怎么推导出单自由度小阻尼系统对初始速度位移公式推导和初始位移的响应

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-06-24 09:32 标签： 自由度高的单机游戏
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单自由度体系-1
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17电子设备振动环境设计之理论基础02
§2.电子设备振动理论基础；振动系统按其力学模型特点分为离散系统和连续系统；2.1单自由度系统振动；２．１．１离散振动系统的力学模型；任何一个离散振动系统均由三个基本部分组成：振动位；图2．1安装在线性隔振器上的电子设备图2．2电子；如需进一步讨论设备中各个插箱(1，2,3,4)和；2.3；所示的离散多自由度系统；单自由度系统在初始位移或初始速度激励下的振动
§2. 电子设备振动理论基础 振动系统按其力学模型特点分为离散系统和连续系统。离散系统具有有限个自由度，连续系统具有无限个自由度。振动系统的自由度数定义为完全描述其运动状态所需的独立坐标的个数。单自由度线性振动系统是离散振动系统中最简单的一种。尽管将复杂系统简化为最简单的数学模型来分析具有较大的近似性，但是对单自由度系统深入研究不仅可以建立振动理论分析的基本概念，而且也为研究线性多自由度振动系统和连续系统打下了基础。在求解大多数线性多自由度系统振动特性时，我们往往可通过模态分析技术将它们简化为一组互不相关的二阶线性微分方程，并且其中每一个方程均类似于单自由度系统的方程。
系统对仅受初始激励的响应称为自由振动；系统受连续振动激励而对外部作用力的响应称为强迫振动，系统受到瞬态激励，其力、位置、速度或加速度响应发生突然变化的现象称为冲击。2.1 单自由度系统振动２．１．１ 离散振动系统的力学模型任何一个离散振动系统均由三个基本部分组成：振动位移与弹性恢复力相联系的弹性元件(k)、振动速度与阻尼力相联系的阻尼元件(c)和振动加速度与惯性力相联系的质量(m)。安装在线性隔振器上的电子设备(图2．1所示)，如仅讨论设备垂向振动特性时，便可以将它简化为(图2．2所示)的力学模型。设备的总质量m和隔振器弹簧刚度k、阻尼c便分别构成图2．2所示的由一个质量m、一个线性阻尼元件c和一个线性弹簧k组成的单自由度系统。图2．1安装在线性隔振器上的电子设备
图2．2电子设备的力学模型如需进一步讨论设备中各个插箱(1，2,3,4)和机架(5)各自的振动特性，便成为图2.3 所示的离散多自由度系统。由于该系统具有5个质量，并需要5个独立座标才能确定它们的振动状态，故它们是五自由度线性系统。 ２．１．２ 单自由度系统的自由振动单自由度系统在初始位移或初始速度激励下的振动称为自由振动．如将图2．2中的阻尼c略去，便构成了无阻尼单自由度系统(如图2．4a所示)。 图2．3
五自由度系统
图2．4无阻尼单自由度系统 1) 无阻尼单自由度系统的自由振动 a) 运动微分方程线性弹簧k加上质量m自原始位置被重力压缩?s后，处于静平衡位置，此时mg?k?s。取该位置为座标原点o(图2．4a)，若使质量m有一向下的位移z (图2.4b)，则由牛顿第二定律得???k(z??s)?mg
m? 将静平衡位置时的mg?k?s关系式代入上式，得振动微分方程如下：??kz?0 z
m?令k/m??n2，则上式可写为讨论单位质量运动状态的归一化方程： ???n2z?0
?n系统固有振动角频率（rad/s）。系统振动频率fn??n/2?(Hz)，系统振动周期T?1/fn?2?/?n(s)。 b) 运动微分方程式通解 设通解为z?Acos(?nt)??
