，y)≥0； （Ⅱ）对称性：f (x，y)= f (y，x)； （Ⅲ）三角形不等式：f (x，y)≤f (x，z)+ f (z，y)对任意的实数 z 均成立． 给出下列二元函数： ①f (x，y)=(x-y)2；②f (x，y)=|x-y|；③f (x，y)= x ? y ；④f (x，y)=|sin(x-y)|． 则其中能够成为关于 x， 的广义“距离”的函数编号是________． 写出所有真命题的序号） y （ （②④） 9.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶 函数， 当x ??0,1? , f ( x) ? x， 那么在区间??1,3? 内，关于 x 的方程 4 f ( x) ? x ? m（其中 m. ( 0 ,1]为实常数）有四个不同的实根，则 m 的取值范围是 三、解答题10． （四川省自贡市 2010 届高三三诊理科试题） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 。2（I）若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等的实根，求实数 m 的取值范围（ e 为1 e35自然对数的底） ； （ II） 如 果 函 数 g ( x) ? f ( x)? ax的 图 象与 x 轴 交 于 两点 A( x1 ,0) ， B( x2 ,0) ， 且 。 0 ? x1 ? x2 。求证： g '( px1 ? qx2 ) ? 0 （其中正常数 p 、 q 满足 p ? q ? 1, q ? p ）解：(Ⅰ)由 f ( x ) ＝2 ln x 求导得到： f ? ( x ) ＝ x? 221?x)( ?x) ( 1 ， ????(2 分) x 1 1 1 ?x ? [ , e] ，故 f ? ( x ) ＝0 在 x ?1有唯一的极 值点， f ( ) ＝－2－ 2 e e ef (e) ＝D2D e 2 ， f (x) 极大值＝ f (1) ＝－1，????(4 分)且知 f (e) ＜ f ( ) ，故 f (x ) ＝－ m ，在 [ , e ] 内有两个不等的实根满足：1 e1 e－2－1 e2≤－ m ＜－1故m 的取值范围为 ? 1, 2 ?? ?1? e2 ? ?????(6 分)(Ⅱ) g ? ( x ) ＝2 －2 x a － ，又 f ( x ) － ax 有两个不等的实根 x 1 、 x 2 ，则 ＝0 x两 式 相 减 得 到? ln 1 ?x2 ?ax?0 2 x 1 1 ? 2 2 x 2 2 ? ln 2 ?x ?ax ?02 x ?ln 2) (ln1 x a? ?(x ?x ) ????(7 分) 1 2 x ?x 1 2于 是g'(px qx ) 1? 2＝2 ?2 px ? qx2 1(px qx ) 1? 2－[2 x ?lnx2) (ln 1 ? (x ?x )] 1 2 x ?x2 1＝2(lnx1 ?lnx2 ) 2 ? + (2p?1 (x ?x ) ) 2 1 x1 ? x2 px1 ? qx20 ) 2 1 2 p≤1， x ?x ? ， ∴ (2p?1 (x ?x )≤0 2 1????(8 分)∵px qx 要证： g ' ( 1? 2)＜0，只需证：2(lnx1 ?lnx2 ) 2 + ＜0，只需证： x2 ? x1 px 1 ? qx 2① ???(9 分)x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x236令x1 1? t + ln t ? 0 在 0? ? 上恒成立， ? t ，0 ?t ?1,只需证： u(t) ? t 1 x2 pt ? q2q2 p (t ? 1)( t ? 2 ) 1 1 p 又∵ u( ) ? ? ＝ 't 2 2 t (pt q ?) t ( pt ? q )∵ p?q?1， ? q???(1 0 分)q2 q2 1 q ， 则 ? 1， ∴ 2 ? 1， 于是由 t ? 1可知 t ? ? ， ? 2 ? 0 1 0t 2 p p p???(11 分)故知 u (t) ?0∴ u (t ) 在 t ?(01 上为增函数， ' ,)则 u (t ) ＜ u (1) ＝0，从而知x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x2????(12 分)即①成立，从而原不等式成立。11. （ 四 川 省 攀 枝 花 市 2010 年 4 月 高 三 第 二 次 统 考 文 科 试 题 ） 12 分 ） 已 知 函 数 （f ( x) ? ax2 ? bx ?1? a, b ? R ?.(Ⅰ)若 f (?1) ? 0 且对任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立，求实数 a , b 的值； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，当 值范围. 解： （Ⅰ）? f (?1) ? 0x ?? ?2, 2?时， g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数，求实数 k 的取? a ? b ? 1 ? 0 即b ? a ? 1 又对任意实数 x 均有 f (x) ? 0 成立2 ?? ? b2 ? 4a ? 0 恒成立，即 (a ?1) ? 0 恒成立? a ? 1, b ? 2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? g ( x) ? x ? (2 ? k ) x ? 12 2k ?2 k ?2 ?[?2, 2] ? (??, ] 或 [?2, 2] ? [ , ??) ? g ( x) 在 x ?[－2，2]时是单调函数， 2 2 ?2 ? k ?2 k ?2 或 ? ?2 2 2即实数 k 的取值范围为 (??, ?2] ? [6, ??)12.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题） （14 分）已知定义在 R 上的函 数 f ( x) ? x (ax ? 3) ，其中 a 为常数.237(Ⅰ)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点，求 a 的值；? ?1,0? 上是增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若函数 f ( x ) 在区间（Ⅲ）若函数 围. 解： （Ⅰ）? f ( x) ? ax ? 