计算曲面积分 xdydz+ydzdx+zdxdy 其中S为曲面z=x2+y2在第一卦限 0≤z≤1部_百度知道
计算曲面积分 xdydz+ydzdx+zdxdy 其中S为曲面z=x2+y2在第一卦限 0≤z≤1部
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系统奖励20（财富值+经验值）+难题奖励30（财富值+经验值）高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心 2013 年 3 月第一次作业学院一、单项选择题 1． limx ?0 y ?0班级姓名学号3xy
?（ D x ? y22） ．（A）3 ； 2（B）0；（C）6 ； 5（D）不存在．? xy , ( x, y) ? (0,0) ? 2．二元函数 f ( x, y) ? ? x 2 ? y 2 在 (0,0) 处（ C ） ． ?0, ( x, y) ? (0,0) ?（A）连续，偏导数存在； （C）不连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （D）不连续，偏导数不存在．3．设 f ( x, y) ? y( x ? 1)2 ? x( y ? 2)2 ，在下列求 f x (1, 2) 的方法中，不正确的一种是 （ B ） ． （A）因 f ( x, 2) ? 2( x ?1) 2, f x( x, 2) ? 4( x ?1) ，故 f x (1, 2) ? 4( x ? 1) |x ?1 ? 0 ； （B）因 f (1, 2) ? 0 ，故 f x (1, 2) ? 0? ? 0 ； （C）因 f x ( x, y) ? 2 y( x ? 1) ? ( y ? 2)2 ，故 f x (1, 2) ? f x ( x, y ) x ?1 ? 0 ；y ?2（D） f x (1, 2) ? limx ?1f ( x, 2) ? f (1, 2) 2( x ? 1)2 ? 0 ? lim ? 0． x ?1 x ?1 x ?14．若 f ( x, y ) 的点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数都存在，则（ C ） ． （A） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有界； （B） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内连续； （C） f ( x, y0 ) 在点 x0 处连续， f ( x0 , y) 在点 y0 处连续； （D） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续．15．设 z ? f ( x, y ),?2 z ? 2 ，且 f ( x, 0) ? 1, f y ( x, 0) ? x ，则 f ( x, y ) 为（ ?y 2B ） ．（A） 1 ? xy ? x 2 ； （B） 1 ? xy ? y 2 ； （C） 1 ? x2 y ? y 2 ； （D） 1 ? x2 y ? y 2 ． 二、填空题4x ? y2 的定义域为 y 2 ? 4x,0 ? x2 ? y 2 ? 1 ． ln(1 ? x 2 ? y 2 )1． z ?2． limx ?0 y ?01 ? 1 ? xy ? xy1/2．3．设 f ( x, y) ? x ? y ? x 2 ? y 2 ，则 f x? (3,4) ? 2/5， f y? (3,4) ? 1/5 4．设 u ? ln(3x ? 2 y ? z ) ，则 du ?3dx ? 2dy ? dz ． 3x ? 2 y ? z．5．设 z ? x y ，则?2 z ? x y?1 ?1 ? y ln x ? ． ?x?y三、计算题 1．已知 z ? y ? f ( x ? 2) ，且当 y ? 1 时 z ? x ，求 f (t ) 及 z 的表达式． 将 y ? 1, z ? x 代入， x ? 1 ? f 有f?x ?2?∴ f ?t ? ? t ? 4t ? 32?x ? 2 ? x ?1?解一： f?x ?2 ?? ?2x ?2 ?4?2?2x ?2 ?3?解二：令 t ?x ? 2 ，则 x ? ? t ? 2 ?∴ f ?t ? ? ?t ? 2? ?1 ∴z?y??x ? 2 ? 2 ?1 ? y ? x ?1?2? x 2 ? xy , x 2 ? y 2 ? 0, ? 2．讨论函数 f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 的连续性． 2 2 ? 0, x ? y ?0 ?.解一：当 p ? x, y ? 沿 y 轴(x=0)趋于 0（0，0）时，2limx ?0 y ?0x 2 ? xy ? lim x 2 ? y 2 y ?00 ?0 y2当 p ? x, y ? 沿 y ? x ，趋于 0（0，0）时，x 2 ? xy lim ? lim x ?0 x 2 ? y 2 x ?0 y ? x ?0∴ limx ?0 y ?02x2 ?1 2x2∴不连续f ? x, y ? 不存在解二：当 p ? x, y ? 沿 y ? kx 趋于 0（0，0）时，?1 ? k ? x 2 ? 1 ? k x 2 ? xy ? lim x ?0 x 2 ? y 2 x ?0 1 ? k 2 x 2 ? ? 1? k y ? kx ?0lim3．设 z ? (1 ? xy ) y ，求 dz ．2与 k 有关，∴不连续?z y ?1 y ?1 ? y ? ?1 ? xy ? ? y ? y 2 ?1 ? xy ? ?x解一：取对数 ln z ? yln ?1 ? xy ?1 ?z x ?z xy ? y ? ? ? l n? 1 xy ? ? y ? ? ，∴ ? ?1 ? xy ? ?ln ?1 ? xy ? ? z ?y 1 ? xy ?y 1 ? xy ? ? ?解二： ? ? ey ln ?1? xy ?,?z x ? y y ln 1? xy ? ? e ? ? ? ?ln ?1 ? xy ? ? y ? ? ? ?1 ? xy ? ?y 1 ? xy ? ?y ?1∴ dz ? y ?1 ? xy ?2yz2x ? y ? dx ? ?1 ? xy ? ?ln ?1+xy ? ? dy 1 ? xy ? ? ?4．求 u ? ? xz et dt 的偏导数．u ? ?? et2 dt ? ? et 2 dt0 02 2 ?u ? ?e x z ? z ?xxzyz2 2 ?u ? ey z ? z ?y2 2 2 2 ?u ? ?e x z ? x ? e y z ? y ?z5．设 r ? x2 ? y 2 ? z 2 ，验证：当 r ? 0 时，有3?2r ?2r ?2r 2 ? ? ? ． ?x 2 ?y 2 ?z 2 r?r 2x x ? ? 2 2 2 ?x 2 x ? y ? z r?2r ? ?x 2 r ? x? x 2 2 2 2 2 2 2 2 r ? r ? x ，同理： ? r ? r ? y , ? r ? r ? z ?y 2 r3 ?z 2 r3 r2 r32 2 2 2 ? 2 r ? 2 r ? 2 r 3r ? ? x ? y ? x ? 2r 2 2 ? 3 ? ∴ 2? 2? 2 ? ?x ?y ?z r3 r r6．证明函数 f ( x, y) ? | xy | 在点(0, 0)处： （1）连续； （2）偏导数存在； （3）不可 微． （1） ?? ? 0 ，由于xy ? 0 ?xy ?x2 ? y 2 2为使 取? ?x ?0 y?xy ? 0 ? ? ，只须x2 ? y 2 2? ? ，即 x 2 ? y 2 ? 2?xy ? 0 ? ? ，2? ，则当 0 ? x 2 ? y 2 ? ? ，有x ?0 y ?0∴ lim f ? x, y ? ? limxy ? 0 ? f ? 0, 0 ?（或： limx ?0 y ?0xy ? 0 ? f ? 0, 0 ? ） f ? , ， xy??4x y? ?2初等函数连实。（2） f ? x,0? ? 0, f x ? 0,0? ； f ? 0, y ? ? 0, f y ? 0,0? ? 0 （3） ? z ? 考察： lim? x ?? y ,? z ? f x ? 0, 0 ? ?? x ? f y ? 