ruiyong2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》――定积分与微积分基本定理_百度文库
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ruiyong2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》――定积分与微积分基本定理
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你可能喜欢现在已经开始了一轮考研数学的复习，使用同济《高等数学》第六版。对于考研来说，它是本很好的教材，各个知识点都罗列得非常清晰。但是如果你想真正学习微积分，真正把握它的知识脉络，那么它则是下下之选。因为在这本书中，每个知识点所衍生出来的枝叶太过繁杂，繁杂到已经把微积分的主干脉络所淹没。所以，借考研这个机会，我打算查阅一些相关资料并结合自己的理解，在同济教材中尝试着寻找微积分主干的来龙去脉。《高等数学（上）》主要讨论一元微积分，而《高等数学（下）》则主要是关于二元微积分的论述。本篇文章主要则是针对上册，即一元微积分部分而写的。
1.一元微积分的框架
　　首先，直接给出一元微积分的框架图，对应《高等数学》同济版（上）。只作简单的解释，然后再一一展开叙述。
　　① 函数和函数的极限，是微积分得以建立的基础；
　　② 微积分学这门学科由三部分组成：微分、积分、指出微分与积分是一对矛盾的&微积分基本定理（Newton - Leibniz formula）；
　　③ 微分与积分互为矛盾的对立面，微分中的一条定理或公式，在积分中也应有相应的定理或公式。反之亦然，即它们之间是相互对应的。因此，你可以看到上面的双向箭头，指明了一些零散知识点的联系。
　　上面这张图，就是《高等数学》上册的知识结构框架图，掌握此图，就把握到了一元微积分的精髓。
2.微积分的地基 && 函数与极限
　　无论翻开哪本微积分教材，都少不了 函数 和 极限 的踪影。比如我们上课时用的《微积分学》（华中科技大学数学系）就用了开头两章（ 第一章：函数、第二章：函数的极限与连续性）介绍它们；同济《高等数学》则把内容压缩到一章，即 &第一章：函数与极限&。
　　第一个疑问随之而来：在现代大学微积分教材中，为什么都会将函数和极限放在开端呢？
2.1 变量与函数
　　人类自诞生以来，就没有停止一刻地去尝试理解我们所置身的世界。早在原始时期，我们的祖先就开始用 &数& 的概念表示物体的数量，用刻在岩壁上的线条来代表天体运动的轨迹。
　　然而，客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。常量只能反映出某个变化过程在某一刻的外在表现，使用常量显然无法揭示出变化的内在规律。十七世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，人们开始研究运动着的物体和变化中的量，这样就获得了变量的概念。这是数学发展史上的一个转折点。研究变量的一般性质和它们之间的依赖关系，人们又得出了函数的概念，数学对象的扩展就使数学进入了一个崭新的时期。
　　爱因斯坦的质能方程，就是用函数来表达变量之间关系的经典例子。
　　函数，是客观事物内在联系的本质展现，是对现实世界的深度微雕。
2.2 函数与微积分
　　函数提供了我们描述变化中的世界的有力工具，但是人类并不满足于此。我们知道，变化与变化之间往往有着千丝万缕的关系，一种变化往往是另一种变化的诱因。因此，我们常常需要通过某一个已知元素的变化规律，来探查另一个未知元素的变化规律，如：
　　知道了位移的函数表达式，求瞬时速度的函数表达式；反过来，知道了速度的函数表达式，求位移的函数表达式。　　
　　如果你学过微积分，那么一眼就可以看出：前者是微分的过程；而后者，则是其逆运算 && 积分的过程。（如果你还是大一新生，不理解这句话不要急，后面我们会对 &微分& 和 &积分& 的内在含义做详细的说明。）
　　换句话说，微积分实际上就是对函数的一种运算：输入是函数，输出也是函数。通过微分或积分运算，我们可以轻易从已知变量的函数表达式，来推算未知变量的函数表达式。
　　有了函数的概念，微分和积分才有意义。大学微积分教材中不约而同地将函数这一章节放在了最前面，就是为微积分的出现铺下坚实的路基。
2.3 极限与微积分
　　那么极限这个玩意又和微积分有啥关系呢？
　　那是因为，我们在定义微分和积分时，都用到了极限的概念。不信？那就翻到 P79 页（导数的定义）和 P226 页（定积分的定义），你都会发现极限在其中扮演了关键的角色。一句话：要说明微分和积分的大厦，就得用极限当地基。