3x ,3 2g( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ??0,2?，在 x ? 0 处取得最大值，求正数 a 的取值范? f ?( x) ? 3ax2 ? 6x ? 3x(ax ? 2).?a ? 2 ；? x ? 1是f ( x) 的一个极值点，? f ?(1) ? 0,2（Ⅱ）①当 a=0 时， f ( x) ? ?3x 在区间（－1，0）上是增函数，? a ? 0 符合题意；2 2 a ? 0时, f ?( x) ? 3ax ( x ? ), 令f ?( x) ? 0得 : x1 ? 0, x 2 ? a a； ②当? 当 a&0 时，对任意 x ? (?1,0), f ( x) ? 0,? a ? 0 符合题意；2 2 x ? ( ,0)时f ?( x) ? 0,? ? ?1,? ?2 ? a ? 0 a a 当 a&0 时，当 符合题意；综上所述， a ? ?2. （Ⅲ） a ? 0, g ( x) ? ax ? (3a ? 3) x ? 6x, x ? [0,2].3 2g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2], ? 令 g ( x) ? 0,即ax ? 2(a ? 1) x ? 2 ? 0(*),显然有? ? 4a ? 4 ? 0.2 213．(四川省成都市石室中学 2010 届高三三诊模拟理科) （12 分）38已知 a ? 0,函数f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x . （1）当 x 为何值时， f (x) 取得最小值？证明你的结论； （2）设 f（x）在[-1，1]上是单调函数，求 a 的取值范围。 解： （1）对函数 f (x) 求导数得 f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x ? 2ax ? 2a)e x 令 f ' ( x) ? 0, 得[ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x ? 0从而x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 解得 x1 ? a ? 1 ? a 2 ? 1, x2 ? a ? 1 ? a 2 ? 1 当 x 变化时， f ( x), f ' ( x) 的变化如下表[来xf ' ( x)f (x)(??, x1 )+ 递增x10 极大值( x1 , x2 )递减x20[( x2 ,??)+ 递增极小值? f ( x)在x ? x1 处取得极大值，在 x=x2 处取得极小值。当 a ? 0 时， x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 上为减函数，在 ( x2 ,??) 上为增函数 而当 x ? 0时f ( x) ? x( x ? 2a)e x ? 0 ， 当 x=0 时， f ( x) ? 0 所以当 x ? a ? 1 ? a 2 ? 1 时，f（x）取得最小值（II）当 a ? 0 时， f ( x)在[?1,1] 上为单调函数的充要条件是 x2 ? 1 即 a ?1?a 2 ? 1 ? 1, 解得 a ?3 4 3 4于是 f (x) 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 a ? 即 a 的取值范围是 ? ,?? ??3 ?4? ?39题组四一、填空题y?1.（安徽两地三校国庆联考）函数lg | x | x 的图象大致是()答案 D 2． （池州市七校元旦调研） 对于正实数 ? ，记M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合：? ? 2 x? (x ) 1． 下列结论中正确的是?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ，有 ?? ( x2 ?x1 ) ?f (x 2) ? (x ) f 1( A．若 )f ( x) ? M?1 ， g ( x) ? M? 2 ，则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2f ( x) ? M ?1 f ( x) ? M?1 ， g ( x) ? M? 2 ，且 g ( x) ? 0 ，则 g ( x) ?2 B．若C．若 D．若f ( x) ? M?1 ， g ( x) ? M? 2 ，则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 ， g ( x) ? M? 2 ，且 ?1 ? ?2 ，则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2答案 C【解析】对于?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ，即有?? ?f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? x2 ? x1 ，f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?k f ( x) ? M?1 ， g ( x) ? M? 2 ，即有 x2 ? x1 令 ，有 ?? ? k ? ? ，不妨设??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 ．，因此有??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2，因此有403． （安徽两地三校国庆联考）函数 f ( x) ? x cos x ? 1, x ? (?5,5) 的最大值为 M ，最小值为m ，则 M ? m 等于（A．0 答案 C B．1） C．2 D．44. （ 岳 野 两 校 联 考 ） 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 对 任 意 的 实 数 x ， 都 有f ( x ? 4) ? f ( x) ? 41 ? ） 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 且 f（ ） 2 ，则 f（2009 的值是（B．2009 C．2010 D．2011）A．2008 答案 C5． （安徽两地三校国庆联考）设定义在 R 上的函数 f (x) 的反函数为 f?1 ?1 x ? R ，都有 f (? x) ? f ( x) ? 3 ，则 f ( x ?1) ? f (4 ? x) 等于（?1( x) ，且对于任意的）A．