0, 0 ?? y ?? x ?? y? x ?? y? x ?0 ? y ?0?? x ? ? ?? y ?22? lim? x ?? y? x ?0 ? y ?0?? x ? ? ?? y ?22当 p ? x, y ? 沿直线 y ? kx 趋于 0（0，0）有 ∴上式不存在，不可微? x ?0 ? y ? k ?? x ?0lim? limk 1? k 2? x ?0与 k 有关4第二次作业学院一、单项选择题 1．设 z ?班级姓名学号y ?z ，其中 f (u ) 为可导函数，则 =（ 2 f (x ? y ) ?x2B ） ．（A） ?2 xy ； 2 f (x2 ? y 2 )（B） ?2 xyf ?( x 2 ? y 2 ) ； f 2 ( x2 ? y 2 )（C） ?yf ?( x 2 ? y 2 ) ； f 2 ( x2 ? y 2 )（D） ?f ( x 2 ? y 2 ) ? yf ?( x 2 ? y 2 ) ． f 2 ( x2 ? y 2 )2．设方程 F ( x ? y, y ? z, z ? x) ? 0 确定 z 是 x，y 的函数，F 是可微函数，则 （ D ） ． （A） ?F1? ； F3??z = ?x（B）F1? ； F3?（C）Fx ? Fz ； Fy ? Fz（D）F1? ? F3? ． F2? ? F3?3．设 x ? x( y, z), y ? y( z, x), z ? z( x, y)都由方程 F ( x, y, z ) ? 0 所确定的隐函数，则下 列等式中，不正确的一个是（ C ） ． （A）?x ?y ?1； ?y ?x ?x ?y ?z ? 1； ?y ?z ?x（B）?x ?z ?1； ?z ?x?x ?y ?z ? ?1 ． ?y ?z ?x（C）（D）4．设 u ? u( x, y), v ? v( x, y) 都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有 错误的是（ A ） ． （A） ?C ? 0 ； （C） ?(u ? v) ? ?u ? ?v ； （B） ?(Cu ) ? C?u ； （D） ?(uv) ? v?u ? u?v ．55 ． u ? f (r ) ， 而 r ?? 2u ? 2u ? ?( B ?y 2 ?z 2x2 ? y2 ? z2 ， 且 函 数 f (r ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 则? 2u ? ?x 2)．1 f ?(r ) ； r 1 1 （C） 2 f ??(r ) ? f ?(r ) ； r r（A） f ??(r ) ? 二、填空题2 f ?(r ) ； r 1 2 （D） 2 f ??(r ) ? f ?(r ) ． r r（B） f ??(r ) ?x y f ? x y 1．已知 f (1, 2) ? 4, df (1, 2)? 16d ? 4d , d (1, 4) 64d ? 8d，则 z ? f ( x, f ( x, y)) 在点（1, 2）处对 x 的偏导数为 192．2．由方程 xy ? yz ? zx?ez 所确定的隐函数 z ? z ( x, y) 在点（1, 1）处的全微分为dx ? dy ．3． r ? x2 ? y2 在点（0, 0）处沿 x 轴正向的方向导数为1．4．函数 u ? x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? 2 yz 在点 (?1, 2, ? 3) 处的方向导数的最大值等于 21 ． 三、计算与解答题 1．设 f 是 C(2)类函数， z ? f (exy , x2 ? y 2 ) ，求?2 z ． ?x ?y?z ? f1' ? e xy ? y ? f 2' ? 2 x ? ye xy f1' ? 2 xf 2'[ ?x?2 z & '' '' '' ? e xy f1' ? y ? e xy ? xf1' ? ye xy ? f11e xy ? x ? f12 ? ? ?2 y ?? ? 2 x ? f 21 ? e xy ? x ? f 22 ? ? ?2 y ?? ? ? ? ? ?x?y' 2 ? ?1 ?x y? ex y 1f ? x e y x y & 1 1f ? ?22x ? ? 2y e x y1 2&f ? 4x &y f 2 22．设 z ? (3x ? 2 y)3 x ?2 y ，求 dz ． 解一：d ? lnz ? ? d ? 3x ? 2 y ? ? ln ? 3x ? 2 y ? , 1 dz ? d ? 3x-2y ? ? ln ? 3x ? 2 y ? ? ? 3x ? 2 y ? ? d ln ?3x ? 2 y ? zdz ? ? 3x ? 2 y ?v3 x?2 y?ln ? 3 x ? 2 y ? ? 1? ? 3dx ? 2dy ? ? ?解二： z ? u , u ? 3x ? 2 y, v ? 3x ? 2 y6z x ? zu ? ux ? zv ? vx ? v ? u v ?1 ? 3 ? 3 ? 3x ? 2 y ?3 x?2 y? ?ln ? 3x ? 2 y ? ? 1? ? ?3 x ?2 yzy ? zu ? u y ? zv ? v y ? v ? u v ?1 ? ? ?2 ? ? ?2 ? 3x ? 2 y ?∴ dz ? ? 3 x ? 2 y ?3 x?2 y? ?ln ? 3x ? 2 y ? ? 1? ? ??ln ? 3 x ? 2 y ? ? 1? ? 3dx ? 2dy ? ? ?? x? ? y? 3．设 f， ? 是 C(2)类函数， z ? yf ? ? ? x? ? ? ，证明： y? ?x? ?（1） x?2 z ?2 z ?y ?0； ?x 2 ?x?y（2） x 2?2 z ?2 z ? y2 2 ? 0 ． ?x 2 ?y证?z 1 y ? y? ?? ? y f? ? ? ? ? x ?? ? ? ? 2 ? ? ?f? ? ? ? ?x y x ? x??2 z 1 y y2 ? y? y ? y? 1 ? f ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? f ?? ? 3 ? ?? ?x2 y x x ? x ? x ? x ? y? x? ?2 z 1 1 y 1 x y ? f ?? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 f ?? ? 2 ?? ? ?x?y x x x x y x ? y ? ? x? ?z 1 ? ? f ? y? f ? ? 2 ? ? ?x ? ? ? ?y x ? y? ? f x ? ? ?? f y? x ? x ? x ? ?2 z x 1 x2 1 ? ? ? f ?? ? ? ? 2 ? ? ? ?? ? ? 3 f ?? ? ? ?? ? f ?? ? 2 ? ? 2 f 2 ?y y x y x ? y ? y ? y ?4．设 ln x2 ? y 2 ? arctany d2 y ，求 2 ． x dx1 y ln ? x 2 ? y 2 ? ? arctan , 2 xy' x ? y 1 2x ? 2 y ? y x2 ? 2 ? 2 2 2 x ?y ? y? 1? ? ? ?x?'x ? yy ' y' x ? y ∴ ? x2 ? y 2 x2 ? y 2'( y ? x )y? ? ? x ? y ) , y? ? (x? y x? y? x? y ? 2? x ? ? y? ?1 ? y ? ? x ? y ? ? ? x ? y ? ?1 ? y ? ? 2 ? x ? y ? y ? ? ? x ? y ? ? 2 ? x 2 ? y 2 ? & y ? 2 2 2 3 ? x ? y? ? x ? y? ? x ? y? ?x ? y?' '1 y 1 2x 2 2 ? 一阶： F ? x, y ? ? ln ? x ? y ? ? arctan , Fx ? ? 2 2 x 2 x ? y2y x2 ? x ? y 2 x2 ? y 2 ? y? 1? ? ? ?x? ?71 2y Fy ? ? 2 ? 2 x ?y2二阶：1 x ? y ? x ∴ dy ? ? Fx ? ? x ? y ? x ? y Fy y?x x? y y 2 x 2? y 2 dx 1? 2 x1 ? ? y' ? x? y21? ? y' 2?? y? y ? y x? y ? y , y ?