3.微分学和积分学 && 曾今不相识
　　在牛顿和莱布尼兹之前的时代，微分学和积分学其实是两个独立发展的学科，它们分别是为解决不同的问题而诞生的。我想，沿着这个历史过程去学习微积分，会更好。下面，我们首先分别介绍微分学和积分学，再用牛顿-莱布尼兹公式把它们统一起来。
3.1 微分学
　　微分学中最重要的核心概念，就是导数和微分。
导数的诞生
　　导数的概念究竟是怎么得出的呢？举一个非常简单的物理方面的例子：由位移的函数表达式求瞬时速度。　　
　　现有一个质点沿直线运动，设已知质点的位移的函数表达式为 s(t)，我们需要据此来研究质点运动的快慢问题。质点从时刻 t0 到时刻 t 这段时间间隔内走过的路程为 s(t) - s(t0)，于是我们可以通过式子：
　　来表示质点在时间间隔 [t0,&t] 内平均的快慢程度，称为质点在时间间隔 [t,&t0] 内的 &平均速度&，它显然是一个以连续变量 t 为自变量的函数。但是大多数运动都是非均匀的（即在相等时间间隔内所走过的路程并不相等），因此&&还不能精确地表达指点在&t0&那个瞬时的动态。但是当我们把时间间隔 [t0,&t] 无限缩短，也就是让 t 无限接近于&t0 时，平均速度 ，所趋向的极限 v(t0) 就表达了质点在时刻&t0&的 &瞬时速度& 这个概念，数学表达式如下：
　　以上的极限，就表达了在某个时刻 t，位移 s(t) 相对于时间的瞬时变化率。
　　这样的关于 &变化率& 例子不止一个，在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念涉及到 &变化率&，例如电流强度 I（单位时间内通过导线某截面的电荷量 Q）、角速度 w （单位时间内转过的角度&）等等。可以看出，这种问题是相当普遍的，只要你研究某一变量 A 相对于另一变量 B 的变化率的问题，就&需要用上述的极限来表达这种变化率。
　　既然这种极限如此犀利，数学家们于是给它取了个比较好记的短名 &&&导数，并给出了严格的定义式如下：
　　总之一句话：探求 &函数 y=f(x) 中，因变量 y 相对于自变量 x 的变化率& 的问题，催生了导数的概念。
从导数到微分
　　和导数紧密关联的是微分的概念。从上面的论述中我们知道，为解决 &变化率& 问题，催化了导数概念的诞生。那么又是什么样的问题，导致了微分的诞生？
　　在很多具体问题中，我们&往往需要计算函数的改变量：
　　例如，求内半径为 r，厚度为&&的球壳的体积，我们知道球体积公式为&。当半径从 r 增加到 r +&&时，球的体积增加了
　　这里的函数&&很简单，所以求&&的表达式也不算太麻烦（三次式展开，再相减就行）。但是，有些函数非常复杂，此时求&&就不那么容易计算了。举个例子，现有函数&&，这时候你怎么求&？
　　嘿嘿，数学家们也考虑到这个问题了，有些东西硬算算不动，那就用 &近似& 呗！用一个相对简单的式子去近似那些无法直接计算的东西，不就 OK 了嘛！（虽然近似或多或少会造成误差，但是如果误差极小，趋近于 0，那就无所谓了）&
　　此时，&微分& 的概念就快要 &粉墨登场& 了！
　　我们还是从导数的定义式出发：
　　若令：
　　那么显然有&，即当&&时，。对上式进行变形，有：
　　也就是说，给自变量 x 一个改变量&&时，函数 y 获得的改变量&&由两部分组成：一部分是&（线性部分）；另一部分就是&&（非线性部分）。
　　当&&时，，所以&&是一个比&&更快地趋向于零的一个量。也就是说，当&&很小时，第一部分&&在&&中所占的比例要比第二部分&&大得多。因此，可以把第二部分忽略不计。总的来说就是：当&&很小时，非线性部分会更快地趋向于 0，于是我们可以使用线性部分&&来近似&。
　　呵呵，我们可以为这个线性部分&&取一个名字 && 微分，并用如下的符号表示：
　　特别地，取 y = x，则有&，即&（此式表明：自变量的增量等于自变量的微分），因此上式可以改写为：
　　就这样，我们从导数的概念推出了微分的概念，微分描述了&当自变量 x 的改变 dx 足够小时，函数值 y 的改变 dy 可以用 f'(x)dx 来近似。你可能觉得，这有什么了不起的。不就是一个近似嘛。但是请仔细观察，当 x 是某个具体值的时候，f'(x) 可是一个常数！就是说 dy 和 dx 是成正比例的！进一步，就是说在 [x, x+] 区间内（足够小），y = f(x) 可以近似看成一条直线段！而且&&越小，这种近似越精确！这样一来，我们就可以用线性的方法来处理非线性的问题了，相当方便！
