一个数学问题（中英文对照）
一个数学问题
　　比尔是一个好学生，也是个聪明的孩子。他喜欢学数学，课本上所有的数学问题他都能不费劲地解答。
　　有一天，在上学路上，比尔经过一家水果店。该店窗户上有个招牌上写着：“苹果--五美分六个。”比尔脑筋一转，进了店门。
　　“苹果怎么卖？”
　　“五美分六个。”
　　“但我不想要六个。”
　　“你想要几个？”
　　“这不是我想要几个的问题。这是个数学问题。”
　　“数学问题？你说这话是什么意思？”
　　“你看，如果六个苹果五美分，那么五个苹果四美分，四个苹果三美分，三个苹果二美分，二个苹果一美分，一个苹果就不要钱。我只要一个苹果，如果一个苹果一分钱也不要的话，那我也就没必要给你钱了。”
　　比尔拣了一个好苹果，开始吃了起来，然后兴高采烈地迈出了店门。那个售货员吃惊地望着这个小男孩，一句话也说不出来。
Problem in Arithmetic
Bill is a good student
and an intelligent boy. He likes to study arithmetic, and he can
do all of the arithmetic problems in his book easily.
One day on his way
to school Bill passed a fruit store. There was a sign in the window
which said, "Apple-Six for five cents." An idea came to Bill and
he went into the store.
"How much are the
apples?" he asked the store.
"Six for five cents."
"But I don't want
six apples."
"How many apples do
you want?"
"It is not a question
of how many apples I want. It is a problem in arithmetic."
"What do you mean
by a problem in arithmetic?" asked the man.
"Well, if six apples
are wroth five cents, then five apples are worth four cents, four
apples are worth three cents, three apples are worth rwo cents,
two apples are worth one cent and one apple is worth nothing.
I only want one apple, and if one apple is worth nothing then
it is not necessary for me to pay you."
Bill picked out a
good apple, began to eat it, and walked happily out of the store.
The man looked at the young boy with such surprise that he could
not say a word.
□ 资料来源：
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数学组合问题
一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，……，10（5个奇数，5个偶数）的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数,分三种情况，即
只有一个奇数有（C5 1）*（C5 5）=5（种）
只有三个奇数有（C5 3）*（C5 3）=100（种）
五个奇数全有有（C5 5）*（C5 1）=5（种）
所以使它们的编号之和为奇数有 5+100+5=110（种）
本题也可考虑编号之和为偶数共有（C5 2）*（C5 4）+（C5 4）*（C5 2）=100（种），再用（C10 6）-100=110（种）
（C5 1）表示组合数。
(10,6)/2=105
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一年级数学练习题姓名一个加数是36,另一个加数是45,和是多少
一​年​级​数​学​练​习​题​姓​名​一​个​加​数​是6​,​另​一​个​加​数​是5​,​和​是​多​少
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你可能喜欢某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．查看本题解析需要普通用户：1个优点。 1、充值即可查看；2、单位或学校用户即可免费查看。与一个数学教师如影随形的问题
