文档分类：
在线文档经过高度压缩，下载原文更清晰。
淘豆网网友近日为您收集整理了关于Caputo分数阶导数的稳定数值逼近的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：Caputo分数阶导数的稳定数值逼近 第卷第期年月兰州大学学报自然科学版文章编号一一一分数阶导数的稳定数值逼近傅鹏‘,“广东省电信规划设计院有限公司,广东广州西安交通大学电子与信息工程学院,陕西西安摘要给出了一种新的、结果的正确性关键词数值分数阶微分中图分类号简单方便的正则化方法,得到了很强的收敛性估计,且数值例子验证了理论分数阶导数不适定问题正则化误差估计文献标识码几夕,, ,, ,, , ,, 一,!#% &!
&# !#%& ( ) !+#% !#%& !
...一Po s ed Pr egul ar- e r r o r e st i mateAMS Subje et C lassi fieat io n s(2 0 0 0):6 5 J 2 0 ; 6 5 D 2 5近年来分数阶导数已被广泛应用于物理、金融、水文等众多应用学科以及流体力学、不规则扩散等众多工程问题 11一5}.在实际问题中具有噪音的测量数据的分数阶导数的数值计算显得尤为重要.但这是一个不适定问题,即数据的微小扰动(来源：淘豆网[/p-6852289.html])就会导致解的巨大误差,使得其数值实现非常困难.本文给出了一种新的非常简单方便的正则化方法并可通过快速 Fo ul le r变换和逆变换数值实现,建立了这种方法的收敛性估计.数值例子也表明这种方法稳定、有效.1 有关概念及 C aput o 导数计算的不适定性对函数拭约〔L( R ),定义其 Fo ur ier 变换为对函数城t),f( 约任护(R ),其内积定义为(”,, )一(厂一左“(‘)而d亡(, )护(卿中范数定义为}!nIl:= (成.“(‘),’d ‘,‘‘3,在 L Z(R )中成立的p ar serval 等式,即对 h。),护(R ),成立(h ,f ):2(R) =(h,f ):2(R)为了简单起见,后面将不再注明下标 L “(R).so bo lev空间 H ”(R) 中范数定义为f(t) 任(4 )此外:“.,一(成(‘+ ;2)!“(;)一d;)‘(5)1 fOO九(万) “一忑 j--OO“一“、“(‘) “‘(‘)可微函数g(t) 在区间[0,刘上的 a 阶 C (来源：淘豆网[/p-6852289.html])aP ut 。导数由如下卷积积分来定义ls] :(D (a)。)(,)= 。(“)(,): =收稿日期: 2 008- 09一0 8.作者简介:傅鹏(1976一),男,山西怀仁人,IT 高级咨询顾问,博士,研究方向为计算机网络通信中的科学问题于 ma il:fu p e n g @ 1 2 6.e om.兰州大学学报( 自然科学版) 第44 卷。(”)(s)(亡一 s)叶‘一“ds ,产了儿1r (。一 a)0 毛亡成 T ,n 一 l & a & n ,n o N,(6)d几夕(艺)d t几0 蕊t ( T ,a = n.H“(R),其Fo ur ie r变换比 L Z(R ) 函数在陌}、 oo 时有更快的衰减速度.但在实际问题中所知道的测量数据并不具有这种衰减性质,一般仅属于护(R ).因此如果在(15 )式右端把或t) 用测量数据那(t) 代替,则g。(约的高频扰动必然会导致(15 )式右端积分的爆破,尽管在(s) 式中占& 0 可以充分小.这表明在 L Z(R )中(来源：淘豆网[/p-6852289.html])(15 )式的计算是一个不适定问题,对于测量数据而言其数值实现十分困难,通常的任何经典数值方法都不能用于这种分数阶导数的数值计算,必须引人一些正则化技术.2Fo ur ie r正则化及误差枯计由前面的分析已知问题(15)的不适定性是由测量数据 g。(约的高频扰动所引起的.参照文献[s],最自然而简单的方法就是直接截掉测量数据g。( t)的所有高频分量,并定义 a 阶导数(D (a) 川(t) 对应于扰动数据 g*(t) 的正则化近似值为厂八、、1 f cog占飞m一(‘):一而j--、 e ’‘、(‘石)““‘(石)‘m 二“石(‘6 )这里 x m ax 是区间卜石max,石max 」上的特征函数:}引毛氛ax,} 创& 氛~d.一日r.少、l气一一aXmX其中r 表示 G am m a 函数.不失一般性,本文仅考虑函数抓约。 