　　如果对上面的话还不太理解，看下面一张图，极其经典，说明了微分的几何意义：&
　　P 点和 M 点都在曲线上，其横坐标分别为 x 和 x+&。
　　过 P 点做曲线切线交 OM 为 N，切线斜率即是导数 f'(x)，那么 dy = f'(x) ? dx 则表示线段 ON。当&&时，&可以忽略不计，此时我们就可以用直线段 PN 来近似代替曲线段 PM 了。
微分学综述
　　微分学，是研究函数局部特性的学科。导数和微分，是微分学中最重要的两个概念。
　　我们可以求出函数的导数 f'(x)，它代表着函数在某点上因变量 y 相对于自变量 x 的变化率（从几何上来说，即是此点的切线的斜率）；进一步，我们导出了微分的概念，它可以将复杂函数在局部范围内近似成线性函数，斜率即为此点的导数。这种线性近似，使得对复杂函数的研究在局部上得到简化，为后续的研究工作提供了强有力的支持。
　　增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微分学理论的精髓所在。
3.2 积分学
　　现在的积分学，包括定积分和不定积分。虽然它们之间只差一个&不&字，但是在牛顿-莱布尼兹公式出现之前，它们可是风马牛不相及的！一般的微积分教材，往往把不定积分安排在了微分和定积分之间来讲（翻翻书，是不是？），但是这样讲，很容易搅乱学生们的逻辑，给他们一种 &定积分和不定积分原本就是一个东西& 的错觉。我认为更好的方法是：首先单独讲 &微分& 和 &定积分&，然后介绍 &牛顿-莱布尼兹& 为它们建立联系，然后再来介绍不定积分。
从面积说起
　　为了引出积分的概念，我们举一个简单的经典例子：求在 [0, 2] 范围内，&和 x 轴所围的面积，反映在图形上如下：
　　OK，现在我们需要求图形 OAC 的面积。呵呵，怎么办呢？当然如果你懂微积分，一下就搞定了。但是现在我不许用，该怎么解决这个问题？
　　回想一下求圆的面积的思想：把圆沿半径分割成一个个小三角形，求这些三角形的面积之和就可以近似圆的面积了。当分割得越精细，近似的结果就越接近真实的结果。话说回来，我们能不能也用这种 &细分& 的思想来尝试解决抛物线的面积问题呢？如下：
　　如上图，把区间 [0, 1] 分成 n 等分，作出 n-1 个矩形，把它们的面积加起来，则有：
　　当 n 越大时，划分的矩形个数就越多，留白部分也就越少，&也就越接近不规则图形 OCA 的实际面积。当&&时，&= 1/3，也就是图形 OCA 的面积了。
另一个例子
　　比如：已知速度表达式 v(t)，求物体在时间间隔 [, T] 内所走的路程，我们同样可以使用上述的方法来处理：
　　把区间 [,&T] 分成 n 份，插入分点&。当区间分得很细时，由于&&很小，就有理由设想速度 v=f(t) 在这个时间间隔内不可能有多大的变化，因此在&&上可以近似的把速度看成不变的，并且可以把&&内任一时刻 t=&&的速度 v=f() 看成是&&内每一时刻的速度，因此在时间间隔&&内物体所走的路程近似地等于：
　　那么在整个时间间隔&&内所走的路程为：
　　记这 n 个小段的时间&&中的最长者为&（想一想，为什么要这么取？），显然可以看出，当区间&[,&T] 被分得越细时，上面的近似就越精确。若把区间&[,&T] 无限细分，即令&，则上式的极限就等于所要求的路程：
定积分的定义
　　用这种&&先细分，再累加，然后取极限&&的方法来解决的问题还有很多。诸如上述的问题，我们都可以归结到一个计算这样的一个极限。既然这种极限的运用如此普遍，我们于是为它取了个名字 &&&定积分，并总结出它的一般性定义（书上 P225 - P226 已经给出详细定义，所以这里仅给出最终的定义式）：
　　从公式中我们可以看出，定积分其实是一种运算，其运算符号&&就是对被积函数 f(x) 做一种&&先细分，再累加，然后取极限& 的特殊处理。定积分运算的结果，就是最终取极限的结果。定积分的&几何意义，就是 f(x) 曲线下的面积。定积分的 现实意义，就是用来求一个变量 f(x) 相对于另一个变量 x 的累积作用效果（如：面积 s 是线 l 对线 m 的累积作用效果；路程 s 是速度 v 对时间 t 的累积作用效果；功 W 是力 F 对位移 s 的累积作用效果）。
　　这就是定积分，也就是在牛顿-莱布尼兹公式出现之前，积分学的核心内容。
4.牛顿-莱布尼兹公式 && 微分和积分的联姻
微分妹和积分哥，就这样各自走各自的路，直到遇见牛顿和莱布尼兹，才成就了他们之间的好事，成就了数学界的一段佳话。
这也就是牛顿和莱布尼兹的伟大之处，他们指出，微分和积分是逆运算，这样一来，求定积分的问题就可以转化成求原函数之差的问题，极大程度上简化了定积分的求解过程。
