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何时宜作辅助等边三角形
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　解什么样的几何问题时,比较适合作辅助等边三角形呢？通过在解题实践中摸索,我认为：至少在以下四个方面是可以尝试作辅助等边三角形的． 中国论文网 /9/view-1721438.htm　　 　　1 在等腰三角形的基础上尝试作等边三角形 　　在已知的等腰三角形的基础上适时地作出辅助等边三角形,让图形的一般性与特殊性有机地结合起来,能够产生更多的线段相等、角相等,为我们解题所用． 　　例1 如图1,在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,且∠PBC=10°,∠PCB=30°.求PB的长. 　　解法1 以等腰△ABC的底边BC为边长作等边△BCE(如图1),连接AE,则EA⊥BC,所以 ∠BEA=30°=∠BCP,∠ABE=60°-50°=10°=∠PBC,BE=BC,所以△BAE≌△BPC,所以 PB=AB=8． 　　解法2 以等腰△ABC的腰AB为边长作等边△ABF(如图2),连接CF,则△ACF为等腰△,∠CAF=80°-60°=20°,所以∠ACF=80°,∠BCF=80°-50°=30°=∠BCP,∠CBF=60°-50°=10°=∠PBC,所以△BFC≌△BPC,所以 PB=BF=AB=8． 　　解法3 以等腰△的腰AC为边长作等边△ACG(如图3),以下过程与解法二相同． 　　像这样的题比较特殊,在等腰△ABC的基础上作辅助等边三角形,是“边边”有缘,殊途同归. 不过,在一般情况下,还是以方法一为宜,因为作与等腰三角形共底的等边三角形,可以充分应用“三线合一”的性质． 　　例2 如图4,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=44°,M为△ABC内一点,使得∠MCA=30°,∠MAC=16°,求∠BMC的度数． 　　解 以AC为边长作等边△ACE,连EB,则EB⊥AC,∠AEB=∠CEB=30°．所以∠AEB=∠ACM,又∠EAB=60°-44°=16°=∠CAM,AE=AC,所以△ABE≌△AMC?AB=AM 　　?∠AMB=∠ABM=［180°-(44°-16°)］÷2=76°．因为∠AMC=180°-16°-30°=134°,所以∠BMC=360°-76°-134°=150°． 　　2 在60°的角的基础上尝试作辅助等边三角形 　　利用已知条件中60°的角尝试作辅助等边三角形,让图形中隐含的元素关系凸显出来,为我们解题所用． 　　例3 如图5,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、BA的延长线上,且AE=BD.求证：CE=DE． 　　证明 延长BD至F,使BF=BE,连EF,则△BEF(如图5)是等边△,所以BE-AE=BF-BD,即AB=DF,所以BC=FD． 　　又∠B=∠F,BE=FE,所以△BCE≌△FDE,所以CE=DE． 　　还可以以BD为边长作辅助等边△BDG,然后证△ACE≌△GED,从而得出CE=DE． 　　不管是哪种方法,都是在60°的∠B上做文章――作辅助等边三角形. 　　变式：如图6,已知△ABC是等边三角形,点D在边BC上,点E地BA的延长线上,且AE=BD.结论CE=DE还成立吗？ 　　例4 如图7,在六边形ABCDEF中,对角线AD、BE、CF相交于点O,且AD=BE=CF=2,∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,S为△AOB、△COD、△EOF面积的和,试比较S与3的大小． 　　分析 由于已知条件中出现了60°的角和相等的线段,于是,我们可以选取相等的线段长为边长,在一个60°角的基础上作辅助等边三角形,将没有直接联系的△AOB、△COD、△EOF包含其中． 　　解 延长OA至M,使AM=DO,延长OB至N,使BN=EO,连MN,则OM=OA+AM=OA+DO=AD=2,同理ON=2,又∠AOB=60°,所以△OMN是等边三角形,在MN上截取MQ=OC,连BQ、AQ,则NQ=MN-MQ=CF-OC=FO,所以△MQA≌△OCD,△NQB≌△OFE． 　　