C ‘[0,l],且要确定如下 a 阶 Cap ut 。导数:,一‘。、、,八‘。、,八I f‘。‘(t)(D气。) g) (亡)= g L。,(t): = ;(来源：淘豆网[/p-6852289.html]) 不二- 一一二l下升兴二 d s ,刃(1 一 a) JO(亡一 s)。0 成t簇 1,0 & a & 1.(7)为了使用 Fo ur ier 变换这一重要工具,本文中将把定义在正半轴上 t 的函数延拓到R 上并在t& O时取为零值,且属于护(R ).在实际问题中一般很难知道被求导函数或t)的精确值,能够知道的只是通过测量得到的带有噪音的近似值,称之为测量数据,并记为绑(t).一般 g*(约〔护(R )并满足误差水平:1{夕一夕。}}毛占.(8)导数表示式(7)可以改写为如下形式:(。(a)。)(, )一。(。)(,)一兴= 、,。产.(9)、一。/ 、- Z 口、一r(1 一 a)其中t ) 0,亡& 0.(10 )仪t--氏护!‘1.、一一,尤对(9)式两端同时做 Fo ur ier 变换得由不马)(() 一神(() 一而彩下砌(i() 朔.1Ll一“)l)注记 K (s)为(10)式所给函数 k仕)的Laplaee变换,意到[6]K (,)=r(1 一a)3 1(来源：淘豆网[/p-6852289.html])一“(1 2)以及在负半轴恒为零的护(R ) 中函数的Lap lac e变换与其Fo ur le r变换的关系闭:而石max是一个待定正常数,可视为正则化参数.与处理任何不适定问题一样,必须假设问题的精确解存在一个先验界[0].假定对某个p & 0 成立11刀(a)。 11, 二I}。(“)11,毛 E ,(1 7)其中E 是一个正常数.引人记号‘_ 、、1 厂OO;‘亡、__、关::X(‘, 一宕 j--_““(‘“)“歹(“,、m 二 d“(‘8 )下面建立问题的精确解(D (a) 刃阁与其正则近似解。;忿a、(t) 之间的误差估计由P ar se va ‘等式、三角不等式、条件(27),(8)以及(14)式知一!。‘“, 一。{‘鹉m二 xl 一、110 (“, 一嘿二卜嵘{x一。汰ax{-尹/人了人内产了人户报了./人户/报砌一粤哪。丫Z 7T斌动1 厂(1 一 a)抓斤(i()‘一“(1 3)把(13 )式代人(n )式得到(D (a)g)(苟) = g(“)( 若) = (i(来源：淘豆网[/p-6852289.html])石)住歹(石).(14)上式等价于对于精确数据抓t) 任 C l(卿门护(卿,其 a阶C ap ut o导数可以表示为l)七m , x} 簇石m 。l) 疙m :以I(i石)Q夕(石)12d若)合+l(i苟)“( 夕(石)一死(石))12d石)告=l户(;)}, ) 、+1石“( 夕(若)一痴(若))}“d 若)告=1 fco:二, _ 、__ 、.(D、“,“)(‘) 一“、“’(‘) 一不j--、e ’‘、(‘石)“夕(万)“石(‘“)I( 石m 。、x1。、_厂介飞.、.q_ 、;一) 石m 、 x万石万下又1 + 石‘)“}。、。,又。)}。a。)。+注意到在如上积分中核函数(i动“在陌}、 co 时是幂增的,因此精确数据抓t) 实际上必定属于空间}石a(亏(石)一痴(若))}Zd石)合(氨驯少c’)II, +鼠ax}g 一 g ‘11 (第 6 期傅鹏: C ap ut o分数阶导数的稳定数值逼近 1 19氨乳E 十锐ax 占.(19 )现在通过极小化(19 )式右端来选择正(来源：淘豆网[/p-6852289.html])则化参数石max ,为此令若石乳E =石m ax石森x占,并由此可解得E(= )石哥币.(2 0 )、d‘法在具体计算中可提供不少方便.3 数值举例例 i!5] 设, (, )= t ,试计算导数, (“)(r),o & a & 1.实际上几了了而把(20 )式代回到(19)式右端,} D(a) 。一寿忿a、11钾E就得到了误差估计:1一一卫一户卫一/ 。, 、〕+ po。+ ,L匕 1)。(“)(。)- 1r (1 一 a)l—ds=(艺一 s)以1 艺l一。厂(1 一 a)l 一 a这是一个H 61der型估计,显然有}鳃1ID(“, 。一形忿ax11一 0定理 1 假设先验界(17 )和误差界(s) 成立.若用(16)式定义 a 阶 caputo 导数(D (“) 。)(t) 的正则化近似,则当正则化参数按(20) 式选取时成立 H 61der型误差估计(21 )式.