某同学在研究函数y=f（x）（x≥1，x∈N）的性质，他已经正确地证明了函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），并且当1≤x≤3时，f（x）=[1-|x-2|]，这样对任意x≥1，他都可以求f（x）的值了，比如f（3×）=3f（）=3[1-|-2|]=1，f（54）=33f（3）=27，请你根据以上信息，求出集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45．【考点】．【专题】压轴题；新定义．【分析】由f（3x）=3f（x）将f（99）递推下去求得18，再利用f（3x）=3f（x）递推得到f（x）=33f（）=27[1-|-2|]=18，然后分类讨论去绝对值求解．【解答】解：根据题意：f（99）=3f（33）=32f（11）=33f（）=34f（）=81[1-|-2|]=18∴f（x）=33f（）=27[1-|-2|]=18当时，27×[-1]=18解得：x=45当时，27×[3-]=18解得x=63∴集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是 45故答案为：45【点评】本题是一定义题，要严格按照题目要求转化为已知的问题去解决，本题涉及到定义及绝对值方程的求法．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.32真题：4组卷：3
解析质量好中差数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和._百度作业帮
数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和.
数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和.
(1)a4=3a3 3^4-1=365∴a3=95a3=3a2 3^3-1=95∴a2=29a2=3a1 3^2-1=29∴a1=7(2)设bn=(an λ)/3^n要使其为等差数列则bn-b(n-1)为一个常数bn-b(n-1)=(an λ)/3^n-[a(n-1) λ]/3^(n-1)把an=3a(n-1) 3^n-1代入得：bn-b(n-1)=1-(1 2λ)/3^nλ是实数,不能是关于n的代数式∴1 2λ=0∴y=-1/2 (3)待定系数法：an-k=3[a(n-1)-k]化简,得：an=3a(n-1)-2k=3a(n-1) 3^n-1∴k=(1-3^n)/2∴数列{an-(1-3^n)/2}是以8为首项,3为公比的等比数列根据等比数列求和公式求出Tn之后Tn (1-3^1)/2 (1-3^2)/2 …… (1-3^n)/2即可得到数列{an}的前n项和Sn数字信号处理1)数字信号处理
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3秒自动关闭窗口数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和._百度作业帮
数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和.
数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n&=2),其中a4=365 1.求a1,a2,a32.若存在一个实数λ,使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列,求λ值;3.求数列{an}的前n项和.
(1)a4=3a3 3^4-1=365 ∴a3=95 a3=3a2 3^3-1=95 ∴a2=29 a2=3a1 3^2-1=29 ∴a1=7 (2)设bn=(an λ)/3^n 要使其为等差数列 则bn-b(n-1)为一个常数 bn-b(n-1) =(an λ)/3^n-[a(n-1) λ]/3^(n-1) 把an=3a(n-1) 3^n-1代入 得：bn-b(n-1)=1-(1 2λ)/3^n λ是实数,不能是关于n的代数式 ∴1 2λ=0 ∴y=-1/2
(3)待定系数法：an-k=3[a(n-1)-k] 化简,得：an=3a(n-1)-2k=3a(n-1) 3^n-1 ∴k=(1-3^n)/2 ∴数列{an-(1-3^n)/2}是以8为首项,3为公比的等比数列 根据等比数列求和公式求出Tn 之后Tn (1-3^1)/2 (1-3^2)/2 …… (1-3^n)/2即可得到数列{an}的前n项和Sn【原创】二阶非齐次线性递推数列例题一道_巨大暗黒卿吧_百度贴吧
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1楼 19:07&|
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已知a0=-1，a1=1，an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n（n&=2），求an.解：（一）特徵方程法（不可行）注：此题试图利用纯粹的特徵方程法，将原数列化成二阶齐次线性是解不出的对于二阶线性an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n其特徵方程为x^2=2x+3特徵根为x=-1或3令bn=an+A*3^n（A为常数）bn=2*b(n-1)+3*b(n-2)an+A*3^n=2*(a(n-1)+A*3^(n-1))+3*(a(n-2)+A*3^(n-2))又an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n可发现A是无解的，所以用特徵方程法是解不出的一般的，如果二阶非齐次线性：a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+c*k^2（其中n∈N*，p,q,c,k均为常数）那么，其特徵方程为x^2-px-q=0当特徵方程不存在特徵根x=1,x=k时可令bn=an-c*k^(n+2)/(k^2-pk-q)此时满足b(n+2)=p*b(n+1)+q*bn这样，就将二阶非齐次线性转化成了二阶齐次线性递推数列.以上结论的证明并不复杂，此处略过.显然，此题若想构造二阶齐次线性特徵方程x^2=2x+3存在特徵根x=3由于3为其中一个特徵根3^2-2*3-3=0故而无法构造成二阶齐次线性.则若想直接使用特徵方程法，此路行不通.