& & ' ' &?1? ? x ? y? / ? x ? y?22x? y3? x ? y? ? ? x ? y? ? 3 ? x ? y?22?2 ? x2 ? y 2 ?? x ? y?? x ? eu ? u sin v, ?u ?v ? 5．设 ? 求 , ． u ? y ? e ? u cos v, ?x ?y ?D?eu ? sin v e ? cos vuu cos v u sin v? u ?eu ? sin v ? cos v ? ? 1? , D1 ? ? ?dx u cos v ? u sin vdx ? u cos vdy dy u sin v∴ du ? ∴D1 sin v cos v ? u dx ? dy D e ? sin v ? cos v ? ? 1 eu ? sin v ? cos v ? ? 1?u sin v ? u ?x e ? sin v ? cos v ? ? 1eu ? sin v dx e - cos vuD2 ?dy? ? eu ? sin v ? dy ? eu ? cos v dx∴ dv ?u u D2 ? cos v ? e ? dx ? ? e ? sin v ? dy ? D u ?eu ? sin v-cos v ? ? 1? ? ?∴?v eu ? sin v ? ?y u ? eu sin v ? cos v ? ? 16．设 u ? f ( x, y, z), ? ( x2 , e y , z) ? 0, y ? sin x ，其中求 f， ? 是 C(1)类函数，求' ' ' F ? x, y, z ? ? ? ? x 2 , e 2 xz ? , Fx ? ?2 ? 2 x, Fy ? ?2e y , Fz' ? ?3du ． dx∴2 x? ' ?z e y? ' ?z Fx Fy ?? ? ?? ' 1 , ?? ? ?? ' 2 ?x Fz ?3 ?y Fz ?3' ? 2 x?1' e y? 2 du ' ' '? ? f1 ? f 2 ? cos x ? f 3 ? ? ' ? ' ? cos x ? dx ?3 ? ?3 ?8? f1' ? f 2'? c o s x ?f3' 2 x ? ? ? 1'i exs? n2' cos ?x?du ? f1' ? dx ? f 2'dy ? f3'dz ? ' ' 解二：全微分 ??1' ? 2 xdx ? ?2 ? e y ? dy ? ?3dz ? 0 ?dy ? cos xdx ?代入消元解得： du ? ? f1 ? f 2 cos x ? f 3' '?du ? f 2'dy ? f3'dz ? f1'dx ? ' ' 即 ??2 e y dy ? ?3dz ? ?2 x?1' dx ?dy ? cos xdx ?∴……? ?'' 2 x?1' ? esin x cos x? 2 ? ? dx ?3' ?7．求函数 z ? ln( x ? y) 的点(1, 2)处沿着抛物线 y 2 ? 4 x 的该点切线方向的方向导数．zx ?1 1 1 , zy ? , zx ?1, 2 ? ? zy ?1, 2 ? ? x? y x? y 3 y' ? 2 ? 1 2 x ? 1 x y'?1,2?y?2 x? 1 tan ? ? 1?1 ??3 ? 3 , ? 2 ? ? , ?1 ? , ? 2 ? ? 4 4 4 4cos ?1 ? cos ?1 ? cos?4?2 2cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos3? 1 ?? 4 2∴?z ??1?1,2? ?1 2 1 2 2 zx ?1, 2? ? cos ?1 ? zy ?1, 2? cos ?1 ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3?z ?? 2?1,2 ?1 ? 2 ? 1? 2? 2 ? zx ?1, 2 ? ? cos ? 2 ? zy ?1, 2 ? cos ? 2 ? ? ? ? ?? ?? ??? 3 ? 2 ? 3? 2 ? 3 ? ? ? ?9第三次作业学院一、单项选择题 1．在曲线 x ? t , y ? ?t 2 , z ? t 3 的所有切线中，与平面 x ? 2 y ? z ? 4 平行的切线( B )． （A）只有一条； （B）只有两条； （C）至少有三条； （D）不存在． )． 2．设函数 f ( x, y ) 在点(0, 0)附近有定义，且 f x (0, 0) ? 3, f y (0, 0) ? 1 ，则( C （A） dz (0, 0) ? 3dx ? dy ； （B）曲面 z ? f ( x, y ) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为 {3, 1, 1} ；? z ? f ( x, y ), （C）曲线 ? 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的切向量为 {1, 0, 3} ； ?y ? 0 ? z ? f ( x, y ), （D）曲线 ? 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的切向量为 {3, 0, 1} ． ?y ? 0班级姓名学号3．曲面 z ? x ? f ( y ? z ) 的任一点处的切平面 ( D （A）垂直于一定直线； （C）与一定坐标面成定角；)．（B）平等于一定平面； （D）平行于一定直线．? 2u ?0 及 ?x?y4 ． 设 u ( x, y )在 平 面 有 界 闭 区 域 D 上 是 C(2) 类 函 数 ， 且 满 足? 2u ? 2u ? ? 0 ，则 u ( x, y ) 的 ( B ?x 2 ?y 2)．（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最得到值点在 D 的边界上． 二、填空题 1．如果曲面 xyz ? 6 在点 M 处的切平面平行于平面 6 x ? 3 y ? 2 z ? 1 ? 0 ，则切点 M 的 坐标是（-1，2，-3）2 2 2．? x ? 4 y ? 9 z ? 14 , 2．曲线 ? 在点 (1, 1, ? 1) 处的法平面方程是 ?x ? y ? z ? 1 1 3． z ? x2 ? y 2 在条件 x ? y ? 1 下的极小值是 ． 213x-10y-3z-6=0 ．4．函数 u ? x2 ? y 2 ? z 2 在点 M (1, 1, 1)处沿曲面 2z ? x 2 ? y 2 在该点的外法线方向的101 方向导数是 ． 3三、计算题? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6, ? 1．求曲线 ? 在点 (1, 1, 2) 处的切线方程． 2 2 ?z ? x ? y ??2 yy? ? 2 zz ? ? ?2 x ① ? 解一： ? ??2 yy? ? z ? ? 2 x ② ?① + ② ： z? ? 0x 代入 y? ? ? , y? ?1,1, 2 ? ? ?1 y? ∴ s ? ?1, ?1,0 ?切成：? x ?1 ? 1 ? y x ?1 y ?1 z ? 2 ? ? ，即 ? 1 1 0 ?z ? 2解二： F ? x, y, z ? ? x2 ? y2 ? z 2 ? 6, Fx ? 2x, Fy ? 2 y, Fz ? 2z, n1 ? ? 2,2,4? ?? ? ?? ?? ? 取 n1 ? ?1,1, 2? , s ? n1 ? n2 ?? ? G ? x, y, z ? ? x 2 ? y 2 ? z. Gx ? 2 x. Gy ? 2 y. z ? ?1. n2 ? ? 2, 2, ?1??? ?s1 切平面： 1? ? x ?1? ?1? ? y ?1? ? 2 ? z ? 2? ? 0 即x+y ? 2z ? 6 ? 0 s 2 切平面： 2 ? x ?1? ? 2 ? y ?1? ? ? z ? 2? ? 0 即:2x+2y ? z ? 2 ? 0?x ? y ? 2z ? 6 ? 0 ∴? ?2 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0?10 x ? 2 y ? 2 z ? 27, 2．过直线 ? 作曲面 3x2 ? y 2 ? z 2 ? 27 的切平面，求其方程． x? y?z ?0 ?