a,b为同型矩阵的秩怎么求,试证a≌b当且仅当它们秩相等

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-04-28 23:55 标签： 低秩矩阵
（一）：矩阵A和B的秩相等,且同型,求证A与B相似（二）：A与B相似则能推出A与B合同,而合同推不出相似,为何?（三）：A与B合同A与B有相同的正负惯性指数,为何?_百度作业帮
（一）：矩阵A和B的秩相等,且同型,求证A与B相似（二）：A与B相似则能推出A与B合同,而合同推不出相似,为何?（三）：A与B合同A与B有相同的正负惯性指数,为何?
（二）：A与B相似则能推出A与B合同,而合同推不出相似,为何?（三）：A与B合同A与B有相同的正负惯性指数,为何?
（一）.没听说过什么叫同型（二）.两边都推不出（三）.实对称矩阵才有这个性质
大学数学啊，不好意思，考研过去一年了，都忘了
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A是n阶矩阵
则A的行列式等于B的行列式？
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P逆AP=B&&A是n阶矩阵&&则A的行列式等于B的行列式？
应该只能得出A和B的秩相等吧
还有请问A和B相似 以及A与B等价是什么关系？
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可以推出行列式相等啊 |p逆|=1/|p| 两边取行列式就出来了
相似和等价的定义自己看书啊
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相似=》等价，反过来就不能了
俺想换头像~
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2楼谬解，A的行列式和B的行列式不相等，行列式的值也不可能相等，P可逆看成一系列初等矩阵，右乘A即对A做列变换，不改变A矩阵的秩, 所以AP=B 只能得出A与B 等价，即秩同。矩阵相似看书去。
[ 本帖最后由 nucjank 于
08:58 编辑 ]
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回复 4楼 nucjank 的帖子
1. |P‘AP|=|P|'|A||P|=|A|=|B|
& &或者，相似=》特征值相同=》行列式相等
2. P可逆，所以P'AP进行对A进行初等行列变换，不改变秩 r(A)=r(B)
3. 相似一定等价，等价不一定相似。
&&再有相似P'AP=B 因为P必定是方阵，所以A跟B也一定是方阵。土一点，因为相似必联系到特征值，算特征值必用行列式，所以A必定是方矩阵。
&&等价是经过初等变换PAQ=B,可以如下 (m*m)(m*n)(n*m)=(m*n),所以A可不为方阵
相似PQ=E,等价PQ不一定等于E,只要P,Q都可逆既可。
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回复 5楼 kando163 的帖子
我看错题目了，以为楼主说的是P可逆，然后AP呢，这题简单，没什么说的了。
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等价是秩相等，相似特征值相等
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等价是PAQ﹦B& && &其中 P,Q可逆 。 亦即rA﹦rB&&；A ，B同型矩阵
相似是P﹣?AP﹦B
等价不一定相似& &&&因为秩相等不一定特征值相等
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基础概念，楼主自己看书去，特征值都相等了，行列式还不等？
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你可能喜欢设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．【考点】；．【分析】充分性：利用反证法进行证明；必要性：证明AB+BTA的特征值均大于0．【解答】解：“必要性”（<=）利用反证法进行证明．反设：r（A）＜n，则|A|=0．于是λ=0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即：Ax=0（x≠0），所以：xTAT=0．从而：xT（AB+BTA）x=xTABx+xTBTAx=0，与AB+BTA是正定矩阵矛盾，故假设不成立．所以，秩（A）=n．“充分性”（=>）因为&r（A）=n，所以A的特征值λ1，λ2，…，λn全不为0．取矩阵B=A，则：AB+BTA=AA+AA=2A2，它的特征值为：12，2λ22，…，2λn2全部为正，所以AB+BTA是正定矩阵．【点评】本题考查了判断正定的充要条件．常用的判断实对称矩阵A正定的充要条件有两个：（1）正定矩阵的定义，即对于任意的非零向量x，都有xTAx＞0；（2）其特征值均为正．该题的证明中利用了上述两个充要条件．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.50真题：1组卷：0
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1、问：“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？”答.doc15页
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1、问:“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系?”
答:矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。因此,两个不同型的矩阵是不可能等价的;两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示,于是,它们各自所含向量的个数可能是不一样的.例如二维向量组A: 与二维向量组B:是等价的。但前者只含一个向量;而后者含有无穷多个向量。
两矩阵的等价与两向量组的等价,两者的联系在于:
1 若矩阵A经初等行变换变成B,即A与B行等价,则A与B的行向量组等价;若A经初等列变换变成C,即A与C列等价,则A与C的列向量组等价;若A既经初等行变换又经初等列变换变成D,那么矩阵A与D等价,但A与D的行向量组与列向量组未必等价。
2 反过来,设两列向量组等价。若它们所含向量个数不相同,则它们对应的两个矩阵是不同型的,因而不等价;若它们所含向量个数相同(例如都含有m个).那么它们对应的两个nxm矩阵(这里n为向量的维数)列等价,从而一定等价,但不一定行等价.例如向量组A:与向量组B:等价,它们对应的矩阵,列等价,从而A与B等价,但非行等价。类似地,若两个含向量个数相同的行向量组等价,则它们对应的两矩阵行等价,从而一定等价,但不一定列等价。
2、问:为什么“初等行变换保持矩阵的行向量组等价,而列向量组不等价?”和“初等行变换保持矩阵的列向量组中对应向量的线性相关性不变,而行向量组中对应向量的线性相关性可能改变”。
答:先说明“初等行变换保持矩阵的行向量组等价,而列向量组不等价”。
设为矩阵,且经过行变换变成。把分别按行分块,设
分三种情况:
显然向量组与向量组等价;
显然向量组与向量组等价;
显然向量组与向量组等价。
综上,经过一次行变换变成,则与的
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