0 答案 AB．-2C．2D． 2 x ? 46.（昆明一中三次月考理）已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象如右图示，函数y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称，则函数 y ? g ( x) 的解析式为A. g ( x) ? 2xC. g ( x) ? log 1 x21 x 2 D. g ( x) ? log2 xB. g ( x) ? ( )答案：B 7.（昆明一中三次月考理）已知函数 y ? f ( x) 是偶函数，当 x ? 0 时，有 f ( x) ? x ?4 ，且当 xx ?[?3 , ? 1] ， f ( x) 的值域是 [n , m] ，则 m ? n 的值是A． 答案：C1 3B．2 3C． 1D．4 38. （昆明一中二次月考理）如图表示函数 图象，则 （ ）（其中）的41A．B．C． 答案：B 9. （昆明一中二次月考理）偶函数D．满足=，且在时，，则关于 的方程 A.1 答案：D 二、填空题 1.（安徽两地三校国庆联考）已知函数 f(x)= ? 答案 1 或 2 B.2，在 C.3上解的个数是 （ D.4）?log 2 x( x ? 0) 1 , 若 f(a)= .则 a 的值为 2 2 x , ( x ? 0) ?2.（安庆市四校元旦联考）已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是 答案 a≥1 3.（安徽两地三校国庆联考）给出定义：若m? 1 1 ? x ? m? 2 2 (其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 { x } ，即 { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ?| x ? { x } | 的 四个命题：①y ? f ( x)1 k x ? (k ? Z ) y ? f ( x) 2 的定义域是 R，值域是[0， 2 ]；② 的图像关于直线 对称；? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上是增函数； ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数，最小正周期是 1；④ 函数 y ? f ( x ) 在 ?则其中真命题是__ 答案 ①②③．4 ．已知 f (x) 是定 义在 R 上的不 恒为零的函数 ，且对于 任意实数 a 、 b ? R 满 足：42f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ， f (2) ? 2 ，an ?f (2 n ) f (2 n ) bn ? n (n ? N *) ， 2n （ n ? N * ） ，{b } {a } 考察下列结论，① f (0) ? f (1) ；② f (x) 为偶函数；③数列 n 为等差数列；④数列 n为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④ 5．（昆明一中二次月考理）函数 答案：0 6． （师大附中理） 已知函数 f ( x) ? 1 ? 3( x ?1) ? 3( x ?1)2 ? ( x ?1)3 , 则 f ?1 (8) ? __________。 答案：0 7 ． 师 大 附 中 理 ） 假 设 x1 ? ?97 ， 对 于 n ? 1(n ? N ? ) 有 xn ? （ 则 ____________．n ，计算乘积： xn ?1x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 =______。答案：384 8.（昆明一中二次月考理）直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点，则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数：①f(x)=sinx； ②f(x)=π (x－1) +3； ③ 其中是一阶格点函数的有 答案：①②④ 三、解答题 1． （本题满分 14 分）已知函数 f ( x) ? ⑴求函数 f (x) 的周期； .2④，1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) 2⑵函数 f (x) 的图象可由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到？解： （1） f ( x) ?? 3 1 3 1 sin 2 x ? (2cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2所以 函数 f (x) 的周期是 ? （2） 将函数 y ? sin x 的图象向左平移? 个单位， 再将所得图象上每一点的横坐标变为原来 643的1 倍（纵坐标不变式） ，得函数 f (x) 的图象 22.（本小题满分 12 分） （安徽两地三校国庆联考） 机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保 养费用 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元，该机床使 用后，每年的总收入为 50 万元，设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元． （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值） ； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： （Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以 30 万元价格处理该机床； （Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以 12 万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．x( x ? 1) ? ? y ? 50?12x ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. 2 ? ? 解 （1）依题得： （x ? N*）（2）解不等式 ?2x ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 512∵x ? N*,∴3≤x≤17，故从第 3 年开始盈利。?