不过，在介绍牛顿-莱布尼兹公式之前，我们还是对微分和积分的发展情况做一下小小的对比吧~
导数、微分
曲线在某点的切线
曲线下的面积
变量A相对于变量B的变化率
变量A相对于变量B的累积作用效果
已知位移 s(t) 求速度表达式 v(t)
已知速度 v(t) 求位移表达式 s(t)
4.1 定积分怎么这么难算?
　　之前我们在介绍定积分的时候，曾经举了一个求&&在 [0, 1] 范围下，与 x 轴所围图形的面积。我们使用了&定义法&来计算定积分，把不规则的图形切割成一个个小的矩形，然后累加，取极限，就得到了最终的结果。但是&&非常简单，假如我给你一个这样的函数&，让你去计算在 [0, 1] 区间下的面积，如果你还是套用定积分的定义法，会出现如下的式子：
　　看到这个式子你应该哭了吧~ 真心难算啊！虽然我举的例子极端了点，但是说明了一个非常棘手的问题：使用定义法来计算复杂函数的定积分，难、难、难！
　　怎么办？牛顿-莱布尼兹 &粉墨登场& ！
4.2 麻烦的解决：牛顿-莱布尼兹公式
　　我们直接给出此公式，略去证明部分（证明见 P239）：
　　在区间 [a, b] 上如果有 F'(x) = f(x)，则有：
　　这个公式说明的问题就是：对某函数 f(x) 的定积分的计算，可以转化成其原函数 F(x) 的差运算。
　　有了这个强力公式之后，我们再来看&&这个问题。也就是说，我们只要找打了&&的原函数，问题自然迎刃而解了！那么，怎么才能早到 f(x) 的原函数呢？
　　这就要借助求导公示表了，在 P116 页，我们发现了第一条求导公式就是：
　　那么，我们只要找到求导之后是&&的函数就行了，逆推一下，令&，那么&，原函数显然是&&了！那么根据牛顿-莱布尼兹公式，有：
　　是不是超简单？再也不用讨厌而又麻烦的定义式了！
　　换句话说，这是不是一种进步呢？定积分如此重要，但是它的定义法如此麻烦，而牛顿和莱布尼兹指出了这一公式，大大简化定积分的计算过程，极大推动了科学的发展（特别是物理学），进而推动了生产力，加快了社会前进的步伐，称他们伟大是理所当然的了！
4.3 不定积分
　　讲完了微分、定积分 和 联系它们的牛顿-莱布尼兹公式，我们再来看看不定积分到底是个什么东西。
　　之前曾说过，我们求 f(x) 的原函数，只要对照着 P116 - P117 的导数公式，再逆向推导就行了。
　　但是，总是这样逆过来推，感觉也比较别扭。于是，数学家们不妨就把这种求导的逆过程，专门拿出来整理一番，起了个名字&&不定积分，并得到了 P188-P189 的积分表，还附带了一些积分技巧，如换元法、分部积分法等。
　　不定积分，就是求导的逆运算，在牛顿-莱布尼兹公式出来之前，它和定积分完全不相干！（因为在此公式出来之前，求导和求定积分完全不想干）。只有当该公式出来之后，不定积分这套运算规则才并入积分学的范畴之中，极大地方便了定积分的运算。
　　至此，一元微积分的主要框架已搭建完毕：微积分，由微分学、积分学、以及联系两者的牛顿-莱布尼兹公式构成。其中微分学的核心内容为导数和微分；积分学的核心内容为定积分和不定积分。
5.还有些残留物，怎么办？
　　OK，上面的论述已经涉及到了《高等数学》同济版（上册）的 第一章 ~ 第六章，至于第七章 &常微分方程& ，不过是微积分在解微分方程中的一种应用罢了，在此不作过多的解释。好了，现在都讲完了，还有什么可讲呢？
　　虽然我们搭建起了微积分的框架，但是微分学和积分学中的一些零碎的东西，比如一些定理啊、公式啊、运算法则啊之类的，都太散了。接下来的任务就是为它们建立起联系，赋之以框架。下面的论述，有的人可能感觉有点玄，不严谨，但是很有助于我们对微分和积分的深度理解。
5.1 对立统一定律
　　Makesi（Max），估计是大家比较讨厌的人之一了，中国的童鞋基本上免不了被他轮的悲惨命运：中考必考政治、高中文科考政治，考研也要考政治。估计大家一听到 Max 这个名字，头脑中就会条件反射性地和无聊、枯燥挂钩了~ 呵呵，我同样讨厌老马，不过话说回来，他的一些东西确实有价值，不然就不会取得如此高的国际声誉了；我们讨厌他，或许是不正确的学校教育所造成的一种偏见。
　　在 Max 的理论中，唯物主义辩证法是非常重要的一部分，其中的 &对立统一规律& 是他非常重视的定律，被称作是 &事物发展的根本规律&。下面摘一段大二上的《马克思主义基本原理概论》P38 页的几段话。直接用，不加解释，因为我实在无力解释哲学范畴里的东东...
　　&对立统一规律提供了人们认识世界和改造世界的根本方法&&矛盾分析法。对立和统一分别体现了矛盾的两种基本属性。统一，是指矛盾双方相互依存、相互贯通的性质和趋势。对立，是指矛盾双发相互排斥、相互分离的性质和趋势。&
