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已知数列{an}满足a1=2,an+1·an(n∈N+).(1)求a2,a3,并求数列{an}的通项公式.(2)设cn=,求证:c1+c2+c3+…+cn&.
题型：解答题难度：中档来源：不详
(1)an=n2·2n(n∈N+)&&&(2)见解析【解题指南】解答第(1)题的关键是根据an+1=2an(n∈N+)证明数列为等比数列.第(2)题证明的关键是选准放缩的标准.解:(1)因为a1=2,an+1=2·an(n∈N+),所以a2=2×·a1=16,a3=2×·a2=72.又因为=2·,n∈N+,所以为等比数列.所以=·2n-1=2n,所以an=n2·2n(n∈N+).(2)cn==,所以c1+c2+c3+…+cn=+++…+&+++·=+·&+·=+==&=,所以结论成立.
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=2,an+1·an(n∈N+).(1)求a2,a3,并求数列{an}的..”主要考查你对&&不等式的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
不等式的定义及性质
不等式的定义：
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“&”“&”“ ≤”“≥”及“≠”。
&严格不等式的定义：
用“&"“&”连接的不等式叫做严格不等式。
非严格不等式的定义：
用“≤”和“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．特别提醒：a=b，a&b中，只要有一个成立，就有a≥b．不等式的性质：
（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a； （2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c； （3）如果a＞b，那么a+c＞b+c； （4）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc； （5）如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d； （6）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； （7）如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）； （8）如果a＞b＞0，那么（n∈N，n≥2）。 不等关系与不等式的区别：
不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“&…&…≤”“≥”来表示，也可以用语言表述；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a&b”‘a&b”“a≥b a≤b”等式子来表示，不等关系是通过不等式来体现的．不等式的分类：
①按成立的条件分：a．绝对不等式：不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式；b．条件不等式：不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式；c．矛盾不等式：不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式；②按不等号开口方向分：a．同向不等式：不等号方向相同的两个不等式；b．异向不等式：不等号方向相反的两个不等式．
发现相似题
与“已知数列{an}满足a1=2,an+1·an(n∈N+).(1)求a2,a3,并求数列{an}的..”考查相似的试题有：
887741620838243380748581825464800946均值不等式的证明
均值不等式的证明设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢!!!!
你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把
对n做反向数学归纳法
归纳n=2^k的情况
k=1 。。。
k成立 k+1 。。。
这些都很简单的用a+b&=√(ab) 可以证明得到
关键是下面的反向数学归纳法
如果n成立 对n-1，
你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)
然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。
n=2^k中k是范围
第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数
一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。
而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，
指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”
我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。
sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n
两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n
(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：
柯西不等式变式：
a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可
(2)柯西不等式
(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2
[竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例]
2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)
(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)
令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数&0,或从图象上直接观察]
nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥
f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an
也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)
(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同号]≥0
2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an
=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...
≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重复操作n次]≥...≥2na1a2...an
即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n&1+nx这个不等式，不予介绍
3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n
左边=n次根号[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根号+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根号[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]
由2得 和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n
所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b
1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2 两边平方 a^2+b^2≥(a+b)^2/4 即证 (a/2-b/2)^2≥0 显然成立
2.(a+b)/2≥sqrt(ab) 移项 即证 (sqrt(a)-sqrt(b))≥0 显然成立
此不等式中 a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=r sqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半
3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b 两边同时乘上 1/a+1/b 即证 sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2
而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2[由上一个不等式]。编辑提醒:请注意查看“均值不等式的证明”一文是否有分页内容。原文地址
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注：均值不等式的证明一文由免费提供，来源于网络。本文著作权归原作者所有，请在转载引用时保留。否则因《》一文引起的法律纠纷请自负,。设数列{an}的各项都是正数,且对任意n属于N*都有a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3=Sn^2,其中Sn为数列{an}的前n项和1）求证：an^2=2Sn-an2)求数列{an}的通项公式 通项an=n3）设bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^an.（C为非零整数,n属于N*)试确定C的值,使得{b_百度作业帮
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n属于N*都有a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3=Sn^2,其中Sn为数列{an}的前n项和1）求证：an^2=2Sn-an2)求数列{an}的通项公式 通项an=n3）设bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^an.（C为非零整数,n属于N*)试确定C的值,使得{b
其中Sn为数列{an}的前n项和1）求证：an^2=2Sn-an2)求数列{an}的通项公式 通项an=n3）设bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^an.（C为非零整数,n属于N*)试确定C的值,使得{bn}为单调增函数求第三问解析
第3问：∵ an=n,
∴ bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^n要使{bn}单调递增,则有 bn+1＞bn
(n∈N*)即: 3^(n+1)+(-1)^n*C*2^n＞3^n+(-1)^(n-1)*C*2^n∴ 3^(n+1)-3^n＞(-1)^(n-1)*C*[2^(n+1)+2^n]∴ 2*3^n＞(-1)^(n-1)*C*3*2^n∴ 3^(n-1)/ 2^(n-1)＞(-1)^(n-1)*C
即 (3/2)^(n-1)＞(-1)^(n-1)*C
由于不等式的左边是单调递增的,因此要使该不等式成立,只需不等式右边小于左边的最小值即可.当n=1时, (3/2)^(n-1)=1,应有(-1)^(n-1)*C=C＜1当n=2时, (3/2)^(n-1)=3/2,应有(-1)^(n-1)*C=-C＜(3/2),
即 C＞ -(3/2）所以要使得{bn}单调递增,需有-(3/2)＜C＜1.