（3） （Ⅰ）y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 x 时，即 x=7 时等号成立．2x ?当且仅当? 到 2008 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利 12×7+30＝114 万元．（Ⅱ）y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102，当 x=10 时，ymax=102 故到 2011 年，盈利额达到最大值，工厂获利 102+12＝114 万元 盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理． 3． （本小题满分 12 分） （安徽两地三校国庆联考） 已知 a 是实数， 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ， 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点，2求 a 的取值范围. 解：若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1?上没有零点, 所以 a ? 0 .44令? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 02a?, 解得?3 ? 7 2a?①当?3 ? 7 2 时,y ? f ? x?恰有一个零点在??1,1? 上;y ? f ? x? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ，即 1 ? a ? 5 时， 在 上也恰有一个零点. ③当y ? f ? x?在??1,1? 上有两个零点时,则a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?解得 a ? 5 或或a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?a??3 ? 5 2 a? ?3 ? 5 2 .综上所求实数 a 的取值范围是a ?1 或4.（本小题满分 13 分） （安徽两地三校国庆联考） 定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)≠0，当 x&0 时，f(x)&1，且对任意的 a、b∈R，有 f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)&0； （3）证明：f(x)是 R 上的增函数； （4）若 f(x)?f(2x-x2)&1，求 x 的取值范围。 解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1f ( ? x) ?（2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴1 f ( x)由已知 x&0 时，f(x)&1&0，当 x&0 时，-x&0，f(-x)&0f ( x) ?∴1 ?0 f ( ? x)又 x=0 时，f(0)=1&0∴对任意 x∈R，f(x)&0 (3)任取 x2&x1，则 f(x2)&0，f(x1)&0，x2-x1&045∴f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )∴f(x2)&f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 （4）f(x)?f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0)， f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)&f(0)得：3x-x2&0 ∴ 0&x&3 5. （三明市三校联考） （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 （I）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）若 f ( x) ? 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （Ⅲ）证明：① ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立②? ( (i ? 1) ) ?i ?2nln in(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 41 ?k x ?1解： （I）函数 f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ? 当 k ? 0 时 f ' ( x) ?1 ? k ? 0 ，则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 x ?1 1 1 ?k ?0 当 k ? 0 时，若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 1 ? k ? 0 则 f ( x)在(1,1 ? ) 上 是 增 函 数 ， 在 若 x ? (1 ? ,?? ) 时 有 f ' ( x) ? k x ?1 k 1 (1 ? ,?? ) 上是减函数 ????????（4 分） k（Ⅱ）由（I）知 k ? 0 ，时 f ( x)在(1,??) 递增，而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立，故k ?0又由（I）知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?1 ) ? ? ln k ，要使 f ( x) ? 0 恒成立， k由 ? ln k ? 0得k ? 1 ???????（8 分）1 ) ? ? ln k ? 0 即可。 k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立，且 f ( x)在[2,??) 上是减函 数， f (2) ? 0 ，? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立， 即 ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 。????????（11 分）46令 x ? 1 ? n ，则 ln n ? n ? 