注 1 先验界 E 一般并不能事先精确得知,因此很难按(20 )式来选择正则化参数.但可以取毓并可得到误差估计(来源：淘豆网[/p-6852289.html])_尚未“占了(2 2)1 ID ‘a , 。一耳焦ax一、(‘+ E )占击(2 3)(23)式与(21 )式具有相同的收敛阶数,但(23 )式中的E 只是一个正常数,并不需要准确知道.这种选0& a & 1,0 簇艺( 1.假设向量 G 表示数据抓约的抽样数据,然后在向量G 上加人扰动得到扰动数据:G 。= G + ￡塑塑丛(size(G )).其中函数塑班坦() 产生随机向量,该随机向量满足均值为 0,方差尹= 1,标准差 a 二 1 的正态分布.则扰动误差为},、+ l} 1‘若人‘._‘、占= }}G 、一G {}, : :=、}一、’} G、(n、一 G (n 、}2.‘习M +‘忿’一“、一’正贝臼化参数;max按(2“)式选取,。;焦ax按(‘6 ) 式计算.图 la,1b 分别给出了在两种噪音水平: = 10 一 2 ,10一”下 a = 0.2,0.5,0.7时导数的精确值与正则化近似值之间的图形比较,结果显示数值效果理想.尹蒸茅戴a=07, 古“公=5 0a =(来源：淘豆网[/p-6852289.html]) 0 2,心ma x= 62,妇八曰0064,‘1100Un曰氧测阁—精确解--一逼近解—精确解-一逼近解怡洲,‘心/10.:!r!LL夕盼,n只‘U4,妇11CU0CUCU玛绷阁0 2 0.4 0.6 0名 1.0 04 0石 0 8 1.0a扰动误差为 10 一 2 b 扰动误差为 10一 3图 1 精确解和计算值的比较F ig.1参考文献Com Parison ofexac t an d eom Putat ional solutions【11 M AINARDIF.Fr ajc tals and fraetionalealeulous ineont inu um meehanies【M }.V ienna: Springer一Verl 眼,1 9 9 7:2 9 1一3 4 8.!2」D IETHELM K ,F R E E n A D.On t he s ozu t io n ofn on-l in ear fract io n alo rde rd iffer e n t iale(来源：淘豆网[/p-6852289.html])quat io n s u s edin t hemodel lingofvis e op l as t iei t y【M }.H eidelberg:SPringe r一Verlag,1 9 9 9:2 1 7- 2 2 4.[3」Llu F ,AN HV,T u R N E R 1.Nume rie als olu t io n of t hespacefract io n alFOkker- P lan ckequat io n【J」.-put A pplM at h,2 0 0 4,1 6 6(1):2 0 9一2 1 9[4」M EERseHAE二 M M ,TAD J E R A Ne.F ini t 。 d i 仁fe ren eeap P rox im at io n s fo r fr aetion al ad vee tion -d isp ersio n floweq u at io n s[J」. putA pplM at h,2 0 0 4,1 7 2(1):6 5一7 7.【5} M uRIo D A .O n the stab le num erieal evaluat ionof C aputo fractionalder iva tive s[J}.C om put M athA ppl,2 0 0 6,5 1(9一1 0):1 5 3 9一1 5 5 0.【6」ABRAMowITzM ,ST E e u N 1 A.Hand bo okof m at 卜m at ieal ion s【M }.N ew YOrk:DoverPublieat ionIne,1 9 7 2.! 7]CA R A s s o A.De t erminings u rfaJce t em p era t ure fromi nte rio r obs evatio n s[Jl.S I A M J A p p l M at h,1 9 8 2,4 2(3):5 5 8一5 7 4.