所以S=S△AOB+S△COD+S△EOF=S△AOB+S△MQA+S△NQB<S△OMN,所以S<34×22=3． 　　3 在已知的角与60°存在关联时尝试作辅助等边三角形 　　若已知角的度数分别与60°进行简单计算后其结果相等时,我们就可以在这样的已知角的基础上尝试作辅助等边三角形,产生新的角相等,线段相等,为我们解题所用.例如在直角中有15°或75°时,就有(90°-60°)÷2=15°或75°-60°=90°-75°=15°等． 　　例5 如图8,在等腰直角△ABC中,∠BCE=∠CBE=15°,求证：AB=AE． 　　解法一 如果从已知角的度数出发,就可以在75°的∠ABE内作等边△BEF(如图8), 　　连AF,证△ABF≌△BCE,再证△ABF≌△AEF,所以AB=AE. 　　解法二 如果从等腰△BCE出发,就可以以BC为边作等边△BCG,(如图9)连AG、EG,则GE⊥BC,所以GE∥AB, 　　又∠ABE=∠BAG=75°，所以四边形ABEG是等腰梯形，所以AE=BG=AB． 　　例6 如图10,在四边形ABCD中,已知∠ABD=12°,∠DBC=36°,∠ACB=48°,∠ACD=24°.试求∠ADB的度数． 　　分析 从表面上看,本题已知角与60°的关联没有例5那样明显,但仔细观察后,不难发现;60°-∠ABD-∠CBD=∠ABD=12°,∠DCA+∠BCA-60°=60°-∠BCA=12°,即以BC为边长作辅助等边△BCE,就可得到∠EBA=∠DBA=∠DCE=∠ACE=12°.这些等角可以帮助我们解决问题． 　　解 以BC为边长作等边△BCE,连AE,因为∠CBA=∠DBA+∠DBC=∠ACB=48°,所以AB=AC , 所以EA⊥BC ,∠AEB=∠AEC=30°． 　　因为∠BDC=180°-∠DBC-∠BCA-∠ACD=72°,∠BCA+∠ACD=72°,所以BD=BC=BE． 　　因为∠EBA=60°-12°-36°=∠ABD=12°,所以△DBA≌△EBA,所以∠ADB=∠AEB=30°． 　　4 在求动线段最值时尝试作辅助等边三角形 　　在求有关动线段或者有关动线段的和差最值时,我们一般采用的是作对称辅助线方法,其实,也可以尝试作辅助等边三角形. 利用等边三角形的性质来传递等量,汇聚条件,求出最值. 如： 　　例7 已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边长作等边△ABD, 如图11,当∠ACB变化时,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数． 　　解 以CD为边长作等边△CDE(如图11)，连接AE,可证△DAE≌△DBC?AE=BC,所以CE　　此时∠BCD=∠AED=∠ACD=60°,所以∠ACB=120°． 　　因此当∠ACB=120°时,CD有最大值a+b ． 　　例8 已知点P是锐角△ABC内一点,且使PA+PB+PC最小,试确定点P的位置,并证明你的结论． 　　解 分别以AC、BC为边长向形外作等边△ACD、△BCE,如图13,连接AE、BD相交于点P,则点P为所求． 　　事实上,易证△ACE≌△DCB?∠CAE=∠CDB，所以A、P、C、D四点共圆?∠APD=∠CPD=60°，在PD上截取PM=PA,连AM,则△APM为正三角形,再证△AMD≌△APC?MD=PC，所以PA+PB+PC=PM+PB+MD=BD(定值). 　　证明 在△ABC内任取一点F(异于点P),如图14,连接FA、FB、FC,以AF为边长作等边△AFG,连接GD,易证△AGD≌△AFC?GD=FC，所以FA+FB+FC=FG+FB+GD>BD.因此,点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小. 　　著名的数学教育家G&#8226;波利亚在谈到解题方法时说：“使用过两次的巧计可以作为一种方法记下来.”前面举的例子足以说明‘作辅助等边三角形’是一种行之有效的解题方法,我们应该把它存储在脑海里,运用到解题中． 　　作者简介参见本刊2011年第6期第62页
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P是等边三角形ABC内部的一点,且∠APC=110°,∠BPC=132°,求以AP,BP.CP的长三角
P是等边三角形ABC内部的一点,且∠APC=110°,∠BPC=132°,求以AP,BP.CP的长三角