1 ，即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ，从而2 2 2ln n n ? 1 ? ， n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 成立??（14 分） 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4 ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 6. （玉溪一中期中理） （本小题 12 分）已知函数 f ( x) ? . x（Ⅰ） 设 g ( x) ? x2 ? f ' ( x),( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0, ??) 内是增函数； （Ⅱ） 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立，求正整数 m 的值； （Ⅲ） 若 x ? 0 时， f ( x) ? n 恒成立，求正整数 n 的最大值.证明： （1）f ( x )?(x ? 1 ? ? ) 1 xlx ? n() ? 1x( ? ,? 0f) ' (x )x ? 1 ? l nx ? 1 ) ( 2 x∴ g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1),( x ? 0) , 则 g '( x) ?x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,??) 内单调递增 x ?1解： （2） ∵ g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0 ， g (3) ? 2(1 ? ln 2) ? 0 ,∴由（1）可得 g ( x) 在 (0,??) 内单 调递增, 即 g ( x) ? 0 存在唯一根 a ? (2,3) 解： (3) 由 f ( x) ? n 得 n ? f ( x) 且 ∴ m?2x ? (0,??) 恒成立,由 （2） 知存在唯一实数 a ? (2,3) ,? 使 g (a) ? 0 且 当 0 ? x ? a 时 ， g ( x )g ( x ) ,∴ f ' ( x) ? 0 . ? 0∴ 当 x ? a 时, f ( x ) 取得最小值 f (a ) ?0 ， ∴f ' ( x) ? 0 ， 当 x ? a 时 ，(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] a∵ g (a) ? 0 , ∴ a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 ? 1 ? ln(a ? 1) ? a . 于是， f (a) ? a ? 1. ∵ a ? (2,3) , ∴ f (a) ? (3, 4) ∴ n ? 3 ,故正整数 n 的最大值为 3.题组五1.（2009 宣威六中第一次月考）已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间 [?1, 2] 上是减函3 2数，那么 b ? c （ A．有最大值 答案 BB） B．有最大值 ?15 215 2C．有最小值15 2D．有最小值 ?15 2472.（2009 枣庄一模）如果函数 f ( x) ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第一、二、四象 限，不经过第三象限，那么一定有 （ A． 0 ? a ? 1且b ? 0 C． a ? 1且b ? 0 答案 B 3.（2009 韶关一模）已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ，若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的解，且 ） B． 0 ? a ? 1且0 ? b ? 1 D． a ? 1且b ? 0?1? ? 3?x0 ? x1 ? x0 ，则 f ? x1 ? 的值为A．恒为正值答案 AB．等于 0C．恒为负值D．不大于 0) 4.（2009 玉溪一中期中）已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ，且 f ( x ?1 的反函数恰好为 f ?1 ( x ? 1) 。若 f (1) ? 3999 ，则 f (2009) ? 答案 1991 ．R 5.（2009 上海十四校联考） 已知 f ( x)是定义在 上的函数， f (1) ? 1, 对任意的x ? R 都 且有下列两式成立：f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1.若g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则g (6) 的值为答案 1 6.（2009 上海八校联考）某同学在研究函数 f ( x) ? 结论： ①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立； ②函数 f ( x ) 的值域为 (?1, 1) ； ③若 x1 ? x2 ，则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ； ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。 （请将你认为正确的结论的序号都填上） 答案 ①②③48x ( x ? R) 时，分别给出下面几个 1? | x |3 2 7.（2009 青岛一模）已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ?3 (a ? R 且 a ? 0) ,求函数 f (x) 的极 a大值与极小值.2 2 解：由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3ax( x ? ) a令 f ?( x) ? 0得 x ? 0, 或x ?2 a当 a ? 0 时，随 x 的变化， f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下：xf ' ? x?? ??,0?+0 0 极大? 2? ? 0, ? ? a?-2 a0 极小?2 ? ? , ?? ? ?a ?+f ? x?? