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淘豆网网友近日为您收集整理了关于广东省珠海市金海岸中学高考数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：广东省珠海市金海岸中学高考数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题 用心爱心专心 1广东省珠海市金海岸中学高三数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题高考要求纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度重难点归纳1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题2 纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关(1)事理关需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力(2)文理关需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系(3)事理关在构建数学模型的过(来源：淘豆网[/p-.html])程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力典型题例示范讲解例 1 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少5 1,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?命题意图本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型用心爱心专心 2知识依托本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点错解分析((来源：淘豆网[/p-.html])1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差技巧与方法正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧解(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1-5 1)万元,…第 n 年投入为 800×(1-5 1)n-1万元,所以,n 年内的总投入为an=800+800×(1-5 1)+…+800×(1-5 1)n-1= nk 1 800×(1-5 1)k-1=;[1-(5 4)n]第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+4 1),…,第 n 年旅游业收入 400×(1+4 1)n-1万元所以,n 年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+4 1)+…+400×(1+4 1)k-1= nk (来源：淘豆网[/p-.html])1 400×(4 5)k-1=;[(4 5)n-1](2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an&0,即 ;[(4 5)n-1]-;[1-(5 4)n]&0,令 x=(5 4)n,代入上式得 5x2-7x+2&0解此不等式,得 x&5 2,或 x&1(舍去)即(5 4)n&5 2,由此得 n≥5∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入用心爱心专心 3例 2 已知 Sn=1+3 12 1 +…+n1,(n∈N*),设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m的取值范围,使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式f(n)&[logm(m-1)]2-20 11[log(m-1)m]2恒成立命题意图本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力知识依托本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙错解分析本题学生很(来源：淘豆网[/p-.html])容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理技巧与方法解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立就转化为函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2-20 11[log(m-1)m]2解∵Sn=1+3 12 1 +…+n1(n∈N*)0)42 132 1()42 122 1(42 232 122 12 132 122 1)()1(12 13 12 1)( 112 nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnf nn又∴f(n+1)&f(n)∴f(n)是关于 n 的增函数∴f(n) min=f(2)=20 932 122 1∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式f(n)&[logm(m-1)]2-20 11[log(m-1)m]2恒成立只要20 9&[logm(m-1)]2-20 11[log(m-1)m]2成立即可由11,01 1,0mmmm得 m&1 且 m≠2此时设[logm(m-1)]2=t 则 t&0用(来源：淘豆网[/p-.html])心爱心专心 4于是0 tt解得 0&t&1由此得 0&[logm(m-1)]2&1解得 m&2 51且 m≠2例 3 已知二次函数 y=f(x)在 x=2 2t处取得最小值-4 2t(t&0),f(1)=0(1)求 y=f(x)的表达式;(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表示 an 和(3) 设 的方程为(x - an)2+(y - bn)2=rn2,
+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn解(1)设 f(x)=a(x-2 2t)2-4 2t,由 f(1)=0 得 a=1∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1(2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的 x∈R 都成立,取 x=1 和(来源：淘豆网[/p-.html]) x=t+1 分别代入上式得1)1()1(1nnnnntbatba且 t≠0,解得 an=t1[(t+1)n+1-1],bn=tt 1[1-(t+1 ]n)(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知 an+bn=1, 的圆心 On 在直线 x+y=1 上, +1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1设{rn}的公比为 q,则1 21 1 2( 1)2( 1)nn nnn nr r q tr r q t
① ②用心爱心专心 5②÷①得 q=nnrr 1=t+1,代入①得 rn=2)1(2 1 tt n∴Sn=π(r1 2+r2 2+…+rn2)= 3 42 221)2()1(2 1)1(tttqqr n[(t+1)2n-1]学生巩固练习1 已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim(来源：淘豆网[/p-.html])n(d1+d2+…+dn)的值是( )A 1 B 2 C 3 D 4 2 在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是_________3 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用水加满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升4 据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7 3%,”如果“十五”期间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_________亿元5 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r&0),且{anan+1}是公比为 q(q&0)的等比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…)(1)求出使不等式 a(来源：淘豆网[/p-.html])nan+1+an+1an+2&an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;(2)求 bn 和nn S1lim,其中 Sn=b1+b2+…+(3)设 r=2 19 2-1,q=2 1,求数列{nnbb2 12loglog }的最大项和最小项的值6 某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1 到 n 排序,第 1 位职工得奖金nb元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金(1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n和 b 表示 ak(不必证明);(2)证明 ak&ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实用心爱心专心 6际意义;(3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求limnPn(b)7 据有关资料,1(来源：淘豆网[/p-.html])995 年我国工业废弃垃圾达到 7 4×10 8吨,占地 562 4 平方公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少4 吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的回收量,试问(1)2001 年回收废旧物资多少吨?