解：设切点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，切平面方程为： 3x0 x ? y0 y ? z0 z ? 27 ? 0……① 过已知直线的平面束方程为 10x ? 2 y ? 2z ? 27 ? ? ? x ? y ? z ? ? 0 即： (10 ? ?) x ? ? 2 ? ? ? y ? (?? ? 2) z ? 27 ? 0……② 当 ① ② 为同一平面时有： 10 ? ? ? 3x0 , 2 ? ? ? y0 , ? ? ? 2 ? ? z0 且 3x0 ? y0 ? z0 ? 272 2 2? x0 ? 3 ? x0 ? ?3 ? ? 解得 ? y0 ? 1 或 ? y0 ? ?17 ? z ? 1 ? z ? ?17 ? 0 ? 011对应的切平面方程为：9 x ? y ? z ? 27 ? 0 9 x ? 17 y ? 17 z ? 27 ? 03．证明曲面 x2 / 3 ? y 2 / 3 ? z 2 / 3 ? a2 / 3 (a ? 0) 上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距 平方和等于 a 2 ．.设 M（x0 ,y0 ,z0） 为曲面上任一点 0切平面方程为：? 12 ?1 2 ?1 2 ?1 x0 3 ( x ? x0 ) ? y0 3 ? y ? y0 ? ? z0 3 ? z ? z0 ? ? 0 3 3 31 1 23 即： x0 3 x ? y0 3 y ? z0 z ? a 3?3 令 y ? z ? 0 得 x 轴截距 x ? n0 a 312同理 Y ? 2 z a ,2 2 21 3 02 3Z?z a2 3 01 3 02 3 2 3 0 4 3∴ X ? Y ? Z ? ( x ? y ? z )a ? a 2 4．求函数 f ( x, y) ? x2 (2 ? y 2 ) ? y ln y 的极值．2 3 0? f x? ? 2 x(2 ? y 2 ) ? 0 ? .①令 ? 2 ? f y? ? 2 x y ? ln y ? 1 ? 0 ?②得驻点 M ? 0, ? ③ f xx ? 2(2 ? y ),2? ?1? e?f xy ? 4 xy, fyy ? 2 x 2 ? 1 y④ M 处： AC-B2&0，A&0，∴极小值 f ? 0, ? ? ?? ?1? e?1 e5．求函数 f ( x, y) ? x2 ? y 2 ? 12x ? 16 y 在区域 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 25} 上的最大值和最 小值．? fx ? 2 x ? 12 ? 0 ? x ? 6 ? ? ? fy ? 2 y ? 16 ? 0 ? y ? ?82 2不在 D 内，∴D 内无极值点在边界 x ? y ? 25 上， f ? x, y ? ? 25 ?12x ? 16 yL ? x, y ? ? 25 ?12x ? 16 y ? ? ? x2 ? y2 ? 25?12? Lx ? ?12 ? 2? x ? 0 ? ? Ly ? 16 ? 2? y ? 0x2 ? y 2 ? 25解得 ??x ? 3 ? x ? ?3 ? ? y ? ?4 ? y ? 4最大f ?3, ?4? ? ?75 最小 f ? ?3,4? ? 125设切点为 M 0 ? x0 , y0 , z0 ? , F ? x, y , z ? ?6．求曲面 x ? y ? z ? 1 的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．x ? y ? z ?1Fn ?即：1 2 xx x0 ?, Fy ?y y0 ?1 2 yz z0, 切平面：1 1 1 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? z ? z0 ? ? 0 2 x0 2 y0 2 z0?1令 y ? z ? 0 ，得 x 轴截距 X ?x0 y0x ? z ? 0 ，得 y 轴截距 Y ?x ? y ? 0 ，得 z 轴截距 Z ? z0XYZ ? x0 y0 z0f ? x, y, z ? ? xyz ? ??x ? y ? z ?1?? ? ? ? fx ? yz ? 2 x ? 0 yzx ? ? 2 x x ? ? ? ? fy ? xz ? ? 0 xzy ? ? y ? 2 y 2 y ? 令? ? fz ? xy ? ? ? 0 xyz ? ? ? z ? 2 z 2 z ? ? x ? y ? z ?1 ? x ? y ? z ? 1 ? 3 ?x? y?z? 1 9即切点为 ? , , ??1 1 1? ?9 9 9?切平面为： x ? y ? z ?1 313第四次作业学院一、单项选择题 1．设 f ( x, y ) 连续，且 f ( x, y) ? xy? ?? f ( x, y)d xd y，其中 D 是由 y ? 0 ， y ? x 2 ，D班级姓名学号x ? 1 所围区域，则 f ( x, y ) 等于(C)．1 （C） xy ? ； （D） xy ? 1 ． 8 2．设 D 是 xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D1 是 D 的第一 象限部分，则 ?? ( xy ? cos x sin y )dxdy 等于( A )．（A） xy ； （B） 2xy ；D（A） 2?? cos x sin ydxdy ；D1（B） 2?? xydxdy ；D1（C） 4?? y ?nsdd y xy ； （x oi ) s x cD1（D）0．3 ． 设 平 面 区 域 D :1 ? x2 ? y 2 ? 4, f ( x, y) 是 在 区 域 D 上 的 连 续 函 数 ， 则?? f ?Dx2 ? y 2 dxdy 等于 ( A（A） 2? ? 1 rf (r )dr ；2?)．2 1 （B） 2? ? ? 0 rf (r )dr ? ? 0 rf (r )dr ? ； ? ? 2 1 2 2 2 2 （C） 2? ? 1 rf ( r )dr ； （D） 2? ? ? 0 rf (r )dr ? ? 0 rf (r )dr ? ． ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 4．设有空间区域 ?1 : x ? y ? z ? R , z ? 0 及 ?2 : x ? y ? z ? R ， x ? 0 ， y ? 0 ， z ? 0 ，则( C )． （A） ??? xdV ? 4??? xdV ； （B） ??? ydV ? 4??? ydV ；?1?2?1?2（C） ??? zdV ? 4??? zdV ；?1 ?2（D） ??? xyzdV ? 4??? xyzdV ．?1 ?2二、填空题 1．积分 ? 0 dx ? x e ? y dy ?2221 ?1 ? e-4 ? ． 2x x2．交换积分次序： ? 0 dx ? ?1f ( x, y )dy ? ? 1 dx ? x ? 2 f ( x, y )dy ?4x?2?1dy ? 2 f ? x, y ? dx ．yy ?23．设区域 D 为 | x | ? | y |? 1 ，则 ?? (| x | ? | y |)dxdy ?D4 ． 3? x2 y 2 ? ? R4 ? 1 1 ? 4．设区域 D 为 x2 ? y 2 ? R2 ，则 ?? ? 2 ? 2 ? dxdy ? ? ? ?． 4 ? a 2 b2 ? b ? D ? a145．直角坐标中三次积分 I ? ? ?1 dx ? ?? 顺序的三次积分是11? x2 1? x2dy ? 0x2 ? y 2f ( x, y, z )dz 在柱面坐标中先 z 再 r 后?2?0d? ? dr ? f ? r cos? , r sin ? , z ? rdz1 0 0r2三、计算题 1．计算 ?? | cos( x ? y ) | dxdy ，其中 D 是由直线 y ? x, y ? 0, x ?D?2所围成的三角形区域． 原式 ??? cos ? x ? y ? dxdy ? ?? cos ? x ? y ? dxdyD1 D2? ? dy ?4 0???y 2yc o?sx ? y ? x d ?? 