科学家克莱因说：“唱歌能使你焕发激情，美术能使你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能使你改变物质生活，但数学能给你以上的一切。”
数学本身是静止的，可是当一个师者用全身心在思索它时，它就变得动起来，而学科的生命便由此而诞生了！
这时我们问：
一、数学是什么？学生的数学学习成长需要什么？
数学课不等于数学，数学课本也不等于数学！
一道出给小学一年级学生的数学判断题：“黑板是长方形的。”孩子的答案是：对；而老师的答案却是：这道题是错的，因为黑板有厚度，应该是长方体。
为什么会有两种截然不同的看法？
当孩子的认知体系只有平面图形时，会说：黑板是长方形的；而教师的认知体系是平面图形与立体图形皆有的，而且已经明确了它们的区分，因此认为黑板是长方体的。
作为一名数学老师，如何处理此类题？&&&
我们要问：
(1)这个数学题背后，学生的知识背景是什么？在一年级上册的数学教材第4单元《认识物体与图形》，分为两部分内容：其一是立体图形的初步感知与认识，其二是平面图形的初步感知与认知。而在这两部分内容的感知中，其实更在于引导孩子感受它们之间的不同：平面图形摸起来平平的，而立体图形里藏着好多个平平的面。
(2)在学生的数学学习成长中真正需要的是什么？当孩子有了上面的知识体系做支撑时，再来让他们说出自己的判断思考时，其实这个思考过程呈现的不仅是答案，更是对数学的一种思考与体验，更是数学思维的外显——这难道不就是学生在数学学习成长中真正需要的吗？
而此时，我们如何为他们的数学思维提供一个呈现的舞台与时空呢？或许是课堂，或许是家庭，或许是……但终归有一点，那就是我们的视野与关注点。
数学是什么？
&当数学是一种学习方法时，我们会引导学生：在辩证的认识中，体会知识的内涵与特性，那就是：平面图形只有一个面，而立体图形是有几个面的……此时，学生的感受是数学很神奇，数学知识之间有联系。
当数学是一种严谨时，我们会引导学生比较这样的两句话：“黑板的面是长方形的”与“黑板是一个长方体”，前者的落脚点在“面”，后者在一个“物体”。此时，学生的感受是数学语言的奇妙以及对数学认识的变化。
当数学是一种由“误”到“悟”的学习过程时，我们会引导学生：先呈现自己的最初思维，进而引发学生之间的思维产生碰撞，在碰撞中完善认识。此时，学生的感受就是数学是一个研究的过程，而不仅是答案！
当数学是由一道题到一类题到一门学科时，我们会悄然发现其更有价值的东西。&&&
怎样在同一件事上，让学生更多地感受到它们的价值呢？——利导因素的挖掘与开发，让学生的感悟因经历而更丰实，让学生的视野应思维而改变。
二、数学课应是什么样子的？学生是怎么学习数学的？
“4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3,12=7+5……那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？”这就是著名的哥德巴赫猜想。
这样的观察、发现，这样的大胆质疑，被称为数学王冠上的明珠，这会离我们的学生很遥远吗？让我们的学生在实例中真正感悟：“我们每个人都有数学家的潜质，数学的发现与创造并不难！”
基于这样的思考，如何引爆学生们隐藏着的“哥德巴赫猜想”潜质，让学生的数学思维敢于原生态地呈现——对“数学课是什么”的再思考。
曾经思考过这个问题，但是随着时间的流逝、在学科教学中的思考，对不同阶段学生的学习情况、对在数学领域的再学习、对在数学教育中的浅层次研究……对“数学课是什么”的解读是不一样的。
1．数学课应该就是学生数学学习的过程，应该是一个由“误”到“悟”的过程。
不同层次学生对新知识的第一感知思维的外显；在外显过程中，学生思维在发生不同的碰撞（或教师有意识地制造知识的冲突），让学生在碰撞与冲突中，不断地相互完善、补充，是将知识点体系化的一个过程，或许这样的过程会花掉课堂相当一部分的时间，但是这难道不就是我们所真正追求的学生数学学习的过程吗？
因此，数学课应该就是学生数学学习的过程，应该是一个由“误”到“悟”的过程。
&2．应该是一个从内隐的数学思维到外显的数学语言的呈现过程。
3．应该是数学知识点到数学学习方法的一个过程。
4．应该是一个对数学本体知识的纵向挖掘与横向变式拓展，同时又是一个完整数学知识体系的建构过程，立体化的感知过程。&&&
反思以往的数学课堂：是想培养“被动式的吸收习惯”还是想“引爆”隐藏着“哥德巴赫猜想”的潜质？
特别害怕呈现学生那初始的、不完善的，甚至是错误的数学思维，更多的是直接呈现正确的数学内容，可是引发我们思考的是：当学生们的第一思维、原始思维，长期无法呈现时，他们就会养成一个“被动式的吸收习惯”，而这个习惯将导致的是扼制了“由已有数学知识到创生新的数学知识”的过程，他们习惯了学，而习惯了不再思考：为什么会有这些数学知识的产生？当时这些数学家们是怎么想到这些数学知识的？我能否也像他们一样，在已有数学知识的基础上进行数学猜想、验证、探索到新的数学秘密呢……&&&
