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高三数学中档题训练11-15（带详细答案）
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3秒自动关闭窗口上海市2014届高三数学一模试卷11：青浦区试卷及答案
青浦区2013学年第一学期高三期终学习质量调研测试
数学试题 Q.
（满分150分，答题时间120分钟）
学生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 在直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹方程 是                  
2.已知全集，集合，且，则实数的取值范围是                  
3.各项为实数的等比数列中，则                  
4.已知点、、、，则向量在方向上的投影为                  
5.已知，且，则                  
6.已知圆锥底面圆的周长为，母线与底面所成角的大小为，则该圆锥的体积是
                  
7.要使函数在区间上存在反函数，则实数的取值范围是                  
8.已知，则实数的取值范围是                  
9.已知定义域为上的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为                  
10.已知集合，从的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是                  
11.点在上，焦点是、，若，则                  
12.已知扇形的周长为定值，写出扇形的面积关于其半径的函数解析式                  
13.已知直角坐标平面上任意两点、，定义
为两点的&非常距离&．当平面上动点到定点
的距离满足时，则的取值范围是            
14.若不等式对任意自然数恒成立，则实数的取值范围是                  
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编
号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.指数函数且在上是减函数，则函数在上的单调性为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（     ）．
单调递增                          
  单调递减      
在上递减,在上递增  
在上递增,在上递减
16.直线的倾斜角的取值范围是&&&&&&&&&&（     ）．
       
      
    
17.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项
为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（     ）．
       
  
       
          
  
对于函数，若在定义域内存在实数，满足 称为&局部奇函数&，若
为定义域上的&局部奇函数&，则实数的取值范围
是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（     ）．
                    
      
       
    
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
在△中,角所对的边分别为，向量，
   
（1）求角的大小；
 (2）若,且，求边的长．
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
如图，在直三棱柱中，
(1) 求证：平面；
(2) 若为的中点，求异面直线与所成的角的大小．
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立.
（1）求，的值；
（2）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值．
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分.         
 椭圆的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线与椭圆相交于
两点，设直线的斜率分别为、，且恰好构成等比数列，记的面
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求的最大值．
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.    
（1）已知函数，求证：；
（2）对于（1）中的函数 ，求证：存在定义域为的函数，使得
       
对任意成立；
（3）对于任意，求证：存在定义域为的函数，使得等式
       
对任意成立.
青浦区2013学年第一学期高三数学参考解答
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. ；              
2. ；          
3. ；           
4.；         
5. ；               
7. ；          
9. ；                
11. ；            
13.；               
二.选择题（本大题满分20分）
15.   ；   
16. ；    
17.；      
18.  ．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
解：（1）&&&&&&&&&&&2分
，&&&&&&&&&&&&4分
，  
&&&&&&&&&&&&&&6分
（2）,&&&&&&&&&&&&&&8分
&&&&&&&&&11分
     
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&12分
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
  解： (1) 由题意知四边形是正方形，故．               
&&&&&&&&2分
由平面得．又，
所以平面，故&&&&&4分
从而得  平面．
   
 &&&&&&&
(2)解法一：
在线段上取中点，连结
直线与所成角等于直线与所成的角．    
&&&&&&&&&&8分
设，在△中，，，
               
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&11分
 &&&&&&&&&&&&&&&&13分
，异面直线与所成的角的大小是 &&&&14分
解法二：设，以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，，&10分
直线与所成的角为，向量的夹角为
   
  
 &&&&&&&&&&&&&12分
即异面直线与所成角的大小为．&&&&&&&&&&14分
（说明：两种方法难度相当）
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）由已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立即
解方程组得
或或&&&&&&&&&&&&&各2分
（2）即           
&&&&&&&&&&&&&&7分
       
作差得       
         
&&&&&&&&&&&&&&10分
令，则 
可知是首项为1，公差为的等差数列&&&&&&&&&&&&11分
&&&&&&&&&&&13分
由计算器可得，所以时的值最大为&&&14分
解法二：&&&14分
解法三：也可以用两边夹的方法计算得到
&&&&&&&&&&&&14分
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分.         
解：（1）由题意可知且，&&&&&&&&&&&&2分
所以椭圆方程为                       
 &&&&&&&&&&&&4分
（2）设直线的方程为由
                   
&&&&&&&&&&&&5分
      
&&&&&&&&&&&&6分
恰好构成等比数列
即&&&&&&&&8分
此时即       
&&&&&&&&&&&&&9分
     
&&&&&&&&&&&&&&&&&11分
所以是定值为5．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&12分
（3）&&&&&&&&&&&&13分
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&14分
        
&&&&&&&&&&&&15分
当且仅当即时，的最大值为1.
&&&&&&&&&&&&16分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
（1）证明：由可得，&&&&&&&&&&&3分
 所以        
&&&&&&&&&&&4分
（2）证明：由，
&&&&&&&&&&&8分
              
&&&&&&&&&&&10分
   （3）证明：当
          
&&&&&&&&&&&12分
当 时                   
&&&&&&&&&&13分
则．&&&&&&14分
      
&&&&&&&&&&&16分
            
&&&&&&&&&&&18分
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（本小题满分14分）已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x2－12x+11的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
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（1）∵f′（x）＝＋2x－12，∴f′（4）＝＋8－12＝0因此a＝16&&……………………………………………3分（2）由（1）知，f（x）＝16lnx＋x2－12x＋11，x∈（0，＋∞）f′(x)＝…………………………5分当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)＞0当x∈(2,4)时，f′(x)＜0……………………………………………7分所以f(x)的单调增区间是(0,2)，(4，＋∞)f(x)的单凋减区间是(2,4) ……………………………………………………………………8分(3)由(2)知，f(x)在(0,2)内单调增加，在(2,4)内单调减少，在(4，＋∞)上单调增加，且当x＝2或x＝4时，f′(x)＝0所以f(x)的极大值为f(2)＝16ln2－9，极小值为f(4)＝32ln2－21因此f(16)＝16ln16+162－12×16+11＞16ln2－9＝f(2)f(e－2)＜－32＋11＝－21＜f(4)所以在f(x)的三个单调区间(0,2)，(2,4) ，(4，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(4)＜b＜f(2)成立………………………………………………………………………………13分因此，b的取值范围为（32 ln2－21,16ln2－9）． …………………………………………………………14分略
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据魔方格专家权威分析，试题“（本小题满分14分）已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x2－12x+11的一个极值点..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“（本小题满分14分）已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x2－12x+11的一个极值点..”考查相似的试题有：
786535869462526798456777496220437157