向量的点积和叉积积到底什么关系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-04-04 10:18 标签： 二叉树叶子节点关系
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D7_2点积叉积-线性代数
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向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
两个向量a和b的叉积写作a × b（有时也被写成a ∧ b，避免和字母x混淆）。叉积可以被定义为：
在这里θ表示'a和b之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a、b所在平面均垂直的单位矢量。
这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么 -n也满足。
“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k)的左右手定则。若 (i, j, k)满足右手定则，则 (a, b, a × b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。
一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。
矩阵形式：
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式： i × j = k j × k = i k × i = j
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设 a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3] b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3]
则 a × b = [a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1]   (这个式子可以用来方便地计算平面法向量)
上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。关于四元数的信息可以参考。高等数学2.8-2点积叉积.8-2?????,点积和叉积,高等数学知识..
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3秒自动关闭窗口【Unity3D】浅谈Vector3的点积与叉积
zuoyamin| 09:51|次浏览|
一、点积（又称“数量积”、“内积”）
& & 1、理论知识
& &在数学中，点积的定义为a·b=|a|·|b|cos&a,b& 【注：粗体小写字母表示向量，&a,b&表示向量a,b的夹角，取值范围为[0，π]】。从定义上，我们知道向量的点积得到的是一个数值。而不是向量（这点大家要注意了！要与叉积进行区别）。另外点积中的夹角&a,b&没有顺序可言，即&a,b&=&b,a&（或a·b=b·a）。所以我们可以通过点积得到两个向量之间的夹角。&a,b&= arccos(a·b / (|a|·|b|))。并且通过点积的正负值，我们可以判断两个向量的方向关系。如果为正，即&0，他们夹角为（0，π/2）。如果为负，夹角为（π/2,π）。
& &2、Unity3D中应用
& &在Unity中，点积表示为Vector3.Dot(Vector3,Vector3):float——参数为2个向量，返回值为浮点型。
using UnityE
using System.C
public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {
void Start()
//向量的初始化
a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向，长度为3
b = new Vector3(Mathf.Sqrt(2), Mathf.Sqrt(2), 0);//（根号2，根号2，0）
void OnGUI()
//点积的返回值
float c=Vector3.Dot(a,b);
//向量a,b的夹角,得到的值为弧度，我们将其转换为角度，便于查看！
float angle=Mathf.Acos( Vector3.Dot(a.normalized,b.normalized))*Mathf.Rad2D
GUILayout.Label("向量a，b的点积为：" + c);
GUILayout.Label("向量a，b的夹角为：" + angle);
a.normalized表示该方向的单位向量，即方向与向量a相同，长度为1的向量。Mathf.Acos()即数学中的arccos()函数。Mathf.Rad2Deg表示将弧度转化为角度。
结果如下图：
二、叉积（又称“向量积”、“外积”）
& &1、理论知识
& &数学上的定义：c=axb【注：粗体小写字母表示向量】其中a,b,c均为向量。即两个向量的叉积得到的还是向量！
& &性质1：c⊥a，c⊥b，即向量c垂直与向量a,b所在的平面。
& &性质2：模长|c|=|a||b|sin&a,b&
& &性质3：满足右手法则。从这点我们有axb ≠ bxa，而axb = - bxa。所以我们可以使用叉积的正负值来判断向量a，b的相对位置，即向量b是处于向量a的顺时针方向还是逆时针方向。
& &2、Unity中应用
& &在Unity中，叉积表示为Vector3.Cross(Vector3,Vector3):Vector3——参数为2个向量，返回值也为向量。
using UnityE
using System.C
public class Vector3_Cross : MonoBehaviour {
void Start()
//向量的初始化
a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向，长度为3
b = new Vector3(0, 4, 0);//y轴方向，长度为4
void OnGUI()
//叉积的返回值
Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);
Vector3 d = Vector3.Cross(b, a);
//向量a,b的夹角,得到的值为弧度，我们将其转换为角度，便于查看！
float angle = Mathf.Asin(Vector3.Distance(Vector3.zero, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized))) * Mathf.Rad2D
GUILayout.Label("向量axb为：" + c);
GUILayout.Label("向量bxa为：" + d);
GUILayout.Label("向量a，b的夹角为：" + angle);
Vector3.Distance()用于计算2个Vector3的距离，在这里我们可以得到叉积向量的模长。
结果如下图：
来自：csdn

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