2 x ?d ? ?4 x?x ?xc ? xo?sy ?xyd? ? ?sin ? x ? y ?? ? ?4 0??2 y?ydy ? ??2 ?sin ? x ? y ?? ? ? x ? ?4 2??? ? ? ? ? ? ? 4 ? sin ? sin 2 y ? dy ? ??2 ? sin 2 x ? sin ? dx 0 2 2? ? ? 4 ?=???2?? ? 1 1 ? ? ?cos 2 y ?04 ? ?cos 2 x??2 ? ? ?1 2 2 4 2 42．计算 ??Dx sin y dxdy ，其中 D 是由 y ? x 2 和 y ? x 所围成的区域． y①图交点，先 x，② D : ? ③F ?1?y ? x ? y ? ?0 ? y ? 1 ?1 sin y ? y sin y y2 ? df y y xdx ? ? ? ? ? ? dy ?0 y 0 y ?2 2 ??1 1 1 1 ?0 sin ydy ? 2 ?0 y sin ydy 2 1 1 ?1 ? cos1? ? ? cos1 ? sin x ? 2 2 1 ?1 ? sin1? 2??3．计算 ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy ，其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 2, 2x ? x2 ? y ? 4 ? x2 }．D15①图，极坐标，方程?2 cos ? ? r ? 2 ? ②D:? ? ?0 ? ? ? 2 ?③I ???2 0d? ?22cos?r 2 ? rdr???2 0? ? r4 ? ? 3 1 ? ? ? d? = ? 2 4 ?1 ? cos 4 ? ?d? ? 4 ? ?4 ? ? ? 2 ?4? 0 2 4 2 2 ? ? 2cos?23? ? 45? ? 44．计算 ??? xy 2 z 3 dV ，其中 ? 是由曲面 z ? xy 与平面 y ? x, x ? 1 和 z ? 0 所围成的闭或?区域．①图，投影域 Dxy?0 ? z ? xy ? ② ? : ?0 ? y ? y ?0 ? x ? 1 ?③ I ? ? dx ? dy ? sy 2 z 3dz0 0 01xxy? y7 ? 1 1 12 1 1 1 ? ? x ? ? dx ? ?0 x dx ? 2 8 ? 1 3? 3 6 4 0 28 ? 7 ?01 5x5．计算 I ? ??? xyzdV ，其中 ? ? {( x, y, z) | x2 ? y 2 ? z 2 ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0} ．?①图，已求坐标 r=1? ?0 ? r ? 1 ? ? ? ② ? : ?0 ? ? ? 2 ? ? ? ?0 ? ? ? 2 ?③I ??0?2 0dx ? 2 d? ? r sin ? ? cos ? ? r sin ? ? sin ? ? r cos ? ? r 2 ? sin ? dr0 0?1? ? 2 sin ? ? cos ? d? ? ? 2 sin 3 ? ? cos ? d? ? ? r 5dr0 0??1? ? 1 1 1 1 1 ? ? 2 sin ? ? dsin? ? ? 2 sin 3 ? ? d sin ? ? ? ? ? ? 0 0 6 6 2 4 48166．设 F (t ) ? ??? f??x2 ? y 2 ? z 2 dV ，其中 ? : x2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 , f (t ) 在 t ? 0 可导，且?f (0) ? 0 ，求 lim ?t ?0F (t ) ． ?t4?t 0 0F ? t ? ? ? d? ? d? ? f ? r ? ? r 2 sin ?dr02?? ? d? ? ? sin ?d? ? ? f ? r ? ? r 2drt 0 0 02??? 4? ? ? f ? r ? ? r 2drt 0F ' ?t ? ? 4? ? f ?t ? ? t 2F ?t ? 0 4? f ? t ? ? t 2 f ?t ? f ?t ? ? f ? 0? ? lim ? lim ? lim ? f ' ? 0? ∴ lim? 4 3 t ?0 t ?0 t ?0 t ?0 ?t 4? t t t ?0四、证明题 设函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续且恒大于零，证明0?a证明：设 D : ?bf ( x )dx ? abdx ? (b ? a ) 2 ． f ( x)?a ? x ? b ?a ? y ? b? f ? x? ∵ ?? ? ? f ? y? D ? ?即：f ? y? ? ? dxdy ? 0 f ? x? ? ?2? f ? x? f ? y? ? ?? ? f ? y ? ? f ? x ? ? dxdy ? ?? 2dxdy D ? D ?∴?baf ? x ? dx ?bbab b 1 1 2 dy ? ? f ? y ? dy ? ? dx ? 2 ? b ? a ? a a f x f ? y? ? ? b 2∴21 ? f ? x ? dx ? ? f ? x ? dx ? 2 ?b ? a ?a a b 2 a∴1 ? f ? x ? dx ? ? f ? x ? dx ? ?b ? a ?b a17第五次作业学院一、单项选择题 1．设 L 是圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 ，则 ?L ( x2 ? y2 )n ds ? (D ? （A） 2? a n ； （B） 2? a n ?1 ； ) ． （D） 2? a 2 n ?1 ． )．班级姓名学号（C） 2? a 2 n ；2．设 L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则 ?L yds ? ( A ? （A） 2 ；2（B） 2 ? 2 ；2 2（C） 2 2 ；2 2 ?（D） 2 ? 2 2 ． )．3．设 ? 是锥面 x ? y ? z 在 0 ? z ? 1 的部分，则 ?? ( x ? y )dS ? ( D （A） ? 0 d? ? 0 r 3 dr ；1?（B） ? 0 d? ? 0 r 3 dr ；12?（C） 2 ? 0 d? ? 0 r 3 dr ；1?（D） 2 ? 0 d? ? 0 r 3 dr ．12?4．设 ? 为 x2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( z ? 0) ， ? 1 是 ? 在第一卦限中的部分，则有(C （A） ?? xdS ? 4?? xdS ；? ?1)．（B） ?? ydS ? 4?? xdS ；? ?1（C） ?? zdS ? 4?? xdS ；? ?1（D） ?? xyzdS ? 4?? xyzdS ．? ?1二、填空题 1．设曲线 L 为下半圆 y ? ? 1 ? x2 ，则 ?L ( x2 ? y 2 )ds ?? 1dS ? π ?1 ．L2．设 L 为曲线 y ? ? | x | 上从 x ? ?1 到 x ? 1 的一段，则 ?L yds ? ? 2 ． 3 ． 设 ? 表 示 曲 线 弧 x?3 3 t cos t , y ? sin t , z ? , (0 ? t ? 2? ) ， 则 2 2 2?? ( x2?π y2 ? z2 d ? ? ) s3 22 3 π ． 33?4．设 ? 是柱面 x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 在 0 ? z ? h 之间的部分，则 ?? x 2 dS ? ? a h ．x y ? ? z 2 ? 1( z ? 0) ， 已 知 ? 的 面 积 为 A ， 则 9 4 2 2 2 x 6 ? S ?? ( 4 ? 9y ? 3 z ? x y z ) d36A．5．设 ? 是上半椭球面?2218三、计算题 1．计算 ?L e ? 解：L ? L1 ? L2 ? L3 L1 : y ? 0, 0 ? x ? a L3 : y ? x, 0 ? x ? a 2 L2 : x 2 ? y 2 ? a 2x2 ? y 2ds ，其中 L 为圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 ，直线 y ? x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．