n阶行列式计算方法的探讨--《中国科技投资》2013年Z4期
n阶行列式计算方法的探讨
【摘要】：总结了计算n阶行列式的典型方法与技巧,对提高学生的解题效率,提高课堂教学质量具有一定的意义。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O151.22【正文快照】：
一、引言行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,也是线性代数学习过程中的一个难点。针对这一问题,本人结合自己的教学实践和学习体会,给出了计算行列式的几种典型方法,发现在教学过程中效果不错,可以很好地帮助学生解决这一难题.。对提高学生的解题效率,提高课堂教学质量
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京公网安备74号计算一个复杂的行列式,一定是要化成三角形行列式,再主对角线乘机求吗?还有什么方法&_百度作业帮
计算一个复杂的行列式,一定是要化成三角形行列式,再主对角线乘机求吗?还有什么方法&
方法多种, 一般有:按定义用性质化上(下)三角形,上(下)斜三角形按行列展开定理(结合行列式的性质)Laplace展开定理加边法递归关系法归纳法特殊行列式(如Vandermonde行列式, 箭形行列式)析因子法计算行列式的常见方法_百度文库
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计算行列式的常见方法
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叙述几种行列式的计算方法
08-12-22 &匿名提问 发布
化为上三角行列式,即依次消去第二三四列的第一个元素,再消去三四列的第二个元素,再消去第四列的第三个元素,然后行列式的值就是对角线乘机 例如消去第二三四行的第一列元素方法: A B C D E F G H I J K L M N O P = A B C D 0 -ABF/E -ACG/E -ADH/E 0 -ABJ/I -ACK/I -ABL/I 0 -ABN/M -ABO/M -ABP/M 再用第二列乘以某数消去第三列的第二个元素-ABJ/I,然后依次类推(过程你自己算把^^),换算成三角行列式就好了 1.递推法 例1 求行列式的值：
（1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是
上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n – 2 阶行列式，这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：
（2） 移项，提取公因子β：
类似地： （递推计算） 直接计算
若；否则，除以后移项：
再一次用递推计算：
（3） 当β = α，从
从而。 由（3）式，若。 ∴
注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3） 和三对角线型行列式
（4） 有相同的递推关系式
（6） 注意
的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有
由（4）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故
计算n阶范德蒙行列式行列式
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积
2．拆元法 例3：计算行列式
①×（x + a）
②×（x – a）
3．加边法 例4
计算行列式
分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解
4．数学归结法 例5 计算行列式
猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：
故命题对一切自然数n成立。
5.消去法求三对角线型行列式的值 例6 求n阶三对角线型行列式的值：
（1） 的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。 解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为
其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为
再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为
类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的倍，则第n行变为
最后所得的行列式为
（2） 上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
93） 又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。
注3 一般的三对角线型行列式
（4） 也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。
6 乘以已知行列式 例7 求行列式的值：
称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为 解 设1的立方根为，即
其中i是虚数单位，又 右乘以行列式
（1） 用，得
故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子 和 于是
因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得 。
注4 在n阶的一般情形，设1的n次方根为
则得行列式的值为 这里的是由构成的n阶循环行列式：
7 利用线性代数方程组的解 例8 求n阶行列式的值：
（1） 的构造是：第i行的元顺次为
又第n行的元顺次为。 解 （1）的行列式与凡德蒙行列式
（2） 的比值可以看成线性代数方程组
（3） 的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式 但方程组（3）又可以看成n次多项式方程
（4） （t是未知数，看作系数）有n个根
用根与系数的关系，即得
8 递推方程组方法 例9 求行列式的值：
（1） 是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x ；主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。 解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n – 1列减第n列，得
（2） 上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x – y）乘一个n – 1阶行列式，这个n – 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是
（3） 若z = y，则上式化为
（4） 类似地有
故可对（4）式递推计算如下：
上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。 把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为
（5） 从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相减得
注5 当z = y时，行列式也可以用极限计算：
又行列式当z = y时可以用余式定理来做。
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行列式化简计算总是算不对，有什么方法吗
多看书上例题 搞定课后练习
行列式化简可用行列交替
可利用行列式展开定理降阶
矩阵一般用行变换
只有特殊情况才用列变换
求梯矩阵或行简化梯矩阵: 只用行变换
求等价标准形 可混用
解矩阵方程(XA=B): 只用列变
解矩阵方程(AX=B): 只用行变
求矩阵的逆: 只用行变
求极大无关组: 只用行变
求线性表示: 只用行变
矩阵的秩: 可混用
解线性方程组: 基本上只用行变换; (列变换只在理论证明时用一下, 目的是调换未知量的顺序)
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