　　而微分和积分就是矛盾的双方，而指出这种矛盾性的，正是牛顿-莱布尼兹公式（参考龚昇的《微积分五讲》，至于为什么，他也没说，我也不知道，玄吧~）。它们之间，既是对立的（一个是微分的形式，一个是积分的形式），又是统一的（他们的研究对象都是函数，微分研究函数的局部特性，积分研究的是函数的整体特性）。原则上讲，微分中的一条定理或公式，在积分中也应有相应的定理或公式；反之亦然，即它们之间是相互对应的。
　　在矛盾的观点下，我们来看一看微分和积分中的一些对应点。
5.2 对应点的举例
　　对于微分运算来讲，在第二章的第二节 &函数的求导法则& 中，有这样几条运算规则：
　　①&和&的求导法则：
　　②&乘积&的求导法则：
　　③&复合函数&的求导法则：
　　　　若&&，则有：
　　对于积分运算来讲，第四章 &不定积分& 介绍了三类最重要的积分法则：
　　④&有理函数的积分：
　　⑤&分部积分法：
　　⑥&换元法：
　　　　设&&则有：
　　可以看出：① 可推出 ④，② 可推出 ⑤，③ 可推出 ⑥。也就是说，① 与 ④、② 与 ⑤、③ 与 ⑥ 是一一对应的。
　　P95 的求导表 和 P188 的积分表，是相互对应的。
　　P129 的微分中值定理 和 P233 的积分中值定理是相互对应的。
　　总之，认识到微分和积分是一对矛盾的对立面，非常有助于梳理它们的一些定理与公式，把它们也归纳到了框架之中。
6. 微积分综述
　　写这篇文章的初衷，主要是因为我要考研了，有机会在时隔 2 年后再次接触微积分。大一的微积分虽然考了 98 分，但是自觉学的很稀烂... 毕竟 &考试& 和 &学习& 是本质上不同的活动，前者是分数导向（score-oriented），后者则是知识导向（knowledge-oriented）。因此，重学微积分这门基础课，也是一个不错的选择。而且，现在我把班委和俱乐部的所有职责都推掉了，除了考研就没别的事儿了，何不静下心来重温微积分？然后把学习的心得写成一篇日志的形式，既有益于个人思维的整理，而且方便日后回顾，而且又可以为其他的同学提供一些绵薄的帮助。这种利人利己的事情，再多也不为过。
　　在参阅的众多微积分教材中，最让我受益的则是龚昇教授的《》，我认为它是国内微积分教材中最好的一本，没有之一。在此，借用一下卓越上的一条评论：
龚昇教授是我最钦佩的大师之一！他写的这本《简明微积分》，突破了传统高数教材的结构框架，抓住了微积分的主要矛盾，从较高的层次把微积分的内容娓娓道来，全书内容精彩而引人入胜，可以说是把&微积分&给讲&活&了！不管是对初学者还是对学过高等数学想提高数学素养的人来说，本书都是一本不可多得的优秀教材！什么同济版之流的教材与此书相比简直就不是一个境界的！如果再配合科大的《高等数学导论》和龚昇教授的《微积分五讲》一起互为参考学习，那种感觉简直是妙不可言！龚昇教授在他的一本论文集中写到：&我无学位，非院士，不过是一个普普通通的老教书匠&。但是他的数学素养和水平绝对不亚于任何院士。在国产的数学资料中，能让我怀着尊敬的心态拜读大作的高水平高师德的大师不多，华罗庚，陈希孺，龚昇，李尚志，张筑生，史济怀，曾肯成。仅此数位。
　　看了这本书，也让我明白了一个事实：中国科技大学，是国内基础课程教学做得最好的学校，没有之一。
　　写这篇日志，断断续续花去了一个星期的时间。说起来容易，但真正写的时候，就会发现真的不是一件轻松的事情。首先，一篇博文，当然是 &内容为王& 了，所以你需要保证内容的质量，参考各类不同的微积分教材，把逻辑框架理顺，而且在写的过程中还会不断地修改；写这种数学博客，当然需要上公式和图片，但是直接用键盘敲当然是敲不出来的，于是还得借助各类工具：用
把所有公式的代码敲出来，用
绘制每一张函数图像；最后，你还得考虑博文的用户体验，于是借助少量的 CSS 和 JS 代码做一定的修饰。
　　写逻辑性强的博文，就像做一个软件产品，首先需要构架起框架，然后不断地迭代，不断的 Debug，直到最后得出自己较为满意的文章为止。这种经历，告诉我任何一件东西一蹴而就是非常困难的，我们应该以平和的心态不断地去精雕细琢，不断地创新求变，才能做出好的东西，才不会落到 &不废江河万古流& 的地步。国内为什么出不了 iPhone 这样的产品，为什么出不了魔兽争霸、暗黑 2 这样的巨作，或许都是败在 &浮躁& 这个词之上。
　　嘿嘿，我的智商、情商十分有限，虽然已尽力而为，但肯定有不当甚至错误之处。哪些地方有错别字，哪些地方语句不通顺或残缺，哪张图片有错误。或者更进一步，哪些地方你看不懂，看得不爽，尽管批评指正哈！期待你的 feedback！