【8」ELD苞N L ,BE R N T s s o NF,RE G I夕sK A T.w aveleta n d FOu rier m eth o d s fo r so lv in g th e sid ew ays h e ateq u a tion{J }SI put,2 0 0 0,2 1(1 6):2 1 8 7- 2 2 0 5.[9」E NGL H W,HA N K EM,N E N B A u E R A.Re 即lar iza-tion of inverse problem s[M I.Boston: K luwer A ea-dem ie Publishers,1 9 9 6.播放器加载中，请稍候...
该用户其他文档
下载所得到的文件列表Caputo分数阶导数的稳定数值逼近.pdf
文档介绍：
Caputo分数阶导数的稳定数值逼近 第卷第期年月兰州大学学报自然科学版文章编号一一一分数阶导数的稳定数值逼近傅鹏‘,“广东省电信规划设计院有限公司,广东广州西安交通大学电子与信息工程学院,陕西西安摘要给出了一种新的、结果的正确性关键词数值分数阶微分中图分类号简单方便的正则化方法,得到了很强的收敛性估计,且数值...
内容来自淘豆网转载请标明出处.知道一点的数值及其导数值,用数值解的方法能不能求出下一点的值?_百度作业帮
知道一点的数值及其导数值,用数值解的方法能不能求出下一点的值?
知道一点的数值及其导数值,用数值解的方法能不能求出下一点的值?
f(x+x')-f(x)=f'(x)*x' x'为增量水木-数值计算-小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
主题文章列表
下一页&共1页&
小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&whxn&(whxn),&信区:&NumComp
标&&题:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Mon&Dec&10&09:53:24&2012),&站内
[size=4]问个数值微分的问题，由于没学过所以想不通，我想如果学过的话应该都遇到过吧。就是对于中心差分格式，f'(x)=[f(x+h)-f(x-h)]/2h,f''(x)=[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2,但实际在具体已知一系列点(xi,yi)，求这系列点的2阶导数值，我可以先求其一阶导数值，然后再用一阶的差分公式求出2阶的导数，也可以直接用2阶导数的差分公式求出，对这两种算法，那个精度更高呢？[/size]
黯然销魂者，唯别而已~~
※&来源:·水木社区&http://www.newsmth.net·[FROM:&159.226.199.*]
Re: 小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&danielzc&(谁看到我的ytht了......),&信区:&NumComp
标&&题:&Re:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Mon&Dec&10&14:40:31&2012),&站内
【&在&whxn&(whxn)&的大作中提到:&】
:&[size=4]问个数值微分的问题，由于没学过所以想不通，我想如果学过的话应该都遇到过吧。就是对于中心差分格式，f'(x)=[f(x+h)-f(x-h)]/2h,f''(x)=[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2,但实际在具体已知一系列点(xi,yi)，求这系列点的2阶导数值，我可以先求其一阶导
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&~~~~~~~~xi间距是h？
求2阶导数不是只能用中心差分格式
如果这里你求1阶导数的方法也是用x+h,x-h这两点中心差分,之后2阶导也这样，那就是等效
[f'(x+h/2)-f'(x-h/2)]/h=[（f(x+h)-f(x)）/h-（f(x)-f(x-h)）/h]/h,化简即可
如果用多个点拟合高阶曲线再来求1阶导数，这格式要比2点差分更精确些，不等效
&&&&&&&&&&