(2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?(3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地?8 已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a&0),A3 是线段 A1A2的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An-2An-1 的中点,…(1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3);(2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;(3)求 limnxn参考答案:用心爱心专心 7 3 解析第一次容器中有纯酒精 a-b(来源：淘豆网[/p-.html]) 即 a(1-ab)升,第二次有纯酒精 a(1-ab)- baaba )1( ,即 a(1-ab)2升,故第 n 次有纯酒精 a(1-ab)n升答案 a(1-ab)n4 解析从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7 3%为公比的等比数列,∴a5= 3%)4≈120000(亿元)答案
解(1)由题意得 rqn-1+rqn&rqn+1用心爱心专心 8由题设 r&0,q&0,故从上式可得 q2-q-1&0,解得2 51&q&2 51,因 q&0,故 0&q&2 51;(2)∵ 0,212 2121 21qaaqaqaaaaabbqaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnb1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1当 q=1 时,Sn=n(1+r),1 1 0;lim lim(1 )n nnS n r
(1 )(1 )0 1 , ,1nnr qq Sq
当时1 1 1;lim lim(1 )(1 ) 1nn nnq qS r q r
(1 )(1 )1 , ,1nnr qq Sq
当时1 1 0,lim lim(1 )(1 )nn nnqS r q
1, (0 1)1 1lim0, ( 1)nnqqrSq
所以1(3) (2), (1 ) nnb r q
由有.2.20 11log)1)(1(loglog)1(log])1[(log])1[(logloglog22 221 22 212 nqnrqnrqrqrbbnnnnnnnbbC2 12loglog 记,从上式可知,当 n-20 2&0,即 n≥21(n∈N*) 随 n 的增大而减小,故≤C21=1+8.0 11 2. 25 ①当 n-20 2&0,即 n≤20(n∈N*) 也随 n 的增大而减小,故≥C20=1+2.0 11 2. ②综合①②两式知,对任意的自然数 n 有≤C21,}的最大项 C21=2 25,最小项 C20=-4用心爱心专心 9 7 解设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量,则数列{an}是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列(1)a6=10(1+20%)5=10×1.2 5=24.8832≈25(万吨)(2)S6=2.0 16.1 101%)201(]1%)201[(10 66=99.(万吨)∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99 3≈1986(万吨)(3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨),∴从 1996 年到 2001 年共节约8 . 平方公里8 解(1)当 n≥3 时,xn=2 21aaxxxxxxxaaxxxxxxxaaxxa4 1)2 1(2 1)(2 12,2 1)(2 12,)2(233
232121用心爱心专心 10由此推测 an=(-2 1)n-1a(n∈N)证法一因为 a1=a&0,且11 111 21)(2 122
nnnnnnnnnnn axxxxxxxxxa (n≥2)所以 an=(-2 1)n-1a播放器加载中，请稍候...
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高二数学等比数列填空题和解答题习题检测以及相应的参考答案
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高二数学等比数列填空题和解答题习题检测以及相应的参考答案
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a1-a5=-,S4=-5,则a4=
2．三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为
3．在正数项列{an}中，a2n+3=an+1,an+5,且a3=2,a11=8,则a7=
4．已知首项为，公比为q(q&0)的等比数列的第m,n,k项顺次为M，N，K，则
(n-k)logM+(k-m)logN+(m-n)logK=
5．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k=
6.2+(2+22)+(2+22+23)+...+（2+22+23+...+210）=
7．数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1(a&0,a1),则此数列的通项公式为
二、解答题
1． 已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。
2． 数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。
3． 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）。
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=r(r&0)，数列{bn}是公比为q的等比数列(q&0),bn=anan+1，cn=a2n-1+a2n,求cn。　
一、 填空题
1、12； 2、 50，10，2或2,10,50；
6、a3+a9=-a3a9=a5a7=-∴ (-)2=3×+2
k=9； 7、.212-24；
8、an=(a-1)an
二、 解答题
1．解得a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1
2．∵ S2n&Sn, ∴q1
②/①,得qn=81
③∴q&1,故前n项中an最大。③代入①，得a1=q-1
又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q
∴a1=2,q=3
3.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金。
a1=1000(1+)-x
a2=[1000(1+)-x](1+)-x=-x(1+)-x
a3=[-x(1+)-x](1+)-x=-x(1+)2-x(1+)-x
a5=-x(1+)4-x(1+)3-x(1+)2-x(1+)-x
则1000（）5-x[()4+()3+...+1]=()5-x?
解得x424万元
4．∵bn+1=bnq, ∴an+1an+2=anan+1q
∴an+2=anq,即
由a1=1,a3=q,a5=q2,......，知奇数项构成一个等比数列，故a2n-1=qn-1
由a2=r,a4=rq,a6=rq2,......,知偶数项也构成一个等比数，故a2n=rqn-1
∴Cn=(1+r)qn-1
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