A 是响应振幅；?是相位角。A和? 由初始位移和初始速度确定： ?0/?n)2
A?z02?(z?0
tg???nz0/z3
b )2）有阻尼单自由度系统的自由振动 系统的阻尼一般可分为结构阻尼、粘性阻尼、干摩擦阻尼和电磁阻尼等几类。本节主要讨论存在粘性阻尼时的振动情况。 a) 粘性阻尼系统粘性阻尼振动系统如图2.2所示,其振动微分方程为??cz??kz?0
阻尼系数(N?s/m)。定义为系统（设备）有单位速度变化量时?m/s?所受到的阻力（N）。??bebt,???b2ebt
。代入式(2-4)中有特征方程
z令z?ebt,zb2?令??cb?k/m?0
(2.5) mc(阻尼系数),?n2?k/m,则式2.4a可改写为
2mb2?2?b??n2?0
(2.6)其根为
b1,2????2??n2
讨论：① 小阻尼情况（???n）
小阻尼系统振动特点z?c1eb1t?c2eb2t
(2.7)z?c1e??????i?n??????t??c2e??????i?n??????t?（2.8）?0确定。整理后有 ?zc1和c2由初始条件t?0时,zt?0??z0和zt?0z?Be??tcos??dt???
（2.9a）?0/?d2
B?z02?z?0??z0?
tg??z0n2??2/?z?d?n2??2小阻尼系统的振动（如图 2.5 所示）具有下列二个特点： (a)振动频率?d减小，似周期Td略有增大。Td?2?/?d?2?/?0?D2?T0/?D2
(b)振幅按指数衰减，其表示式为B1?Be??t1
B2?Be???Td?t1?相邻振幅比?为
（2.11a） B2对数减幅系数?为
（2.11b） 因此有
??且?n为 ?n?4?2??2Td(rad/s)
(2.12)?Td（2.11c）当系统质量为m时，则可由(2.11)和(2.12)两式求得系统的刚度k，阻力系数c和阻尼比Dm(4?2??2)
（N/m）Td2c?2m?/Td
D??/?n??/4?2??2② 大阻尼情况(???n)当???n时，特征方程(2.6)有两个不相等的实根。此时的系统不再振动，其通解为
z?Be??tsh(2??n2t??)
(2.13)z0?2??n2?02z式中
（度）?0z???n22 ③ 临界阻尼情况(???0)当???0时，特征方程有二个相等的实根,即b1,2???。此时系统也不会振动。其通解为z?e??t(c1?c2t)?0??z?由初始条件可确定c1?z0,c2??z0。故有?0??z
z?e??t?z0??z?t?
(2.14) 0本书中阻尼符号及定义归纳如下：阻力系数c
牛顿?秒／米
(N?s／m) 阻尼系数??c/2m
阻尼比D??/?0
无量纲临界阻力系数
(N?s／m)２．１．３ 单自由度系统的强迫振动本节主要讨论单自由度系统受谐和周期激励和一般周期激励的强迫振动。单自由度系统直接受谐和激励力作用其力学模型如图2.6所示。 图2.6 单自由度强迫振动
??? 曲线 图2.6系统的运动微分方程为??cz??kz?F0cos?t
m?令F0?kAs,As称为当量静变形，则式(2.15)的归一化方程为22???2D?nz???nzz??nAscos?t
(2.16)上式的通解为
z?A1e??nDtcos(?n?D2t??)?Acos(?t??)包含z1的振动状态称为强迫振动的瞬态过程。在时间t足够长后，z1衰减为零，系统进入强迫振动的稳态过程．此时，剩下的z2便是强迫振动的稳态解z，故有z?z2?Acos(?t??)
(2.17)式中：复振幅
A?As，其模 A1?r2?j2Dr22As(2.18a)(1?r)?4D2r2复相位角??arctgj2Dr，其模由下式给出： 1?r22Dr(2.18b) 1?r2?arctg式中
阻尼比D=c/2km
它们具有相同的表达形式。??r曲线如图2.7
所示。由图2.7可见，不论D为何值，在???n(即r?1)时，均有相位角???2存在。这便是利用相位包含各类专业文献、中学教育、应用写作文书、各类资格考试、外语学习资料、17电子设备振动环境设计之理论基础02等内容。　
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