每一个数学老师，都不敢否认的是每一个学生都隐藏着“哥德巴赫猜想”的潜质，关键是您是否朝着这个方向去“引爆”他们的潜质！
三、数学教育的终极目标是什么？
都说，眼界决定境界，文化力是创造力的源泉，视野开拓思维。作为一个数学老师，怎样来为学生的可持续的数学学习发展搭建平台呢？——数学阅读。跳出数学课本，看数学世界，他们将会有怎样的精彩？
其实，目前学生内储的数学语言是相当少的，在数学学习的最高层次是能“说数学”，而这恰恰是学生最为害怕的，那么如何让学生在潜意识中学习“说数学”？
指导学生进行数学阅读，由学生自己来选数学阅读的读物，选择的前提是：它们一定能够让自己特别感兴趣、特别想看！
不同层次学生所选择的不同阅读书目类型，对其数学学习起到了什么作用？（对数学的兴趣、数学的认识、数学的应用、数学的表达、数学的思维、数学的学习方法）&&&
数学阅读进行一个阶段的最明显的效果是：学生在数学“说理题”上异样精彩。比女Ⅱ：(1+2+3+4+5+6+……+99)+100+101的和是奇数还是偶数？请写出理由。
张缙：(1+2+3+……+99)+100+101=4950+
100+ 101 =5151
陈伟健：1+100=101& 2+99=101&
……101&51=5151
(1+101)&101+2=5151
钟丽燕：是奇数。因为从1加到99--共有49个100，那就是偶数，49个100加上50和100正好是5050。1，所以是奇数。
温思海：(1+100)+(2+99)+(3+98)+……(50+51)
=50&101=5050,
1,答：它们的和是奇数。在数学课外读物上，看过高斯解过类似的题。
雷幼丽：是奇数。因为头尾两个数相加会拼成一个整十、整百的数，然后把101里的1加起来：1+2+3……+10=(1+9)+(2+8)+……+10+5=55，从1-101里一共有10组个位上是1，2，3……
那么55&10=550，550+1
=551，所以是奇数。
与学生一同阅读《数学是怎样学好》时，我在想，怎样的学生会给自己选择这样一本数学读物？学生在看到这本数学读物时，能否看懂？看懂了哪些？不懂的，留给他的又是什么（是一种好奇、疑问、再思索……）?而这本读物的思想、理念又将在这个学生的数学成长过程中，播撒下些什么？播撒下的这些，将伴随他的数学学习生长吗？没有读过这本读物的学生与读过的又将在日后的成长中有什么区别？
教育价值如何最大化？——其实一个数学老师，在有限的时间里，能够教给学生的是仅有的一些数学知识，那么如何在有限的时间里让学生最大化地学习？——学科的阅读，它将呈现的是不同的视野，它永远不会有时空界限！
问题往往是从简单开始的，一个简单得不能再简单的问题，一问“为什么”，就会令人瞠目结舌。其实当你领略到多种多样的数学之美，感受到数学给你的震撼，就一定能学会数学，能够陶醉在美中，并轻松驾驭它！
可见，不拘泥于课本——数学的魅力是无穷的，但通过课本体现出来的却是微乎其微。多读科普性读物，不仅能开阔视野，而且可以提高对数学的兴趣。
在数学阅读的时空里，它给我们打开一个窗口，让我们领略数学的博大精深和广阔用场；给我们一双数学家的慧眼，丰富我们观察世界的方式；给我们一颗好奇心，点燃我们心中的求知欲望；给我们一个睿智的头脑，帮我们进行理性的思维；给我们一套研究的模式，使它成为我们探索世界奥秘的望远镜和显微镜；给我们提供新的机会，让我们在交叉学科寻找乐土，用你的勤奋和智慧去发明、创造。
& &&数学的思维训练价值不仅体现在从实际的生活生产中提炼出问题并解决这些问题，更在于尝试能否将这些问题进行更为一般的引申、推广、演变，深入问题的本质与核心。数学写作正是为学生思维的呈现提供了平台，在思维的深入过程中进行再创造！
每一次的数学写作指导课，总能享受其中：因为在导向中，我们一同用自己的全身心在体验、感悟、享受着数学之“美”，这就是我们没有任何时空界限的数学写作乐园：
拥有的是对同一种数学知识的不同表露，拥有的是对数学的独特思考，拥有的是对数学的个性感悟……
如果说孩子们天生是一张白纸，那么让他们拥有想“绘画数学”的梦想，给予他们“一盒数学的水彩笔”，他们将呈现给我们的会是“一幅幅数学的艺术品”！
&瞧，在上《圆锥的体积》一课之前引导学生写出的数学小作文中的精彩片段：
(1) 思思同学写的《实验中发现的奥秘》
&第一个奥秘就是在装米中，我发现装满了米的圆锥倒进圆柱中不是满的，而要差不多三次才会满。经过我的思考，我明白了，原来圆锥有一个顶点，从这个顶点开始扩散开的，自然这个顶点的装米范围没有上边的那么宽，装得那么多。想明白了这个道理我好开心，不禁为自己而感到自豪！
第二个奥秘就是：在解决了上一个问题时，我发现原来等底等高的圆锥和圆柱都有一个共同的特点就是在装米中圆锥给圆柱装的并不是刚刚好。但是，如果仔细看起来圆柱和圆锥一样高，可装的米数不同，如果圆锥再扩大一点，可以装下圆柱中的米吗？这个问题，我现在还不明白，你可以帮我想想吗？请你告诉我答案。