※&修改:·danielzc&于&Dec&10&14:45:04&2012&修改本文·[FROM:&111.43.129.*]
※&来源:·水木社区&newsmth.net·[FROM:&111.43.129.*]
Re: 小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&whxn&(whxn),&信区:&NumComp
标&&题:&Re:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Mon&Dec&10&22:21:44&2012),&站内
谢谢。插值点间距是h。照你说的那样化简的话，貌似两种方法(直接用2阶差分公式；和连用两次一阶差分公式)的精度是同一量级的。但“如果用多个点拟合高阶曲线再来求1阶导数，这格式要比2点差分更精确些”应该怎么理解呢，假如已知很多的一列点，怎么做精度应该高些呢？
黯然销魂者，唯别而已~~
※&来源:·水木社区&http://www.newsmth.net·[FROM:&210.77.2.*]
Re: 小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&danielzc&(谁看到我的ytht了......),&信区:&NumComp
标&&题:&Re:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Tue&Dec&11&00:03:06&2012),&站内
x+h，x-h两点可以得出x点的一阶导数
x+2h，x-2h两点同样可以得出x点的一阶导数，这两种组合加权一下，就可能得到更精确的
泰勒级数：
f（x）=f(a)+&f'(a)(x-a)/1！&+f''(a)(x-a)^2/2!&+f'''(a)(x-a)^3/3!.....
求f'(a)，则有f'(a)=(f（x）-f(a))/(x-a)&-......
（x=a+h时和前边看起来就差不多了）误差就是2阶以后的所有项之和，
x+h，x-h求得的一阶导数和x+2h，x-2h求得的恰当加权一下就能消去2阶，
点数多一些能消去更高阶
具体方法：笨方法是假设一条曲线f(x)=ax^3+bx^2+cx+d通过x-2h，x-h，x+h，x+2h四点
用待定系数法求得abcd，再把曲线求一阶导，最后把x代入即可
实际上都有现成的公式，到图书馆找本《数值方法》之类的书翻翻就有了
【&在&whxn&(whxn)&的大作中提到:&】
:&谢谢。插值点间距是h。照你说的那样化简的话，貌似两种方法(直接用2阶差分公式；和连用两次一阶差分公式)的精度是同一量级的。但“如果用多个点拟合高阶曲线再来求1阶导数，这格式要比2点差分更精确些”应该怎么理解呢，假如已知很多的一列点，怎么做精度应该高些呢？
※&来源:·水木社区&newsmth.net·[FROM:&123.83.134.*]
Re: 小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&windeye&(风烟),&信区:&NumComp
标&&题:&Re:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Tue&Dec&11&04:15:49&2012),&站内
【&在&danielzc&(谁看到我的ytht了......)&的大作中提到:&】
:&x+h，x-h两点可以得出x点的一阶导数
:&x+2h，x-2h两点同样可以得出x点的一阶导数，这两种组合加权一下，就可能得到更精确的
:&泰勒级数：
:&...................
※&来源:·水木社区&newsmth.net·[FROM:&46.193.175.*]
Re: 小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信人:&whxn&(whxn),&信区:&NumComp
标&&题:&Re:&小白请教数值微分的一阶导数和二阶导数公式在具体计算时
发信站:&水木社区&(Thu&Dec&13&20:37:58&2012),&站内
好的，非常感谢。学习去。。。
【&在&danielzc&的大作中提到:&】
:&x+h，x-h两点可以得出x点的一阶导数
:&x+2h，x-2h两点同样可以得出x点的一阶导数，这两种组合加权一下，就可能得到更精确的
:&泰勒级数：
:&...................
