两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
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两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：
方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法
设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠1＝β，则∠＝α－β．
过点P作PM⊥轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．
过点P作PA⊥1，垂足为A，过点A作AB⊥轴，垂足为B，再过点P作PC⊥，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠＝∠1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．
综上所述，.
&&& 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.
&& &说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法
在△OPQ中，∵，
&&& 说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.
方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法
设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..
根据三角形面积公式，有，
∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.
(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；
(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ；
(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
&&& 说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.
(五)应用数量积推导余弦的差角公式
在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).
由向量数量积的概念，有.
由向量的数量积的坐标表示，有
&&& 说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.
综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深.
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除了用向量，是否还有其他方法证明两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
补充：谁会用有诱导公式证明
这个是证明sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB的网址& 意思应该一样吧
老刘 我从网上找的
证明如下:cos(A-B)=AD/AB=AD& ①cosA=AC/AB=AC& ②sinA=BC/AB=BC& ③cosB=AE/AC&& ④sinB=CE/AC联立①③可知& cosB=AE/cosA& 即cosAcosB=AE.所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB& 又AD=AE+ED& 即只要证明sinAsinB=ED即可即要证明BC*CE/AC=ED即要证明CE/AC=ED/BC注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF即可以证明CE/AC=EF/CF即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB
这个也是 虽然不知着调不
的感言：突然在问问里冒出来 急忙看你Id不认识是谁。。猴子你是证明帝
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理工学科领域专家404 Not Found
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nginx/1.4.4“两角差的余弦公式”教学特色
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两角差的余弦公式是本章的基础和出发点．上好这节课很不容易，因为在教学处理上面临三个难点：一是怎样想到先研究这个公式；二是怎样猜想、发现这个公式；三是怎样证明这个公式．但胡小莉老师很好突破了这些难点．我感觉，这节课有如下五个特点：
第一，教学目标定位高、立意新．
人不是一生下来就聪明的，而是通过不断教育变得聪明起来．数学是思维的体操，数学教育应该在促进学生思维发展方面承担更多的责任．本节课以两角差余弦公式的探究为载体，以培养和发展学生的思维为教学的着力点，进行了精心的、富有创意的设计．具体表现在：(1)紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”．既重视问题提出的自然性与合理性，也重视问题解决的自然性与合理性．(2)教学重心前移．强化了公式的发现和证明的过程．整节课四分之三左右的时间用于问题的提出、猜想的发现、证明思路的探讨．(3)强化了学生对数学思想方法和思维方法的感悟．教学中，教师在公式证明后和课堂小结时两次引导学生对探究的思路和方法进行总结．(4)针对通常作业中存在的模仿性太强，而创新性不足的问题，教师将通常的单纯做课后习题改为探究性、创新性作业，包括两角和余弦公式证明的探究、两角和与差正弦公式证明的探究，真正体现了学生自主探究知识、构建知识的教学理念． 作业分层次，并给学生一定的自主选择的空间，体现了让不同的学生学不同的数学、得到不同的发展的理念．(5)借用名家名言对学生进行数学精神和数学文化的熏陶，激发学生探究和创新的积极性．
第二，教学设计遵循教材、超越教材．
本节课在遵循教材总的设计思路、框架的前提下，在一些具体的细节上作了调整．遵循教材体现在：一是学习的内容、要求没有变；二是探究的整个框架没有变，第一步是猜想结果，第二步是证明结果，并且猜想和证明的思路也没有变．超越教材体现在：一是问题的引入作了调整．教材由实际问题引入，显得有些生硬，并且离本节课的主题较远，学生理解起来比较吃力、费时，而教师改成由诱导公式直接引出，显得自然、干脆．二是研究和思维的切入点作了调整．教材直接提出两角差的余弦公式问题，回避了为什么要先研究这个问题、怎样想到先研究这个问题，而教师处理是先探究得出两角和的正弦余弦公式，在正弦公式证明思维受阻、余弦公式与向量数量积公式相近的情况下，自然地发现两角差的余弦公式．三是在对简单情况进行讨论得出猜想的细节上作了改进．教材是作角、、，但教师在处理时是作角、、+，从而使得探究的思路更加自然、更贴近学生的原有知识结构．四是根据学生的实际水平，对课外作业做了调整和补充．
第三，数学思维展开如高山流水，自然、流畅．
本节课教师在问题的提出、解决、拓展等方面都十分注意这一点．教师紧紧抓住思维的 “关键点”，非常重视引导和帮助学生搞清楚“为什么”和“怎样想到”这两方面的问题：如为什么要研究这个问题，用怎样的思路和方法研究这个问题，如何用特殊值推翻初步猜想，怎样想到在角都是锐角的情况下放在直角三角形中讨论，怎样想到要作这样的辅助线，怎样观察与联想，怎样想到用向量的数量积公式证明猜想，如何完善证明的思路与方法，怎样拓展问题，等等．整个课教师真正做到了让数学思维在教学中自然地流淌，达到了有效“教思维”的目的．
第四，探究过程真实、自然，师生互动充分．
学生在教师的指导、帮助下，自己提出接近研究水平的真实问题，再用接近研究水平的方式进行探究．这突出表现在：一是关注问题的提出和解决的自然性与合理性，采用了课堂随机生成、自然进入的方式先解决两角差的余弦公式，力求还原真实的、曲折的探究过程，再现了科学研究中经常遇到的“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的现象；二是在搞清楚探究和解决问题的大框架、证明的主导思想的前提下进行探究，避免了探究的盲目性，同时有助于学生思维的发展；三是在整个探索过程中充分体现了“证明与反驳”的思想：提出初步猜想----举反例反驳----再次提出新的猜想----取任意角验证----给出严格的逻辑证明----得到数学公式．课堂上，教师注意保证学生思考、讨论的时间，让学生充分表达自己的观点、看法、思路与感悟，真正做到了学生在教师的指导下自主探究、建构知识．另外，教师力求通过波利亚、高斯等大家的名言，来强化一般性的探究的思路与方法，激发学生探究的欲望，增强他们探究的信心．
第五，有效地利用了难点，突破了难点，突出了重点．
教师教学时不仅把着力点放在猜想提出和猜想证明思路的寻找上，并且围绕学生的思维难点进行了有效的指导，达到了利用难点、突破难点、突出重点、发展思维的目的．例如在发现猜想遇到困难的时候，指导学生以退为进，从简单的、特殊的情况开始探究；在对角为锐角的情形进行讨论时，指导学生化陌生为熟悉，把角放在直角三角形中，并用“割补法”求出两角和正弦、余弦的三角函数线；在已经得到探求结果的情况下，指导学生通过观察表达式的组成及其结构特征，联想到单位圆上点的坐标、向量的数量积公式，进而转化为向量问题加以解决；在证明思路初步基本明确但不够清晰、完整的情况下，指导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别，进而给出严格的证明．另外，为了使课堂上的生成更自然，过程更充分，并有效地突破难点，教师把重要的探究过程、推理过程都在黑板上板书，而不是用多媒体播放．
总之，本节课教学定位清晰合理，数学思维自然流畅，学生探究真实自然，学习效果优质高效，是一节亮点纷呈、高品质、高效益的数学课，值得大家很好地学习和研究．
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