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?3 4 3 ?2? ， f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?当 a ? 0 时，随 x 的变化， f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下：xf ' ? x? f ? x??2? ? ? ??, ? a? ?-2 a0 极小?2 ? ? ,0? ?a ?+00 极大?0,???-f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?3 4 3 ?2? ， f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a? 3 4 3 ?2? ， f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ； a a a ?a??总之，当 a ? 0 时， f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?当 a ? 0 时， f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?3 4 3 ?2? ， f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?1 8.（2009 宣威六中第一次月考）设函数 f (x) =－ x 3 ? 2ax2 ? 3a 2 x ? b, 0＜ a ＜1。 3（1）求函数 f (x) 的单调区间、极值。 （2）若当 x ? ?a ? 1, a ? 2? 时，恒有 f ?(x) ≤ a ，试确定 a 的取值范围。 解： （1） f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ，2 2令 f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a 得 x=a 或 x=3a2 249由表xf ?( x )f ( x)（ ??, a ） － 递减?α 04 3 a ?b 3（ a,3a ） + 递增3α 0 b（ 3a, ?? ） － 递减可知：当 x ? (??, a) 时，函数 f ( x )为减函数，当 x ? (3a,??) 时，函数 f（ x ）也为 减函数：当 x ? (a,3a) 时，函数 f( x )为增函数。 （2）由 f ?(x) ≤ a ，得－ a ≤－ x 2 ? 4ax ? 3a 2 ≤ a 。∵0＜ a ＜1， ∴ a +1＞2 a ，f ?(x ) =－ x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[ a +1， a +2]上为减函数。∴[ f ?(x) ]max = f ′( a +1)=2 a －1,[ f ?(x) ]min= f ′( a +2)=4 a －4.于是，问题转化为求不等式组 ? 解不等式组，得?2a ? 1 ? a 的解。 ?4a ? 4 ? ?a4 4 ≤ a ≤1。又 0＜ a ＜1， ∴所求 a 的取值范围是 ≤ a ≤1。 5 59.（2009 上海闸北区）设 f ( x) ?a ? 2x ，其中实常数 a ? ?1 ． 1? 2x（Ⅰ）求函数 f (x) 的定义域和值域； （Ⅱ）试研究函数 f (x) 的基本性质，并证明你的结论． 解： （Ⅰ）函数 f (x) 的定义域为 Rf ( x) ??1? 2x ? 2 a ?1 ? ?1 ? x ， x 1? 2 2 ?1x x 当 a ? ?1 时，因为 2 ? 0 ，所以 2 ? 1 ? 1 ，0?a ?1 ? a ? 1 ，从而 ? 1 ? f ( x) ? a ， 2x ?1所以函数 f (x) 的值域为 (?1, a) ． （Ⅱ）假设函数 f (x) 是奇函数，则，对于任意的 x ? R ，有 f (? x) ? ? f ( x) 成立，即a ? 2?x a ? 2x ?? ? (a ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ? a ? 1 ?x x 1? 2 1? 250? 当 a ? 1 时，函数 f (x) 是奇函数．当 a ? ?1 ，且 a ? 1 时，函数 f (x) 是非奇非偶函数． ? 对于任意的 x1 , x2 ? R ，且 x1 ? x 2 ，(a ? 1)2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? 当 a ? ?1 时，函数 f (x) 是递减函数． (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )10.（2009 重点九校联考）已知指数函数 y ? g( x ) 满足：g(2)=4， 定义域为 R 的函数 f ( x ) ?? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m（1）确定 y ? g( x ) 的解析式； （2）求 m，n 的值； （3）若对任意的 t ? R ，不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立，求实数 k 的取值范围。 解： （1）y ? g( x ) ? 2 x? 2x ? n （2）由（1）知： f ( x ) ? x ?1 2 ?m因为 f ( x ) 是奇函数，所以 f (0) =0，即n?1 ?0? n?1 2? m∴ f ( x) ?1 ? 2x ， 又由 f（1）= -f（-1）知 2 x ?1 ? m1 1? 1? 2 2 ?m?2 f ( x) ? ?? 4? m m?1（3）由（2）知 f ( x) ?1 ? 2x 1 1 ?? ? x ， x ?1 2?2 2 2 ?1易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x ) 是奇函数，从而不等式：f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ，2 2 因 f ( x ) 为减函数，由上式推得： t ? 2t ? k ? 2t即对一切 t ? R 有： 3t ? 2t ? k ? 0 ，251从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 11.（2009 日照一模）已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 。