类似题目,仅供参考:已知P为正△ABC内一点,∠APB=110°,∠APC=125°求证:以AP,BP,CP为边可以构成一个三角形,并确定所构成的三角形的各内角的度数 证明要点：将△APB绕点A旋转60°到△AMC,连接PM 因为△ABC是正三角形,所以∠BAC＝60° 因为△APB≌△AMC 所以∠BAP＝∠CAM,AP＝AM,∠AMC＝∠APB＝110°,MC＝PB 所以∠PAM＝∠BAC＝60° 所以△APM是正三角形 所以∠APM＝∠AMP＝60°,PA＝PM 因为∠APC＝125° 所以∠CMP＝110°－60°＝50° ∠CPM＝125°－60°＝65° 所以∠PCM＝180°－50°－65°＝65° 而△PCM的三边分别等于PA、PB、PC 所以以线段PA、PB、PC能构成三角形,且构成的三角形的三个角是50°、65°、65°△ABC中,∠A=70°,若三角形内有点P到三边的距离相等,则∠BPC=(
),若三角形内有点M到三个顶点的距离相等,则∠BMC=(
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△ABC中,∠A=70°,若三角形内有点P到三边的距离相等,则∠BPC=(
),若三角形内有点M到三个顶点的距离相等,则∠BMC=(
△ABC中,∠A=70°,若三角形内有点P到三边的距离相等,则∠BPC=(
),若三角形内有点M到三个顶点的距离相等,则∠BMC=(
写明运算过程
提问者：sponge123
追问：∴∠BPC=∠A+（∠B+∠C）/2=∠A+（180°-∠BPC)
∴∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°
这个式子怎么理解
补充：∵P到三边距离相等 ∴P为△ABC内切圆的圆心 ∴AP、BP、CP为三个角的平分线
∴∠BPC=∠A+（∠B+∠C）/2=∠A+（180°-∠BPC)
∴∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°
∵M到三边距离相等 ∴M为△ABC外接圆的圆心 ∴AM=BM=CM
∴∠ABM=∠BAM,∠BCM=∠CBM,∠ACM=∠CAM
∴∠BMC=∠ABM+∠BAM+∠ACM+∠CAM =2（∠BAM+∠CAM )=2∠A=140°
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∵P到三边距离相等 ∴P为△ABC内切圆的圆心 ∴AP、BP、CP为三个角的平分线∴∠BPC=∠A+（∠B+∠C）/2=∠A+（180°-∠BPC)
∴∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°∵M到三边距离相等 ∴M为△ABC外接圆的圆心 ∴AM=BM=CM∴∠ABM=∠BAM,∠BCM=∠CBM,∠ACM=∠CAM ∴∠BMC=∠ABM+∠BAM+∠ACM+∠CAM =2（∠BAM+∠CAM )=2∠A=140°
回答者：teacher068
∵P到三边距离相等 ∴P为△ABC内切圆的圆心 ∴AP、BP、CP为三个角的平分线
∴∠BPC=∠A+（∠B+∠C）/2=∠A+（180°-∠BPC)
∴∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°
∵M到三边距离相等 ∴M为△ABC外接圆的圆心 ∴AM=BM=CM
∴∠ABM=∠BAM,∠BCM=∠CBM,∠ACM=∠CAM
∴∠BMC=∠ABM+∠BAM+∠ACM+∠CAM =2（∠BAM+∠CAM )=2∠A=140°
回答者：teacher072
∵P到三边距离相等 ∴P为△ABC内切圆的圆心 ∴AP、BP、CP为三个角的平分线
∴∠BPC=∠A+（∠B+∠C）/2=∠A+（180°-∠BPC)
∴∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°
∵M到三边距离相等 ∴M为△ABC外接圆的圆心 ∴AM=BM=CM
∴∠ABM=∠BAM,∠BCM=∠CBM,∠ACM=∠CAM
∴∠BMC=∠ABM+∠BAM+∠ACM+∠CAM =2（∠BAM+∠CAM )=2∠A=140°
回答者：teacher051《三角形》单元综合练习_百度文库
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