L1?ex2 ? y 2ds ? ? e x d x ? e a ? 10aL2?ex2 ? y 2ds ? ? ea ds ?L2?a4ea?a 4L3?ex2 ? y 2ds ? ?2 a 20e2x2dx ? ea ? 1所以：原式=2（ e ? 1 ）+a?a a e 4? x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 , 2． ?? z 2 ds ，其中 ? : ? ． ? ?x ? y ? z ? 0 .（?? x ds ? ? y ds ? ? z ds ） ? ? ?2 2 2 r r r? z ds ?2 Γ1 2 2 2 ?r ( x ? y ? z )ds ? 3 1 ? ? a 2 ds 3 ?r a2 2 ? ? 2πa ? ? a 3 . 3 3 ?3．计算曲面积分?? ( xy ? yz ? zx)dS?, 其 中 曲 面 ?:z ?x2 ? y 2 被 柱 面x2 ? y 2 ? 2 x 所截得部分。解：投影域 Dxy : x2 ? y2 ? 2x 由于曲面关于 xOz 平面对称，因此19? ( xy ? yz ? zx)dS = ? xzdS =? ?2 2 ?? x 2( x ? y )dxdy ? 2 2 ? 2 d? ? 0 Dxy?2cos ?0r 3 cos ? dr ? 8 2 ? 2 cos5? d? ? 8 ?0?42 64 2? 2 53 154．求 ???dS ，其中 ? 是介于 z ? 0 与 z ? 4 之间的柱面 x2 ? y 2 ? 4 ． x ? y2 ? z22解;?? x 2 ? y 2 ? z 2?dS= 2 ??Dyz1 4 ? z22 4 ? y2dzdy ? 2? arctan 2四、应用题 1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面 x2 ? y 2 ? R2 及 x 2 ? z 2 ? R 2 所围立体的表面 积．A ? 16 A1 ? 16?? dS?1解：? 16 ??DxyR R ?x2 2dxdy ? 16 R ? dx ?0RR2 ? x21 R ? x220dy? 16 R 22．求面密度 ? ? 1 的均匀半球壳 x2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( z ? 0) 关于 z 轴的转动惯量．I z ? ?? ( x2 ? y 2 ) ?0ds?? : z ? a2 ? x2 ? y 2 . Dxy : x2 ? y 2 ? a 2 . ds ?I z ? ?? ( x 2 ? y 2 ) ? ? 0 ?DxyRdxdy R2 ? x2 ? y 2R R2 ? x2 ? y 2 r R2 ? r 2 drdxdy? ?0 R ? ?2?0d? ? r 2 ?0R? 2?? 0 R ? ? 2 R 3 sin 3 t ?0?R cos t dt R cos t2 ? 2?? 0 R 4 ? ?1 3? R ? ? 2 ? r ? R sin t , dr ? R cos tdt , r 0 ? t 0 ? ? ?20第六次作业学院一、单项选择题 1．设 L 是圆周 x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 负向一周，则曲线积分班级姓名学号?L ( x ?（A）0；3? x2 y)dx ? ( xy2 ? y3 )dy ? ( B) ． （D） ? a 4 ．（B） ?? a42y2；（C） ?? a 4 ；2．设 L 是椭圆 4 x2 ? y 2 ? 8x 沿逆时针方向，则曲线积分?L e ?（A） 2? ；2 2 2 2dx ? xdy ? ( A )．（C）1； （D）0．（B） ? ；3．设 ? 是球面 x ? y ? z ? a 的外侧，则曲面积分?? ??xdydz ? ydzdx ? zdxdy (x ? y ? z )2 2 3 2 2? ( D )．（D） 4? ． )正确． （D）1．（A）0； （B）1； （C） 2? ； ( x ? ay )dy ? ydx 4．已知 为某函数的全微分，则 a ? ( B ( x ? y)2 （A） ?1 ； 二、填空题 1．设 L 为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 正向一周，则 ?L ? （B）0； （C）2xdy ? ydx ? 2? ． x 2 ? ( y ? 1) 22．设 L 为封闭折线 | x | ? | y |? 1 正向一周，则 ?L x2 y 2 dx ? cos( x ? y)dy ? 0 ? 3．设 L 为 y ? ?0 tan tdt 从 x=0 到 x ? 曲线积分为 ? ( P cos x ? Q sin x)ds ．Lx．?4一段弧，将 ?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 化为第一型4 ． 设 ? 是 平 面 3x ? 2 y ? 2 3z ? 6 在 第 一 卦 限 部 分 的 下 侧 ， 则 I ??? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy 化为对面积的曲面积分为 I ? ?? ? 5 (3P ? 2Q ? 2 3R)dS ．?1?5．设 ? 为球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ，法向量向外，则 ? ? x3dydz ? ?? 6．设 u ? x 2 ? 2 y ? yz ，则 div(gradu) ?214 5 ?a 5．2．三、计算题 1．计算 ?L y2dx ? xdy ，其中 L 是抛物线 y ? x 2 上从点 A(1, 1) 到 B (?1, 1) ，再沿直线到C (0, 2) 的曲线．I???? AB??BC? ( y dx ? xdy)2? : ?x ? x AB ? 2 ?y ? xABx : 1? ? 1 d ? 2 d y x x?1? ? y 2 dx ? xdy ? ? ( x 4 ? x ? 2 x)dx1 1 ? 1 2 ? 14 ? ?2? ( x 4 ? 2 x 2 )dx ? ?2 ? ? ? ? 0 ? 5 3 ? 15 ?x ? x BC : ? x : ? 1 ? 0 dy ? dx ?y ? x ? 2? ( x ? 2)3 ? ? x2 ? 7 1 17 ? ? y dx ? xdy ? ? ( x ? 2) dx ? ? x ? dx ? ? ? ?? 2 ? ? 3? 2 ? 6 BC ?1 ?1 ? 3 ? ?1 ? ? ?1 14 17 113 原? ? ? 15 6 302 0 2 0002．计算?L ( x2? y)dx ? ( x ? sin y)dy ， 其 中 L 是 圆 周 y ? 2x ? x2 上 从 A(2, 0) 到O(0, 0) 的一段弧．解一：补充 OA ，则 L ? OA 构成闭曲线（正向） ， 由 Green 公式：? ?L?OA( x2 ? y)dx ? ( x ? sin y)dy ? ?? 0dxdy ? 0D而?OA2 8 8 8 ( x 2 ? y )dx ? ( x ? sin y )dy ? ? x 2dx ? ? ? 原 ? 0 ? ? ? 0 3 3 3解二： p ? x ? y, ? ? ?( x ? sin y) 在 xoy 面内有一阶连续偏导，且2?p ?? ? ?1, ? ?1? ?曲线积分与路径无关，则 ?y ?x? (xL2? y )dx ? ( x ? sin y )dy ? ? ( x ? y )dx ? ( x ? sin y )dy ? ?2 AO0 2? x3 ? 8 x dx ? ? ? ? ? . 3 ? 3 ?220223．设 f ( x) 在 (??, ? ?) 内具有一阶连续导数，L 是半平面 ( y ? 0) 内的有向分段光滑 曲线，其起点为 (a, b) ，终点为 (c, d ) ．证明1 x I ? ?L [1 ? y 2 f ( xy )]dx ? 2 [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy y y（1）证明曲线积分 I 与路径 L 无关 （2）当 ab ? cd 时，求 I 的值1 x 答案（1）证： P ? [1 ? y 2 f ( xy )], Q ? 