2楼 19:08&|
（二）构造等比数列1对于二阶线性an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n其特徵方程为x^2=2x+3特徵根为x=-1或3an-3*a(n-1)=-a(n-1)+3*a(n-2)+3^n令an-3*a(n-1)+K*3^n=-(a(n-1)-3*a(n-2)+K*3^(n-1))=-a(n-1)+3*a(n-2)+3^n+K*3^n解得K=-3/4an-3*a(n-1)-3^(n+1)/4=-(a(n-1)-3*a(n-2)-3^n/4)a1-3*a0-3^(1+1)/4=1+3-9/4=7/4an-3*a(n-1)-3^(n+1)/4=(7/4)*(-1)^(n-1)an-3*a(n-1)=3^(n+1)/4+(7/4)*(-1)^(n-1)3*a(n-1)-9*a(n-2)=3^(n+1)/4+(7*3/4)*(-1)^(n-2)9*a(n-2)-27*a(n-3)=3^(n+1)/4+(7*3^2/4)*(-1)^(n-3)…3^(n-1)*a1-3^n*a0=3^(n+1)/4+(7*3^(n-1)/4)*(-1)^0an-3^n*a0=an+3^n=(7/4)*3^(n-1)*((-1/3)^n-1)/(-1/3-1)+3^(n+1)*n/4解得an=((4n-3)*3^(n+1)-7*(-1)^n)/16（n∈N*）（三）构造等比数列2对于二阶线性an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n其特徵方程为x^2=2x+3特徵根为x=-1或3an+a(n-1)=3*(a(n-1)+a(n-2))+3^n(an+a(n-1))/(3^n)=(a(n-1)+a(n-2))/(3^(n-1))+1(a1+a0)/(3^1)=(1-1)/3=0(an+a(n-1))/(3^n)=n-1an+a(n-1)=(n-1)*3^nan+a(n+1)=n*3^(n+1)a(n+1)-a(n-1)=(2n+1)*3^nan-a(n-2)=(2n-1)*3^(n-1)n为偶数时an=a0+3*3^1+7*3^3+11*3^5+…+(2n-1)*3^(n-1)a0=-1由an=((4n-3)*3^(n+1)-7)/16n为奇数时an=a1+5*3^2+9*3^4+13*3^6+…+(2n-1)*3^(n-1)a1=1由an=((4n-3)*3^(n+1)+7)/16综上所述，对于一切n∈N*an=((4n-3)*3^(n+1)-7*(-1)^n)/16
3楼 19:08&|
（四）母函数法a0=-1，a1=1，an=2*a(n-1)+3*a(n-2)+3^n（n&=2）设f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n+…-2x*f(x)=-2*a0*x-2*a1*x^2-…-2*a(n-1)*x^n+…-3*x^2*f(x)=&&&
-3*a0*x^2-…-3*a(n-2)*x^n+…将三式相加，可得(1-2x-3*x^2)*f(x)=-1+3x+3^x*x^2+…+3^n*x^n+…=-1+3x/(1-3x)=(6x-1)/(1-3x)f(x)=(6x-1)/((1+x)*(1-3x)^2)=A/(1+x)+B/((1-3x)^2)+C/(1-3x)令x=-1，可得A=-7/16令x=1/3，可得B=3/4令x趋于无穷大，可得C=3*A=-21/16f(x)=-7/(16*(1+x))+3/(4*(1-3x)^2)-21/(16*(1-3x))=(-7/16)*∑(n=0——无穷大)[(-1)^n*x^n]+(3/4)*∑(n=0——无穷大)[C(n+1)(1)*x^n]-(21/16)*∑(n=0——无穷大)[3^n*x^n]=∑(n=0——无穷大)[((4n-3)*3^(n+1)-7*(-1)^n)/16]*x^n故对于一切n∈N*an=((4n-3)*3^(n+1)-7*(-1)^n)/16
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