3 21 3（I）若函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 处有极值-6，求 y ? f ( x) 的单调递减区间； 解： （I） f '( x) ? 3x ? 2ax ? b2? f '(2) ? 0 ? f (2) ? ?6 依题意有 ?5 ? ?a ? ? , ?12 ? 4a ? b ? 0, 2 ? ? ?b ? ?2 8 ? 4a ? 2b ? ?6. 解得 ? 即?? f '( x) ? 3x2 ? 5x ? 21 ? ?x?2 由 f '( x) ? 0 ，得 3? y ? f ( x) 的单调递减区间是1 (? , 2) 3? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, （Ⅱ）由 ??2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0. 得?不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 得?不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由??a ? 0, ? b ? ?1. 得??Q 点的坐标为（0，-1） ．z?设b , a ? 1 则 z 表示平面区域内的点（ a , b ）与点P(1, 0) 连线斜率。52? KPQ ? 1,由图可知 z ? 1 或 z ? ?2 ，b ? (??, ?2] ? [1, ??) 即 a ?112. 2009 玉溪一中期末） （ 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 5, 若x ?3 22 时, y ? f ( x) 有极值， 3且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 3。 （Ⅰ ）求函数 f (x) 的解析式； （Ⅱ ）求 y ? f (x) 在[－4，1]上的最大值和最小值。 解： （1） f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. …………1 分2 2 2 ? ? 2 ?a ? 2, ? f ( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意，得 ? 解得 ? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?(1) ? 3 ?12 ? 2a ?1 ? b ? 3. ?所以， f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5.3…………4 分…………5 分（2）由（1）知 f ?( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2). ，令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ?2 . 3…………6 分xf ?(x) f (x)函数值－4（-4，-2） +－2 0 极大值2 (?2, ) 3－2 30 极小值2 ( ,1) 3+1－111395 274? f (x) 在[－4，1]上的最大值为 13，最小值为－11。 …………12 分13.（2009 枣庄一模）设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b( x ? R, )其中a, b ? R.4 3 2（1）当 a ? ?10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性； 3, （2）若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 求a 的取值范围；53（3）若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立，求 b 的取值范围。 解： （1） f ?( x) ? 4x 3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4).10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 2当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表：xf ?(x)f (x)(??,0)单调递减0 0 极小值1 (0, ) 2+ 单调递增1 20 极大值1 ( ,2) 2单调递减2 0 极小值(2,??)+ 单调递增所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数， 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数 （2） f ?( x) ? x(4x ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根。 42 21 21 2? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根，2? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.解此不等式，得 ?8 8 ?a? , 3 3这时， f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]2 注：若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0.进而得到 a的范围为 [? , ] ，扣 2 分。8 8 3 38 8 3 3（3）由（2）知，当 a ? [?2,2]时,4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。2( 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 ??,0]上是减函数， f 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 (?1).12 分a 又? 对任意的 ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。54? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4.因此满足条件的 b的取值范围是 ??,?4). (2009 年联考题一、选择题 1.