2 [ y 2 f ( xy ) ? 1] y y ?Q ?P 1 ? ? f ( xy ) ? 2 ? xyf ?( xy ) ?x ?y y（2）解：由于与路径无关，取折线段 (a, b) 到 (c, b) ，以及 (c, b) 到 (c, d ) 利用 ab ? cd ，则1 x I ? ?L [1 ? y 2 f ( xy )]dx ? 2 [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy y yd 1 ?1 ? b2 f (bx) ?dx ? ?b yc2 ? y 2 f (cy) ? 1? dy a b c a ? ? d b ? yi ? xj 4．设力 F ? ，证明力 F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点 y2??cA(1, 2) 到点 B(2, 1) 力 F 所作的功．（1）证 ? ??? AB1 x ? dx ? 2 dy y y1 x ?p 1 ?? p ? ? , ? ? 2 在 y ? 0 有一阶连续偏导且 ? ? ． y y ?y y 2 ?x? F 在上半平面内所作的功与路径无关．（2）取积分路径为折线 A ? C (1, 1) ? B 则????AC??CB? ? ? 1 dx ? yx ? dy ? ? ? ? ? y ?2 1ACx 1 dy ? ? ? dx 2 CB y y??1 22 ?1? 1 3 dy ? ? ?1dx ? ? ? ? ? 1 ? ? . 2 1 y 2 ? y ?2235．计算 I ? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy ，其中 ? 是曲面 z ? 1 ? x2 ? y 2 ( z ? 0) 的?上侧． 解：投影域 Dxy : x2 ? y 2 ? 1 ，用合一投影法I ? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy?2 = ?? ? 4 x 4 ? 4 y 4 ? 3(?1 ? x 2 ? y 2 ? ? 1) ? dxdy ? ? Dxy2 ?? ? 36．计算 I ? ? ? y 2 dx ? xdy ? z 2dz ，其中 ? 是平面 y ? z ? 2 与柱面 x2 ? y 2 ? 1 的交线， ?? 从 z 轴正向看去， ? 取逆时针方向．．设 ? : y ? z ? 2. x2 ? y 2 ? 1，取上侧由 stokes 公式：dydz dzdx dxdy? ? y dx ? xdy ? z dz ? ?? ?2 2 r ?? ?x ? y2? ?y x? ?z z2? ?? (1 ? 2 y )dxdy ? ?? (1 ? 2 y )dxdy? Dxy?? 2 ydxdy ? 0Dxy? π ?12 ? π .24阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题 3 分，满分 18 分） 1．二元函数 z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 连续，且 f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 可微的（ B ）条件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）非充分非必要2 ． 已 知 f x ( x, y ) 、 f y ( x, y ) 在 （ 0 ， 0 ） 连 续 ， 则 z ? f ( x, y ) 在 （ 0 ， 0 ） 处 ，? ( x) ? f ( x, 0) 在 x ? 0 处（ A ） ．（A）均连续 （C）均不连续 3．设 L 为椭圆 （A） 2? ab （B）均不一定连续 （D） ? ( x) 一定连续， f ( x, y ) 不一定连续x2 y 2 ． ? ? 1 的顺时针方向，则 ? ( x ? y)dx ? ( y ? x)dy ? （ A） ?L a 2 b2（B） ?2? ab （C）0 （D） 2?4．设 D 由 y ? 1 ? x2 和 y ? 0 围成，则 ?? (e y sin x ? y)dxdy ? （ C ） ．D（A）0（B）1（C）2/3（D）4/3?5．设 ? 由 z ? x2 ? y 2 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 2 ( z ? 0) 围成，则三重积分 ??? ( x2 ? y 2 ? z 2 )dV 化为柱面坐标系下三次积分为（ （A） ? （C） ?2? 0 2? 0D ） ． （B） ? （D） ?2? 0 2? 0d? ? rdr ?022? r 2 r2(r 2 ? z 2 )dz 2dzd? ?2 0 1rdr ?r2? r 2 r2(r 2 ? z 2 )dzd? ? rdr ?012? r 2 r2d? ? rdr ?02? r 22(r 2 ? z 2 )dz6 ． 设 ? : x2 ? y 2 ? z 2 ? 1.? : x2? y 2 z 2 1. r : x2 ? ? ? 0，-1）到（0，0，1）则以下计算（ D ）错误． （A） ??? zdV ? 0?y2 ?? ， x ? 0( y ? 0) 由 （ 0 ， z2 1（D） ? zdy ? 0r（B） ?? zds ? 0 （C） ? zds ? 0?r二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）1 1．已知 f ( x, y) ? e3x ln 2 y ，则 f x?(0, ) ? 20?? ， f yy (0, 1) ?-1．252． u ? xy 2 ? z 3 ? xyz 在点 M (1, 1, 1) 处沿 l ? 导数的最大为 5 ．（0 ,1 ,2） 方向的方向导数最大，方向1 1 x ?at ? 2u ? 2u 3．设 u ? [? ( x ? at ) ? ? ( x ? at )] ? f (t )dt ，其中 f , ? ? C ( 2) ，则 2 ? a2 2 ? 2 2a ? x?at ?t ?x0 ． 4．设 ? 为由 z ? x2 ? y2 ， z ? 2 围成的空间区域， a 为常数，则 ??? adV ??8 ?a ． 35．L 为上半圆周 y ? 1 ? x2 ，则 ? ( x ? y )2 e x L2? y2ds ? e ? ? ．6．设 ? 是柱面 x2 ? y 2 ? 1 在 0 ? z ? 2 之间的部分，则 ?? y 2 dS ? 2? ．?7 ． 设 I??2 R 2 0dx ? f ( x, y)dy ? ?0xR 2 R 2dx ?R2 ? x2 0f ( x, y)dy ， 改 变 积 分 次 序I??02 R 2dy ?yR2 ? y 2f ( x, y)dx ；化为极坐标下二次积分为 I ??04 d? ?0?Rf (r cos ? , r sin ? )rdr ．三、解答题（每小题 8 分，满分 48 分） 1． z ? f (2 x ? y, y sin x) ? xg (e x ln y) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导 数。求?2 z ． ?x ?y解： z ? f (2 x ? y, y sin x) ? xg (e x ln y)?z ? f1?? 2 ? f 2? ? y cos x ? g ? x ? g ? ? e x ? ln y ?x ? 2 f1? ? cos xyf 2? ? xe x ln y ? g ? ? g?2 z ?? ? ?? ?? ? 2[ f11 (?1) ? f12 sin x] ? cos? f 2? ? cos xy[ f 21 (?1) ? f 22 ? sin x] ?x?y 1? 1 ?1 ? xe x ? g ? ? ln y ? g ?? ? e x ? ? ? g ? ? e x ? y? y ?y ?? ?? ?? ? ?2 f11 ? (2sin x ? y cos x) f12 ? y sin x cos xf 22 ? cos xf 2? ? ( x ? 1) ? ex xe2 x g? ? ln yg ?? y y2．