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在问题中，拉格朗日乘数法（以数学家命名）是一种寻找受一个或多个条件所限制的多元的的方法。这种方法将一个有n
个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量，即拉格朗日乘数：约束方程的（gradient）的里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到，或，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
先看一个二维的例子：假设有函数：f(x,y)，要求其极值（最大值/最小值），且
c 为常数。对不同dn的值，不难想像出
的等高线。而方程g的等高线正好是g(x,y) =
c。想像我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下f和g的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想像此时我们移动g
= c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说dn可以变大或变小。只有当g
= c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g =
c和走。这种情况下，会出现或。
气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。
用的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：
且λ ≠ 0.
一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。
新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y)
- c总等于零。
如f定义为在Rn上的方程，约束为gk（x）=
ck（或将约束左移得到gk(x)&-&ck =
0）。定义拉格朗日Λ为
注意极值的条件和约束现在就都被记录到一个式子里了：
拉格朗日乘数常被用作表达最大增长值。原因是从式子：
中我们可以看出λk是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。就使用到这个原理。
拉格朗日乘数法在被推广。
求此方程的最大值：
f(x,y) = x2y
同时未知数满足
x2 + y2 = 1
因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ.
g(x,y) = x2 +
Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) =
x2y + λ(x2 + y2 - 1)
将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：
2xy + 2λx = 0
x2 + 2λy = 0
x2 + y2 - 1 = 0
求此的最大：
所有概率的总和是1，因此我们得到的约束是g（p）= 1即
可以使用拉格朗日乘数找到最高熵（概率的函数）。对于所有的k 从1到n，要求
计算出这n个等式的微分，我们得到：
这说明pi都相等 (因为它们都只是λ的函数). 解出约束∑k
pk = 1，得到
因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。
约束最优化在占有很重要的地位。例如一个的选择问题可以被视为一个求在下的最大值问题。拉格朗日乘数在经济学中被解释为，设定在某种约束下，在这里即收入的。
拉格朗日乘数就是效用函数在最优解出对收入的偏导数，也就是在最优解处增加一个单位收入带来的效用增加，或者说在最优解处有效用衡量收入的价值，称之为收入的边际效用。
在企业生产问题中，拉格朗日乘数用来衡量要素投入变动所带来的收入变动，du/dm=λ,u表示效用函数或生产函数，m表示收入或要素投入。
在具体数学推导中还可以运用包络定理的内容。
/yysblog/archive//2221987.html
关于不等式约束条件可以参考以下资料
最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件：/view/cdc02a649bc74615.html
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f(x0) = max_{a,b} min_x L(a,b,x) = max_{a,b} min_x f(x) + a*g(x) + b*h(x) = max_{a,b} f(x0)+a*g(x0)+b*h(x0) = f(x0)
可以看到上述加黑的地方本质上是说 min_x f(x) + a*g(x) + b*h(x) 在x0取得了最小值，用fermat定理，即是说对于函数 f(x) + a*g(x) + b*h(x)，求取导数要等于零，即
f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+ b*h(x)的梯度 = 0
这就是kkt条件中第一个条件：L(a, b, x)对x求导为零。
而之前说明过，a*g(x) = 0，这时kkt条件的第3个条件，当然已知的条件h(x)=0必须被满足，所有上述说明，满足强对偶条件的优化问题的最优值都必须满足KKT条件，即上述说明的三个条件。可以把KKT条件视为是拉格朗日乘子法的泛化。
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历史上的今天
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用拉格朗日不定乘子法推导多元系相平衡的热力学条件
摘　要：本文用拉格朗日不定秉子法推导出三元系的二相平衡和三相平衡的热力学条件，并加以推广，得到多元系相平衡的热力学条件的普遍表达式。lglr_interplotion 拉格朗日插值的MATLAB程序。需要的来下载。
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&[] - 研一刚上完数值分析，自己写了几个算法的子函数，可以直接调用，参数的含意在文件中有说明，这五个算法分别是：拉格朗日插值，hermite插值，Newton插值，修正hamming算法，龙贝格加速算法。希望能够对大家有所帮助。您所在位置： &
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【毕业论文】浅谈拉格朗日中值定理的应用.doc6页
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【标题】浅谈拉格朗日中值定理的应用
【作者】彭 江 湖
【关键词】拉格朗日中值定理函数不等式极限方程的根
【指导老师】陶 维 安
【专业】小学教育
【正文】1?引言中值定理在高等数学中占有极其重要的地位,它是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的统称。这些定理的共同的特点是：函数?在一定的条件下，在给定的区间中，至少存在着一点（即中值点），使得在此点处的导数与函数在区间上的增量存在着某种特定的等式关系。另外中值定理也是微分学的重要理论基础，也是应用微分学研究函数形态的重要定理之一；它是沟通函数及其导数之间的桥梁；是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具。通常，应用导数研究函数的性质都要直接或间接地借助于中值定理，特别是导数的许多重要应用都是建立在中值定理的基础之上，许多理论性证明也都要用到中值定理。表现得尤其显著的是拉格朗日中值定理（也称有限增量定理）：它建立了函数在一个区间上的改变量和函数在这个区间内某点处的导数之间的联系。故本论文也仅就中值定理中最重要的拉格朗日中值定理的应用进行论述，来解决一些典型的数学问题。2?拉格朗日中值定理的理论阐述2.1?拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数?满足以下条件：（1）?在闭区间?上连续；?（2）?在开区间?内可导，则函数?在?内至少存在一点?使得有下列等式成立?2.2?拉格朗日公式的不同表示形式在上述定理结论中的等式?称为拉格朗日公式，在更多的情形下表示为以下几种常见的等价表示形式：?=?；（1）=（2）?=（3）?，?介于?与?之间（4）?；（5）值得注意的是，拉格朗日公式（
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