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2013届高考数学第一轮复习精品学案第38讲：导数与定积分
导读：2013年普通高考数学科一轮复习精品学案，第38讲导数、定积分，（5）定积分与微积分基本定理，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，直观了解微积分基本定理的含义，（6）数学文化，收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，体会微积分的建立在，具体要求见本《标准》中&数学文化&的要求，导数是高中数学中重要的内容，是解决实际2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第38讲
导数、定积分一．课标要求1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中&数学文化&的要求。二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而2013年的高考预测会在这方面考察，预测2013年高考呈现以下几个特点：（1）新课标考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。三．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x?y?x ），比值?y?x叫做函数y=f（x）在x 到x +?x之间的平均变化率，即=f(x0??x)?f(x0)?x。 ?y?x如果当?x?0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f?（x0）或y?|x?x。 即f（x0）=lim说明：?y?x?x?0=limf(x0??x)?f(x0)?x。?x?0（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。?y?x有极限。如果?y?x不存在极限，（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；?y?x（2）求平均变化率=f(x0??x)?f(x0)?x?y?x；（3）取极限，得导数f?(x0)=lim2．导数的几何意义?x?0。函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））
处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f?（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。3．常见函数的导出公式．（１）(C)??0（C为常数）
（２）(x)??n?xnn?1 （３）(sinx)??cosx
（４）(cosx)???sinx 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (u?v)?u?v.法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)?uv?uv.若C为常数,则(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)?Cu.'''''''''''''法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：?形如y=f??(x)u'v?uv'?u??=（v?0）。 ?2v?v??的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解――求导――回代。法则：y＇|X= y＇|U ?u＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，如果f'(x)?0，则f(x)为增函数；如果f'(x)?0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f'(x)?0，则f(x)为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数?(x)在(a，b)内的极值； ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6．