已知 y ? ety ? x ，而 t 是由方程 y 2 ? t 2 ? x2 ? 1 确定的 x, y 的函数，求dy ． dx26? dy dt dy ? ty ? ? dx ? e ? y dx ? t dx ? ? 1 ? ? ? 解法 1： ? ?2 y ? dy ? 2t dt ? 2 x ? 0 ? dx dx ?1 ? yety x t ? yety t y t ? xyety t ? ( y 2 ? t 2 )ety? ty dy ty dt ?(1 ? te ) dx ? ye dx ? 1 ? 即? ? y dy ? t dt ? x ? dx dx ??dy ? dx 1 ? tety??dy ? ety ( ydt ? tdy) ? dx?(1) 解法 2：在方程组两边求微分，及： ? ?2 ydy ? 2tdt ? 2 xdx ? 0 ?(2)由（2） dt ?xdx ? ydy 代入① t1 ? yety x t ? yety t y t ? xyety t ? ( y 2 ? t 2 )ety? xdx ? ydy ? dy ? ety ? y ? ? t dy ? ? dx t ? ?整理及?dy ? dx 1 ? tety?解法 3：方程 y 2 ? t 2 ? x2 ? 1 确定 t ? t ( x, y ) ，则? y ? e yt ( x, y ) ? x? dy ? e yt ( x ,y dx?t x ?t y ? , ?? ?x t ?y ty d ? ?t ?t y ?? )? d ? ? ? t ? y ? ? ? ?? ? 1 ? ?x ?y dx ? ? ? dx1 ? yety x t ? yety t y t ? xyety t ? ( y 2 ? t 2 )etydy ? dy x ? y ? dy ? ? ety ?t ? y ? ? y ??? ? ? ? ?1 dx t ? t ? dx ? ? dx解得?dy ? dx 1 ? tety?3．计算 ??Dcos y dxdy ，其中 D 由 y ? x , y ? x 围成． y解：① 图交点 O(0, 0), A(1, 1) ③I ? ? 0 dy ? y 21 y? y2 ? x ? y ②D : ? ?0 ? y ? 11 cos y 1 1 cos y dy ? ? ( y ? y 2 )dy ? ? cos ydy ? ? y cos ydy 0 0 0 y y[sin y]1 ? [ y sin y]1 ? ? sin ydy ? sin1 ? sin1 ? [cos y]1 ? 1 ? cos1 0 0 001271 4．计算 I ? ?? dS ，其中 ? 为锥面 z ? x2 ? y2 被柱面 x2 ? y 2 ? 2x 截得的有限部 ? z分．解： I ? ?? dS ? ?? dS? ?11 z1 zz ? x2 ? y 2 , zx ?x x ?y2 2, zy ?y x ? y22, dS ? 2dxdyDxy : x2 ? y 2 ? 2x, y ? 0? I ? 2 ??Dxy即 r ? 2cos? , 0 ? ? ??2cos ? 0?21 x2 ? y 22dxdy ? 2 ? 2 d? ?01 ? 2rdr r? 2??2 02 ? 2cos ? d? ? 4 2 ?sin ? ?00 ? 4 2?5．计算曲线积分 ?ONA(2 x sin y ? y )dx ? ( x 2 cos y ? 1)dy ，其中 ONA 为连接点 O(0, 0)和A(2,?2) 的任何路径，但与直线 OA 围成的图形 ONAO 有定面积 ? ．解： p ? 2 x sin y ? y, ? ? x2 cos y ? 1?p ?? ? 2 x cos y ? 1, ? 2 x cos y ?y ?x? AO 补充 ? （如图） ，则 onAo 成闭曲线（正向）由 Green 公式， ?? (2 x sin y ? y)dx ? ( x2 cos y ? 1)dy ? ??1dxdy ? ? ?onAo D?x ? x ? 而 OA : ? ? ?y ? 4 x ?x : 0? 2d? y?4d x2? ? ? ? ? ?? ? ?? (2 x sin y ? y )dx ? ( x 2 cos y ? 1)dy ? ? ? 2 x sin x ? x ? x 2 cos x ? ? dx OA 0 ? 4 4 4 4 4???4 ?0OA2x 2 cos?4xdx ? ? x 2 d sin02?2 2 ? ? ? ? ? x ? ? x 2 sin x ? ? ? sin x ? 2 xdx ? 4 ? ? 2 x ? sin xdx 0 0 4 ? 4 ?0 4 4 2? ?? (2x sin y ? y)dx ? ( x2 cos y ? 1)dy ? 4 ? ?OA2 0?4xdx ? ?OA2 0?4dx ? 4 ? ?? ?? (2 x sin y ? y )dx ? ( x 2 cos y ? 1)dy ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? (4 ? ? ) ? 4OA286． 设 f ( x) 连 续 ， F (t ) ? ??? [ z 2 ? f ( x 2 ? y 2 )]dV ， 其中 ? : 0 ? z ? h, x2 ? y 2 ? t 2 ， 求?dF F (t ) ， lim 2 ． ? t ?0 dt t解： F (t ) ? ??? [ z 2 ? f ( x2 ? y 2 )]dV ? ? d? ? rdr ? [ z 2 ? f (r 2 )]dz?0 0 0l ? h3 ? ? 2? ? ? r ? ? ? f (r 2 ) ? h ? dr 0 3 ? ?2th? h3 ? dF ? 2? ? t ? ? f (t 2 ) ? h ? dt ?3 ? ? h3 ? 2? t ? ? f (t 2 )h ? 3 F (t ) ?3 ? ? ? ? h ? f (0)h ? lim ? 2 ? lim ? ? t ? 0? t ? 0? t 2t ?3 ?0 0四、证明题（满分 6 分） 求证? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ? ?r2 2 2rP2 ? Q2 ? R2 ds ， 并 由 此 估 计2? zdx ? xdy ? ydz | 的 上 ?r界，其中 r 为球面 x ? y ? z ? a 与平面 x ? y ? z ? 0 的交线并已取定方向，P,Q,R 为连 续函数． 证：?? pdx ? ? dy ? Rdz ? ?? ( p cos ? ? ? cos ? ? R cos ? )dS ? ? ( p, ? , R) ? (cos ? , cos ? , cos ? ) dS ???rrp 2 ? ? 2 ? R 2 ? 1 ? cos ? dS ? ?rrp 2 ? ? 2 ? R 2 dSr? zdx ? xdy ? ydz ? ? ? ?z 2 ? x 2 ? y 2 dS ? ? adS ? 2? a 2 ?五、应用题（满分 7 分） 求内接于椭球面x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ，且棱平行于对称轴的体积最大的长方体． a2 b2 c2 x2 y 2 z 2 ? ? ?1 a2 b2 c2解：设第一卦限内顶点为 p( x, y, z ) 则长方体长、宽、高分别为 2x 、2y、2zV ? 2x ? 2 y ? 2z 且? x2 y 2 z 2 ? 作 L( x, y, z ) ? xyz ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? b c ?a ?292? x ? ? Lx ? yz ? a 2 ? 0 ? 2? y ? 令 ? Ly ? xz ? 2 ? 0 b ? ? 2? z ? Lz ? xy ? 2 ? 0 c ?由① 得： -③x2 y 2 z 2 ? ? 代入③ a 2 b2 c 2得x2 y 2 z 2 1 ? ? ? a 2 b2 c 2 3a 3 ,y? b 3 ,z? c 3?x ?由实际意义en ? (cos ? , cos ? , cos ? )30
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