（2009 泉州市）函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 （ ）1 1 A. ? , ? ? ? ?8 4? 1 1 B. ? , ? ? ? ? 4 2?C. ? ,1? ? ?1 ?2 ?D.(1,2)答案 C 2.（2009 厦门二中） lg x ? A． (0, 1] 答案 B 3.（2009 莆田一中）若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范31 ? 0 有解的区域是 xC． (10, 100]（ D． (100, ? ?)）B． (1, 10]围是 A. ? ?2, 2 ?答案 A（ B. ? ?2, 2? C. ? ??, ?1? D. ?1, ?? ?）4. （ 沈 阳 市 回 民 中 学 学 年 度 上 学 期 高 三 第 二 次 阶 段 测 试 文 科 ） 函 数f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为w..（ B． （0，1） D． （1，e））A． （－1，0） C． （1，2）答案 B 二、填空题 5.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图55象如下所示：给出下列四个命题： ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 答案 ①③④ 6.（2009 龙岩一中）我市某旅行社组团参加香山文化一日游， 预测每天游客人数在 50 至 130 人之间，游客人数 x （人）与游客的消费总额 y （元）之间近似地满足关系： ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 ． （将所有正确的命题序号填在横线上）.y ? ? x2 ? 240x ? 10000 ．那么游客的人均消费额最高为_________元．答案 40 7.(安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测)函数 f ( x) ? ? x ? log 2 x 的零点 所在区间为 A． [0, ] 答案 三、解答题 8. （ 2009 福 州 八 中 ） 某 造 船 公 司 年 造 船 量 是 20 艘 ， 已 知 造 船2 31 8B． [ , ]1 1 8 4C． [ , ]1 1 4 2D． [ ,1]1 2Cx 艘的产值函数为R(x)=3700x+45x -10x （单位：万元） ，成本函数为 C(x)=460x+5000（单位：万元） ，又 在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 （Ⅰ）求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)； （提示：利润=产值成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （Ⅲ）求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意 义是什么？ 解 （ Ⅰ ） P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +,(x ? N , 且 1 ≤ x ≤ 20);563 2 *MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275，(x ? N ,且 1≤x≤19) （Ⅱ） P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0＜x＜12 时 P?(x) ＞0,当 x＜12 时， P?(x) ＜0. ∴x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大． （Ⅲ）∵MP（x）=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305, 所以，当 x≥1 时，MP（x）单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且 x ? N* 2 22*MP( x) 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．9.（2009 福建省）已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国 际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部 分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5％,并且每年给每位 待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1％时,留岗员 工每人每年可为企业多创利润(1-81 )万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工 1％时,留 100 x岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待 岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵,∴当 0&x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%81 324 )-0.5x=-5(x+ )+0 x x∴x≤100,∴当 20&x≤100 且 x∈N 时,y=(2000-x)(3.5+0.x=-4.. ∴y??324 ? ) ? 9000.81, (0 ? x ? 20且x ? N), ?? 5( x ? x ?? 4.9595 x ? 8919, (20 ? x ? 100且x ? N). ?当 0&x≤20 时,有324 )+9000.81≤-5×2 324 +0.81, x 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. xy=-5(x+ 当 20&x≤100 时,函数 y=-4. 为减函数, 所以 y&-4.9=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元.57即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.58 三年高考两年模拟――数学函数、方程及其应用―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。