1^2+2^2+3^2+4^2_热门日志分享_手机人人网_ > 的分享1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
数学巧解来自許庭瑋的日志&1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?&解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到： (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1&..............................3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.把这n个等式两端分别相加，得：(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,&由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n整理后得： 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 =============================================================有个更有趣的证法：&将1^2+2^2+3^3+&+n^2这些数排成三角形的样子：&12 23 3 3&&&&&&&&&&n n &&&&&&&&& n n在这里第n行的和即为n^2。将三角形分别向左向右旋转120&得到两个新的三角形：n&n n-1&n n-1 n-2&&&&&&&&&&&&&n n-1 &&&&&&&&&&& 2 1n&n-1 n&n-2 n-1 n&&&&&&&&&&&&&&1 2 &&&&&&&&&&& n-1 n将以上三角形同位置的三个数分别相加，得：2n+1&2n+1 2n+12n+1 2n+1 2n+1&&&&&&&&&&&&&&&2n+1 2n+1 &&&&&&&&&& 2n+1 2n+1&前三个三角形的和都为1^2+2^2+3^3+&+n^2，最后一个三角形每个数相同，并且共有n（n+1）/2项，于是和为：n（n+1）/2*（2n+1），有因为是前三 个三角形相加得到，所以：&3（1^2+2^2+3^3+&+n^2）=n（n+1）/2*（2n+1）&即1^2+2^2+3^3+&+n^2=n（n+1）（2n+1）/6。浏览48次&|&&猜你喜欢：热门分享：请求出1^2+2^2+3^2+4^2+………+n2的通项公式_百度知道
请求出1^2+2^2+3^2+4^2+………+n2的通项公式
提问者采纳
2+n 化简得{n*(n+1)*(2n+1)]&#47： (n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n 不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为S，并在两边同时减去相同的项;6 由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以 2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1 3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1 4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1 5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1 … … n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1 (n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1 上面所有式子相加。 则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n&#47：S=n(n+1)*(2n+1)&#47
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出门在外也不愁刚才2) 1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+5*5*5+.n*n*n=[(n+1)*n/2]²_百度作业帮
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刚才2) 1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+5*5*5+.n*n*n=[(n+1)*n/2]²
刚才2) 1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+5*5*5+.n*n*n=[(n+1)*n/2]²
设S=1^2+2^2+.+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+.+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 .(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 因为自然数立方和用到自然数平方和公式,所以一块推到了其实最简单方法是数学归纳法
这个是根据第一步中得出的规律，不需要知道证明的。这种推导题要掌握方法，每次出现的规律都不一样，不过多做几题，找到规律后，会容易上手的多。多次方和公式是什么？ 比如 1^n+2^n+3^n+++++k^n(k,n均属于N*)_百度知道
多次方和公式是什么？ 比如 1^n+2^n+3^n+++++k^n(k,n均属于N*)
，只要把常用的给我就行……也就是六次方以下的通用的也要不要用
复制粘贴的方式敷衍我不要证明！
5n^5+1&#47：0;6n+0：
+5&#47.5n+0;3n^3+0：-1&#47.5n^4
+1&#47.5n^3+0.5n^2n=2;6n^6n=6;3n^7+0.5n^7+1/24n^4
+7&#47：1&#47.5n^2+1&#47：
-1&#47各阶的公式如下;3n^3n=3：
0：-1&#47.25n^2+0;12n^2
-7&#47.25n^4n=4.2n^5n=5;7n^7 n=7;12n^4+0.5n^5+0：1/42n
+0.5n^6+1/12n^6+0;8n^8n=8;15n^5
+2&#47.5n^8+1&#47：n=1
阶乘的公式有什么用？
阶乘是用来计算排列组合的，和本问题没有关系吧？
我要的是多次方和公式，你给我阶乘的我怎么用阶乘的公式，来求多次方和公式
(a+b)^n是可以用阶乘来计算，多次方的和的公式用阶乘表示不大可能吧？比如 n=1：1/2*n(n+1)，就不是阶乘。你是指用连乘的公式吧？
额~~~~你看看上面的人是怎么回答的吧。然后再回答我！P.S.我这是最后一次追问，再追就要耗财富了
1^n+2^n+3^n+++++k^n(k,n均属于N*)，多次方和公式。更新为连乘公式的：n=1：1/2*k*(1+k)n=2：1/6*k*(1+k)*(1+2*k)n=3：1/4*k^2*(1+k)^2n=4：1/30*k*(k+1)*(2*k+1)*(-1+3*k+3*k^2)n=5：1/12*k^2*(k+1)^2*(-1+2*k+2*k^2)n=6：1/42*k*(k+1)*(2*k+1)*(1-3*k+6*k^3+3*k^4)n=7：1/24*k*k*(k+1)^2*(2-4*k-k^2+6*k^3+3*k^4)n=8：1/90*k*(k+1)*(2*k+1)*(-3+9*k-k^2-15*k^3+5*k^4+15*k^5+5*k^6)
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c(n,k)表示从n个数中取k个的组合数。
2^(n+1)=1+c(n+1,1)1^n+c(n+1,2)1^(n-1)+c(n+1,3)1^(n-2)+.....+c(n+1,n+1)
3^(n+1)=2^(n+1)+c(n+1,1)2^n+c(n+1,2)2^(n-1)+c(n+1,3)2^(n-2)+...+c(n+1,n+1)
..............
(n+1)^(n+1)=n^(n+1)+c(n+1,1)n^n+c(n+2,2)n^(n-1)+...+c(n+1,n+1)
上面n个式子相加
(n+1)^(n+1)=1+(n+1)(1^n+2^n+...+n^n)+c(n+2,2)(1^(n-1)+2^(n-1)+...+n^(n-1))+...+c(n+1,n)(1+2+3+...+n)+n
1^n+2^n+...+n^n=(n+1)^n-1/(n+1)-(1/(n+1))(c(n+2,2)(1^(n-1)+2^(n-1)+..+n^(n-1))+...+c(n+1,n)(1+2+3+...+n)+n)
要想知道n次和就要知道n-1次和而1次和=1+2+...+n=n(1+n)/2
因此可递推2次，3次，直到n次
1^2+2^2+...+n^2=(1/6)n(n+1)(n+2)
1^3+2^3+...+n^3=(1/4)n^2(n+1)^2
1^5+2^5+..+n^5=(1/12...
不好意思，你不是自己打得这个我见过
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者数学归纳法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6
证明，方法一：
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.
∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/...
哦，这个我也看见过
你都捡完了，还用问，自己搜吧
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出门在外也不愁1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?_好搜问答
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1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?
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1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
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第9天生活就像海洋，只有意志坚强的人才能达到生命的彼岸。知道了