(2)蔡妙同学写的《实验中的发现》
等底等高组，我小心翼翼地将圆锥里的米粒一次又一次倒进圆柱里，3次，总共3次，倒满了。我疑惑了，体积应该是相等的（因为等底等高）但为什么，圆锥3个这样的体积才顶过一个圆柱？
等底不等高组，我做了同样的动作，心里想：这次应该不会相等了吧？但是在要倒第3杯时，我眼睛瞪得比谁都大。因为我手中这第3杯再倒下去的话，那个圆柱就满了……我马上查一下我是否拿错，事实告诉我：没！我心中又多了一个为什么。
等高不等底，实验后的结果照样出人意料。我对圆锥的体积越来越产生兴趣。
我越来越想知道其中的奥秘，但是我已经能下结论：圆柱是圆锥的3倍，事实说明了一切。
(3)煜欢写的《实验中发现的奥秘》的精彩语句：
没有想到，圆锥和圆柱之间有如此紧密的联系，我不禁感叹道：数学真是有着无穷的奥妙！
在批阅学生的数学小作文时，总能让我深刻地感悟着这么一句话——“100个作者，100个艺术品”，哪怕不是艺术品，也是一种思维的再加工、再创造！字里行间，又让我再次享受着数学，呼吸着数学在孩子们那美妙思维中的艺术！
从数学写作中，我再次地思考着“数学”，它不仅是知识，更是学习者的自我咀嚼，在思维加工中思索，在思索中创造。
同时留给数学老师的感悟与思考是：
《圆锥的体积》这一堂课的知识重点还仅是“圆锥体积的计算”吗？学生的这些数学写作，不正是从不同的侧面、全方位地向我们展示了“数学”学科更本质、更核心的内容吗？
数学困惑、数学实验、数学思考、数学结论、数学经历、数学感悟……这些远远比“圆锥的体积计算”来得重要，正是这些过程才让我们的“数学”学科充满了生命的活力，也正是这些让我们的“数学”在学生的思维里充满了学科的诱惑力与魅力！
学生学习全过程的真实流露，或许才是他们在学科成长中真正的足迹，这才是学习中真正的最有价值的、最核心、最本质的财富！
师者再次寻觅、思考着：数学到底是什么？数学之师到底教些什么？
学生是我们教学的一面镜子，当我们关注些什么的时候，我们的学生就得到了些什么，而此时我们要不断地学会从学生这面镜子中来“看到”：自己教学理念下最真实的东西，再次思索：作为一个数学老师，我到底要教给学生什么？我的学科追求到底是什么？
这样的思考，必然带着我们在学科上更好地成长、更真实地成长，最终这段过程回报给我们的将是：拥有学科教育的真谛，享受学科教育的幸福！
大话数学，挖掘数学的内涵，提炼数学的规律，揭示数学的特点，深化数学的应用，张扬数学的魅力，这又何尝不是我们的追求呢？
作者的另一番话：
&&&&&&&&&&&
从数学教学到数学教育
与一个数学教师如影随形的问题：什么是数学？数学的核心是什么？数学教学与数学教育有何区别？数学教育的终极目标是什么？
这些思考在不同的时间段或许有着不同的答案，但在这些不同的答案中却孕育着一个永恒的追求：从数学教学到数学教育。
如果说数学教学的任务是数学知识，那么数学教育则是在数学知识中捕捉、渗透、引领“人”的数学成长：数学计算中的发展意识、数学应用中的策略意识、数学解题中的严谨品质、数学发展中的观察和归纳意识、数学史料中的发明创新意识、数学阅读中的立体认知意识……进而在经验中深刻感悟数学的神奇魅力，领悟其博大精深，心在数学中。&&&
基于这样的追求，更在思考：什么样的数学作业有利于学生数学学习的可持续发展，让上面的数学教育之果能够丰富多彩呢？
在数学的微写作中，我们不仅了解了儿童心中的数学世界，同时在了解中，我们可以更好地引领他们在数学的百花园中相互欣赏、相互学习，汲取更多的阳光、雨露，在数学路上成长得更加光彩耀人。
如果说之前的数学小作文是为了发表而写，那么之中的数学小作文则是为了学科学法感悟的需要而写。现在呢？则是为了学生的数学学习情感成长而写。此时，它是一种真实的情感感受、变化，是一种数学活动中个性经验的提升，是一种思维视角的萌发土壤，是一种思考习惯的形成途径，久而久之，便是一种自然的数学呼吸。
每每在批阅时，作为数学老师的幸福感便油然而生，此时我批阅的不是文字、文章本身，而是一种学科情感、魅力的共鸣与滋长、提升！
我批阅的数学小作文里，有很多类的优：有一类优是源于其思维、情感的真实变化与流露；有一类优是源于其学习的点滴进步；有一类优是源于对学科感悟的总结与提升；有一类优是源于举一反三的质疑习惯；有一类优是源于自学的感悟与应用；有一类优是源于自我追问与对话的深入；有一类优是源于其别样的学习策略；有一类优是源于对错误本身的认识与反思……
优，不仅是一个成绩，更是学生写作思路的一种导航：导向一种学科的思维触角，导向一种学科的学习方法，导向一种学科的思考习惯，导向一种学科魂的感悟，导向一种学科魅力的提升。
这多类的优，必然从另一种角度在丰实着数学教育路上的情怀，见证着学生的数学学习成长的历程，感悟着学生的数学情感的变化！◆
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