定积分 （1）概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0&x1&…&xi－1&xi&…xn＝b把区间[a，b]等分成nn个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝?f(ξi)△x（其i＝1中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：?f(x)dx，即?f(x)dx＝limaabbnn???i?1f(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：?0dx＝C；?xmdx＝＋C；?edx＝e＋C；?adx＝中C均为常数）。x1m?1xm?1＋C（m∈Q， m≠－1）；?1xdx＝lnxxxaxlna＋C；?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表（2）定积分的性质①?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）；aabb②?f(x)?g(x)dx?ab?baf(x)dx??bag(x)dx；③?f(x)dx?ab?caf(x)dx??bcf(x)dx（其中a＜c＜b)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a&b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积S??baf(x)dx。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x（不妨设)f1(x)≥f2(x)≥0），线x＝a，x＝b（a&b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝?f1(x)dx?ab及直?baf2(x)dx。四．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=12gt，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均2速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。解析：（1）?3,3.1?,?t?3.1?3?0.1,?t指时间改变量；
?s?s(3.1)?s(3)?
v??s?t?12g3.1?212g3?0.305.?9s指时间改变量。20.3059?3.05。9 1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2）从（1）可见某段时间内的平均速度?s?t随?t变化而变化，?t越小，?s?t越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是?t?0时，1s(3??t)?s(3)?t?lim?s?t的极限，12V=lim?x?0?t=lim2g(3??t)??t2g32?x?0?x?0 =12glim（6+?t)=3g=29.4(米/秒)。4x2?x?0例2．求函数y=的导数。4x2解析：?y?4(x??x)2x??x2???4?x(2x??x)x(x??x)22，?y?x??4?x(x??x)22，?lim?y?x?0?2x??x?8=-。 ?lim??4?2?23?x?0?xx(x??x)?x?点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型2：导数的基本运算2例3．（1）求y?x(x?1x?1x3)的导数；（2）求y?(x?1)(x21xx2?1)的导数；（3）求y?x?sinx2cos的导数；（4）求y=sinx2的导数；（5）求y＝3x?xx?5x?9x的导数。2x33解析：（1）?y?x?1?1x2'2,?y?3x?.?12（2）先化简,y?12x?1x32?x?1x1?1??x2?x?y??'12x??12x???1?1??1??.x?2x?（3）先使用三角公式进行化简.y?x?sinx2cosx2?x?'12sinx111??''?y??x?sinx??x?(sinx)?1?cosx.222??'包含总结汇报、教学研究、行业论文、旅游景点、农林牧渔、求职职场、自然科学以及2013届高考数学第一轮复习精品学案第38讲：导数与定积分等内容。本文共3页
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