又∵ C为非零整数,故而C=-1.【另外,第二问的求解过程应当是会得到an-an-1=1, 即an是一个以1为公差的等差数列.由于a1未知,可以利用等差数列的求和公式和通项公式,带入步骤一中已证明的等式,可以解出a1=1,因而得到了an=n】
1)an ^ 3 = Sn ^ 2 - Sn-1 ^ 2整理可得2)由1)知，an ^ 2 - an-1 ^ 2 = an + an-1，所以，an=an-1，所以是任意常数，设为a, 那么带入题目最开始的式子，有an=n3)单调增函数，就直接求吧
为什么是增函数
因为当n越大，3^n的增长幅度要远远大于2^n所以，在足够大的n以后一定是单调增函数，所以，只需要处理好前面的项就行了（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列{根号bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅲ）设Sn=1/a1+1/a2+…+1/an，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-bn/an恒成立，求实数a的取值范围．-乐乐题库
& 等差数列与等比数列的综合知识点 & “（2011o杭州二模）已知正项数列&#1...”习题详情
240位同学学习过此题，做题成功率68.7%
（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列{√bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅲ）&设Sn=1a1+1a2+…+1an，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-bnan恒成立，求实数a的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-杭州二模
分析与解答
习题“（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15...”的分析与解答如下所示：
（I）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2√bn=√bn-1+√bn+1，利用等差数列的定义得证（II）利用等差数列的通项公式求出√bn，求出bn，an．（III）先通过裂项求和的方法求出Sn，代入2aSn＜2-bnan化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．
解：（I）由已知，得2bn=an+an+1①，an+12=bnobn+1②．由②得an+1=√bnbn+1③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2bn=√bn-1bn+√bnbn+1．即2√bn=√bn-1+√bn+1．∴{√bn}是等差数列．（4分）（Ⅱ）设数列{√bn}的公差为d，由a1=10，a2=15．经计算，得b1=252，b2=18．∴√b1=52√2，d=√b2-√b1=3√2-52√2=√22．∴√bn=52√2+(n-1)o√22=√22(n+4)．∴bn=(n+4)22，an=(n+3)(n+4)2．（9分）（Ⅲ）由（1）得1an=2(n+3)(n+4)=2(1n+3-1n+4)．∴Sn=2[(14-15)+(15-16)++(1n+3-1n+4)]=2(14-1n+4)．不等式2aSn＜2-bnan化为4a(14-1n+4)＜2-n+4n+3．即（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0．设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a-1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a-1=0，即a=1时，满足条件；当a-1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为x=-3(a-2)2(a-1)＜0，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a-15＜0．解得a＜154，∴a＜1．综上，a≤1．（14分）
证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．
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（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，...
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经过分析，习题“（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15...”主要考察你对“等差数列与等比数列的综合”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列的综合．
与“（2011o杭州二模）已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15...”相似的题目：
已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．（Ⅰ）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若k＞0且k≠1，问是否存在常数m，使数列{bn}是公比不为1的等比数列？请说明理由；（Ⅲ）或k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）的值．
有一个项数为10的实数等比数列{an}，Sn（n≤0）表示该数列的前n项和．（1）当2＜k≤10时，若Sk，S10，S7成等差数列，求证ak-1，a9，a6也成等差数列；（2）研究当k∈{3，4}时，Sk，s10，S7能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由．
已知三个数x，y，z成等比数列，x+y，y+z，z+x成等差数列，则等比数列的公比q为（　　）-21-2或12或1
“（2011o杭州二模）已知正项数列&#1...”的最新评论
该知识点好题
1设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是&&&&．
2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式&&&&成立．
3在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
该知识点易错题
1已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an=bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
3在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜512．
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an=n , 若函数f(n)=1/(n+a1)+1/(n+a2)+……+1/(n+an) (n∈N,且n>=2),求函数f(n)的最小值?
f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2nf(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2(n+1)∴f(n+1)-f(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0∴f(n+1)>f(n),即f(n)单调增∴f(n)最小值为f(2)=1/3+1/4=7/12