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多元函数积分学
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1．概念部分
二重积分．应明确二重积分表示一个数值，明确二重积分的几何意义与物理意义．& 2．计算部分
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　　设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
　　这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
　　同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
　　性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
　　性质2 （积分满足数成
　　设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
　　这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
　　同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
　　性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
　　性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
　　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
　　性质1与性质2合称为积分的线性性。
　　性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
　　推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
　　性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
　　则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
　　性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ
　　性质6 二重积分中值定理
　　设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
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大家还关注被积函数中出现sinx/x,sinx~2,e~(-x)~2,e~(y/x),siny/x等函数时二重积分的计算--《高等数学研究》2008年02期
被积函数中出现sinx/x,sinx~2,e~(-x)~2,e~(y/x),siny/x等函数时二重积分的计算
【摘要】：通过利用分部积分与二次积分交换积分顺序这两种方法,讨论了被积函数中出现sinx/x′sinx~2,e~(-x)~2,e~(y/x),siny/x等函数时二重积分的计算
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172【正文快照】：
在计算二重积分时,需要把二重积分转化为二次积分.当被积函数中出现sixnx,sinx2,e-x2,exy,sinxy等函数时,若先对x积分的话,由于上述函数的原函数不能用初等函数表示,所以在这种积分顺序下是不能计算出其结果的.这时候,教师一般是告诉学生先画出积分域的图形,然后交换积分顺序
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2015考研数学考前重要知识点回顾:高等数学
　　导读：在2015年考研倒计时之际，对于的一些重要知识点，你是否都已经复习好了呢？下面，我们一起将这些重要的知识点梳理一遍，回顾一下，看看哪些重要的知识点是自己还没有复习到位的吧！　　第一章 函数、极限与连续　　1、函数的有界性　　2、极限的定义(数列、函数)　　3、极限的性质(有界性、保号性)　　4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)　　5、函数的连续性　　6、间断点的类型　　7、渐近线的计算　　第二章 导数与微分　　1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)　　2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表：“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)　　3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))　　第三章 中值定理　　1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)　　2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)　　3、积分中值定理　　4、泰勒中值定理　　5、费马引理　　第四章 一元函数积分学　　1、原函数与不定积分的定义　　2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)　　3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))　　4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)　　5、定积分的计算　　6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)　　7、变限积分(求导)　　8、广义积分(收敛性的判断、计算)　　第五章 空间解析几何(数一)　　1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)　　2、直线与平面的方程及其关系　　3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法　　第六章 多元函数微分学　　1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义　　2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系　　3、多元函数偏导数的计算(重点)　　4、方向导数与梯度　　5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)　　6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线　　第七章 多元函数积分学(除二重积分外，数一)　　1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)　　2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)　　3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)　　4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)　　5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))　　6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)　　7、场论初步(散度、旋度)　　第八章 微分方程　　1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解　　2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)　　3、应用(由几何及物理背景列方程)　　第九章 级数(数一、数三)　　1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)　　2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)　　3、交错级数的莱布尼兹判别法　　4、绝对收敛与条件收敛　　5、幂级数的收敛半径与收敛域　　6、幂级数的求和与展开　　7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)　　以上就是的重要知识点，建议各位考生在考试之前按照这个列表再梳理一遍，对于还没有掌握好知识点，一定要抓紧时间攻克!　　相关推荐：　　　　　　　　
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