x≥,y≥0导数 不等式恒成立4ax≤e^[x+y-2]+e^[x-y-2]+2恒成立求a的最大值

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-04-10 22:15 标签： 不等式求最大值
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已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：梅州一模
（I）当a=1时，f(x)=12x2+lnx(x＞0)，f′(x)=x+1x可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为f(1)=12，要使?x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是[12，+∞)（2）已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即(a-12)x2+lnx-2ax＜0恒成立．设g(x)=(a-12)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))．即g（x）的最大值小于0.g′(x)=(x-1)(2a-1-1x)（1）当a≤12时，g′(x)=(x-1)(2a-1-1x)＜0，∴g(x)=(a-12)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为减函数．∴g（1）=-a-12≤0∴a≥-12∴12≥a≥-12（2）a≥1时，g′(x)=(x-1)(2a-1-1x)＞0．g(x)=(a-12)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当12＜a＜1时，g（x）在(1，12a-1)上为减函数，在(12a-1，+∞)上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是[-12，12]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式..”考查相似的试题有：
891800890199412978496735561146864717设不等式组x+y-2大于等于0,x-3y+6大于等于0,x-y小于等于0,表示的平面区域为D,若直线kx-y+k=0上存在区域D上的一点,则K的取值范围是________百度作业帮
设不等式组x+y-2大于等于0,x-3y+6大于等于0,x-y小于等于0,表示的平面区域为D,若直线kx-y+k=0上存在区域D上的一点,则K的取值范围是_______
上存在区域D上的一点,则K的取值范围是_______
[1/2,&2]见图,x+y-2=0&为蓝线,x+y-2≥0是该线以上部分x-3y+6&=0为红线,x-3y+6&≥&0是其以下的部分x-y=0为绿线,x-y≤0为其以上部分该不等式组表示的平面区域为图中涂蓝的部分(含边).其3个顶点为(1,&1),&(3,&3),&和（0,2）.kx-y+k=0y&=&k(x+1)该直线总过(-1,&0).&根据图形,可以设想该直线从x轴开始,绕(-1,&0)逆时针旋转.显然在它过(1,&1)时,斜率k开始满足条件：1&=&k(1+1),&k&=&1/2设想该直线继续绕(-1,&0)逆时针旋转.显然在它过(0,&2)时,斜率k最后满足条件：2&=&k(0+1),&k&=&2即1/2&≤&k&≤&2不等式组x+y-2≤0,x-y+2≥0,y≥a 表示的平面区域的面积是4根号2,则a=_百度作业帮
不等式组x+y-2≤0,x-y+2≥0,y≥a 表示的平面区域的面积是4根号2,则a=
建议你把x+y-2≤0,x-y+2≥0,y≥0 表示的区域画出来你就能看出这是一个三角形区域啦~希望能帮到你

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