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CRC即（Cyclic Redundancy Check[1]）：是数据通信领域中最常用的一种差错校验码，其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定。循环冗余检查（CRC）是一种数据传输检错功能，对数据进行多项式计算，并将得到的结果附在帧的后面，接收设备也执行类似的算法，以保证数据传输的正确性和完整性。外文名Cyclic Redundancy Check别&&&&称CRC提出者W. Wesley Peterson应用学科计算机科学适用领域范围数据、通讯适用领域范围编码
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码也叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设要发送的信息用多项式C(X)表示，将C(x)左移R位（可表示成C(x)*xR），这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。用 C(x)*xR 除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0’和‘1’取值的多项式一一对应。例如：代码1010111对应的为x6+x4+x2+x+1，而多项式为x5+x3+x2+x+1对应的代码101111。多项式和二进制数有直接对应关系：X的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：X的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
包括生成多项式G(X)和信息多项式C(X)。
如生成多项式为G(X)=X4+X3+X+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 101111，可转换为数据多项式为C(X)=X5+X3+X2+X+1。是接受方和发送方的一个约定，也就是一个，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接收方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
A、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
B、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
C、不同位发生错误时，应该使余数不同。
D、对继续做除，应使余数循环。CRC校验码位数 = 生成多项式位数 - 1。注意有些生成多项式的简记式中将生成多项式的最高位1省略了。1、将X的最高次幂为R的生成多项式G(X)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(X)*2R。
3、用生成多项式（）对信息码做除，得到R位的余数(注意：这里的二进制做除法得到的余数其实是模2除法得到的余数，并不等于其对应十进制数做除法得到的余数。)。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(X)=X3+X+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
1、将生成多项式G(X)=X3+X+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1）(注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(X)左移3（R）位变成
3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除（高位对齐），相当于按位异或：
------------------
------------------
得到的余位011，所以最终编码为：若设码字长度为N，信息字段为K位，校验字段为R位(N=K+R)，则对于CRC码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g(x)，使得
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);
其中: m(x)为K次原始的信息多项式， r(x)为R-1次校验多项式（即CRC校验和），
g(x)称为生成多项式：
g(x)=g0+g1x1+ g2x2+...+g(R-1)x(R-1)+gRxR
发送方通过指定的g(x)产生CRC码字，接收方则通过该g(x)来验证收到的CRC码字。借助于模2除法则，其余数为校验字段。
例如：信息字段代码为: 1011001；对应m(x)=x6+x4+x3+1
假设生成多项式为：g(x)=x4+x3+1；则对应g(x)的代码为: 11001
x4m(x)=x10+x8+x7+x4 对应的代码记为：；
采用模2除法则: 得余数为: 1010 (即校验字段为：1010）
发送方：发出的传输字段为: 1 0 1 1 0 0 1 1010
信息字段 校验字段
接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）
如果能够除尽，则正确，
给出余数（1010）的计算步骤：
除法没有上的含义，而是采用计算机的模二除法，即除数和被除数做运算。进行运算时除数和被除数最高位对齐，按位异或。
--------------------------
-------------------------
--------------------------
-------------------
则四位CRC校验码就为：1010。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。在代数中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，得到一个数，如果这个余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息编码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP(x) =x3(x3+x2) = x6+x5 G(x)= x3+x+1 即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。
如果用除法(计算机的模二，计算过程为
1110 ------- 0 (1100左移3位) 1011 ----
---- 010 因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 =1100010
如果传输无误，
T(x)= （x6+x5+x）/G(x) = , G(x)= 无余式。回头看一下上面的除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
生成多项式
CRC-8x8+x5+x4+131DS18B20CRC-12
x12+x11+x3+x+1
5E　CRC-16
x16+x15+x2+1
x16+x12+x5+1
ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
x32+x26+x23+...+x2+x+1
ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
x32+x28+x27+...+x8+x6+1
* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。 ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。
（1）生成多项式是标准规定的
（2）CRC校验码是基于将位串看作是系数为0或1的多项式，一个k位的数据流可以看作是关于x的从k-1阶到0阶的k-1次多项式的系数序列。采用此编码，发送方和接收方必须事先商定一个生成多项式G(x)，其高位和低位必须是1。要计算m位的帧M(x)的校验和，基本思想是将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x)除尽。当接收方收到加有校验和的帧时，用G(x)去除它，如果有余数，则CRC校验错误，只有没有余数的校验才是正确的。
(3) 名称 生成多项式 简记式* 标准引用
CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704
CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31
CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07
CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E
CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F
CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC
CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC,ITU X.25,V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP。以下以CRC8x8+x5+x4+1为例说明，其它可以以此类推一个简单的RTL解释，是上文“生成方法”的Verilog描述
module CRC8(EN,data,crc);
parameter WIDTH=12;
output[7:0]
input[WIDTH-1:0]
wire[7:0]poly=8'h31;
//x8+x5+x4+1--&0x131,ignore MSB
reg[WIDTH-1+8:0]crc_
always@(EN)
crc=8'h00;
crc_reg={data,8'h00};
for(len=WIDTH;len&0;len=len-1'b1)
if(crc_reg[WIDTH-1+8])
crc_reg=crc_reg&&1'b1;
crc_reg[WIDTH-1+8:WIDTH]=crc_reg[WIDTH-1+8:WIDTH]^
crc_reg=crc_reg&&1'b1;
crc=crc_reg[WIDTH-1+8:WIDTH];
$display("Convertion done! CRC is: 0x%2x",crc);
endmoduleCRC-8的电路框图[2]
module crc(dataout,datain,clk,rst);
input clk,rst,
DFF a1(clk,dataout,Q7,rst),
a2(clk,Q7,Q6,rst),
a3(clk,Q6,Q5,rst),
a4(clk,Q5,Q4,rst);
xor a5(temp5,Q4,dataout);
DFF a6(clk,temp5,Q3,rst);
xor a7(temp4,Q3,dataout);
DFF a8(clk,temp4,Q2,rst),
a9(clk,Q2,Q1,rst),
a10(clk,Q1,Q0,rst);
xor a11(dataout,Q0,datain);
////////////////////////////////////////
module DFF(clk,D,Q,rst);
input clk,D,
reg Q;Verilog简单测试
always@(posedge clk or posedge rst)
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;为什么不能用 C10 1× C8 1× C6 1/C10 3 这样做?我的意思是一攻10个球 先从10个里_百度作业帮
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比如C10 1取到1,C8 1取到2,C6 1取到3,实质就是取到一个1一个2,一个3.但如 比如C10 1取到2,C8 1取到1,C6 1取到3,实质也是取到一个1一个2,一个3.所以重复了, 一个1一个2,一个3 应该是一种,算了A3 3种了.所以, 每种重复了A3 3种,应该除以A3 3.
各种颜色的先后顺序没有关系的，所以要再除以A3 3，就是（C10 1× C8 1× C6 1/C10 3）/A3 3，就好了
取了之后不用放回去再取吗？
比如C10 1取到1，C8 1取到2，C6 1取到3，实质就是取到一个1一个2，一个3。但如 比如C10 1取到2，C8 1取到1，C6 1取到3，实质也是取到一个1一个2，一个3。所以重复了， 一个1一个2，一个3 应该是一种，算了A3 3种了。所以， 每种重复了A3 3种，应该除以A3 3。答案是 C53 C21 C21 C21/C10 3
这个就不用除？恩，C53从5个数中选3个数，比如1...
恩，C53从5个数中选3个数，比如1,2,3，但1有2个，有C21种取法嘛，同理，2种取一个，3中取一个，取出来就是一个1，一个2，一个3，没有重复，所以不用除
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