方程ax=b什么是齐次方程的,当且仅当零向量是它的解:判断是否正确

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-06-10 15:18 标签： 什么是齐次方程
ax=b的线性方程组怎么判断是否有解?_百度作业帮
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ax=b的线性方程组怎么判断是否有解?
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1,b=0时,方程组为齐次线性方程组,系数矩阵A的行列式D≠0时,该方程组只有唯一零解,即其秩R(A)=n(n为未知数个数)时;D=0时,方程组有无穷解,即R(A)&n时.2,b≠0时,方程组为非齐次线性方程组,系数矩阵A与增广矩阵B的秩相当时,即R(A)=R(B)时,方程组有解,R(A)≠R(B)时,方程组无解;R(A)=R(B)&n时,有无穷解,R(A)=R(B)=n时,有唯一零解.非齐次线性方程组AX=B解的形式与矩阵A的秩的关系?我需要了解的是方程组解的形式，如k1x1+k2x2+...+knxn+y，x1,x2...xn是基础解系，我不能确定n的具体数值~_百度作业帮
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非齐次线性方程组AX=B解的形式与矩阵A的秩的关系?我需要了解的是方程组解的形式，如k1x1+k2x2+...+knxn+y，x1,x2...xn是基础解系，我不能确定n的具体数值~
非齐次线性方程组AX=B解的形式与矩阵A的秩的关系?我需要了解的是方程组解的形式，如k1x1+k2x2+...+knxn+y，x1,x2...xn是基础解系，我不能确定n的具体数值~
基础解系所含解向量的个数是:未知量的个数 - A的秩未知量的个数 = A的列数
设A为m*n的矩阵
增广矩阵(A,B)的秩是r'那么 当且仅当 r=r'时 方程有解
r<r'时 方程无解在有解的情况下 若r=n 则方程有唯一解 若r<n则方程有无数解
我问的是解的形式~方程组——一道考研题的分析（关于非齐次线性方程组Ax=b的通解性质的题目选编）
2011年考研数学（三）中的一道选择题，分析下来，觉得特别有味道。请看原题：
从非齐次线性方程组Ax=β的通解的结构以及其特解的构成出发，就可以排除选项（B）、（D）。又选项（C）中的两个参数k1和k2后面的两个向量显然是Ax=β的导出组（又叫对应的齐次线性方程组）Ax=0的解，且容易证明它俩线性无关。至此，从选择题的角度来看，就应该可以排除选项（A）（因为，k2后面的那个Ax=0的解向量不能由k1后面的解向量线性表示！），进而，正确答案只能是选项（C）。但是，我们完全可以问一下自己，能否从正面解释为什么选项（C）就是正确答案呢？！
要解释选项（C）是正确答案，就是要证明矩阵A的秩r(A)=1.那么如何获得这个结果呢？到目前为止，可以知道导出组Ax=0的基础解系中含有的向量个数n-r(A)=3-r(A)
≥2，进而得到r(A)≤1.但是，又该如何得到r(A)就等于1呢？好像所有条件都用遍了，还能怎么办呢？
解题至此，让我忽然想起，题目并没有告诉我们Ax=b恰有三个线性无关的解，若是换成“恰有三个线性无关的解”这个条件，能不能推出导出组Ax=0的基础解系一定含有
3-1=2个解呢？用更一般的语言来描述，就是下列命题是否一定成立：
我是在跃升拓展班的课堂上提出了这个问题，而且我知道，就算我建议同学们课下考虑这个问题，但肯定有人会在下课前的时间里挑战这道题目。果然，课间休息的时候，就有同学上来跟我描述她的一个想法——以实例的形式告诉我她觉得这个命题是正确的。其实，在下课前的讲课过程中，我也在抽空思考这道问题，然后觉得这个命题应该是正确的，并努力尝试构思一个一般的证明……
现在来介绍前面那道考研真题的r(A)等于1的证明（其实很简单，^_^）：因为Ax=β有解，所以r(A)=
r(A|β)，又β不等于0,所以r(A|β)≥1。于是，r(A)≥1。结合前面的结论，即得r(A)=1，故而，k1和k2后面的两个向量就构成了Ax=0的基础解系，所以，选项（C）正确！
评注：这道考研真题的每一个条件，特别是细微的小条件，都在发挥作用。比如A的列数“3”标明了方程组Ax=β的未知数的个数；连“非齐次线性方程组”都被用上了——β不等于0。所以，不能忽视任何一个小的细节。我一直认为，一道好的题目，不在于多难或是不得不使用什么高深的技巧，而是在于用到了3—4个“拐弯”的知识点，最关键的还是，单独看这些知识点，它们都已为同学所掌握，但需要的恰是对它们相互之间关系的灵活而又综合的运用。
好了，关于后一个命题的证明，留给读者思考，稍后奉上我和同学合作的证明哈^_^
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。设α1，α2，α3是非齐次线性方程组AX=B的三个解，则下列向量中，（　　）仍是AX=B的解．A．α1-α2B．α1-2α2+α3C．1+α2-3D．α1-α2+α3【考点】．【分析】直接将四个选项的向量代入AX看是否等于B，即可判断．【解答】解：由题意，Aαi=B（i=1，2，3），则①选项A．A（α1-α2）=0，故A错误；②选项B．A（α1-2α2+α3）=0，故B错误；③选项C.1+α2-12α3)=2B，故C错误；④选项D．A（α1-α2+α3）=B，故D正确．故选：D．【点评】此题考查非齐次线性方程组解的结构，非常基础．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：老师　难度：0.80真题：1组卷：0
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内容提示：7 已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是其导出组Ax=0的一个基础解系,C1,C2为任意常数,则方程组Ax=b的通解可以表为( )
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