黯然销魂者，唯别而已~~
※&来源:·水木社区&http://www.newsmth.net·[FROM:&210.77.2.*]
下一页&共1页&数值求导的离散正则化方法_论文_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
您可以上传图片描述问题
联系电话：
请填写真实有效的信息，以便工作人员联系您，我们为您严格保密。
数值求导的离散正则化方法
||文档简介
中国最大最早的专业内容网站|
总评分0.0|
&&数​值​微​分​作​为​一​个​典​型​的​反​问​题​,​在​H​a​d​a​m​a​r​d​意​义​下​是​不​适​定​的​,​即​在​求​导​中​函​数​的​微​小​扰​动​就​可​能​导​致​计​算​上​很​大​的​误​差​。​本​文​首​次​利​用​目​前​处​理​不​适​定​问​题​的​、​广​为​采​用​且​相​当​有​效​的​T​i​k​h​o​n​o​v​ ​正​则​化​方​法​,​讨​论​了​用​离​散​正​则​化​方​法​处​理​数​值​求​导​的​有​关​理​论​和​技​术​问​题​,​包​括​离​散​正​则​解​的​收​敛​性​、​稳​定​性​以​及​在​原​始​数​据​误​差​水​平​已​知​和​未​知​情​况​下​的​正​则​参​数​选​取​问​题​,​给​出​了​稳​定​和​有​效​的​算​法
试读已结束，如果需要继续阅读或下载，敬请购买
你可能喜欢导数里的e=?具体数值_百度作业帮
导数里的e=?具体数值
导数里的e=?具体数值
e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一. 它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.
第一次提到常数e,是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli). 已知的第一次用到常数e,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示.1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准. 用e表示的确实原因不明,但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母.另一看法则称a,b,c和d有其他经常用途,而e是第一个可用字母.不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作. 很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟.指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）.e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）.这是第一个获证为超越数,而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明. 当x趋于正无穷大或负无穷大时,“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e,用公式表示,即： lim（1+1/x）^x＝e （x趋于±∞） 实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828…….以e为底的对数叫做自然对数,用符号“ln”表示. 以e为底的对数（自然对数）和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身.后人把这个规律叫做“自然律”,其中e是自然律的精髓.因此,上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二. 欧拉（Leonhard Euler 公元年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰•伯努利（Johann Bernoulli,年）的精心指导. 欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文.到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清.他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作,当时数学家们称他为“分析学的化身”. 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,称为数学界的莎士比亚.据统计他那不倦的一生,共写下了886部书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%.彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了47年!数学史上称18世纪为“欧拉时代”. 欧拉还创设了许多数学符号,例如函数f（x）（1734年）,π（1736年）,log和 e（1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,虚数i（1777年）等等. 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的,他可以在任何不良的环境中工作,他常常抱着孩子在膝上完成论文,也不顾13个孩子在旁边喧哗.他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,使他在59岁双目失明后的17年间,他还口述了几本书和400篇左右的论文. 19世纪伟大数学家高斯（Gauss,年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法.”欧拉的父亲保罗•欧拉（Paul Euler）也是一个数学家,原希望小欧拉学神学,同时教他一点教学.由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神,又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导,当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文,获得巴黎科学院的奖的奖金后,他的父亲就不再反对他攻读数学了. 1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国,并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉,这样,在日欧拉来到了彼得堡.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授. 1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了.然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁. 1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请,到柏林担任科学院物理数学所所长,直到1766年,后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡,不料没有多久,左眼视力急剧衰退,最后也完全失明. 不幸的事情接踵而来.1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,带病且双目失明的64岁的欧拉,被围困在大火中.虽然他被别人从火海中救了出来,但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了. 沉重的打击,仍然没有使欧拉倒下,他发誓要把损失夺回来.欧拉完全失明以后,仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达17年之久.欧拉的记忆力和心算能力是罕见的,他能够复述年青时代笔记的内容,心算并不限于简单的运算,高等数学一样可以用心算去完成.欧拉在失明的17年中,还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题. 欧拉的风格是很高的,拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家,从19岁起和欧拉通信,讨论等周问题的一般解法,这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉格朗日的解法,博得欧拉的热烈赞扬,日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就,并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表,使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传,并赢得巨大的声誉.他晚年的时候,欧洲所有的数学家都把他当作老师,著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师.” 欧拉充沛的精力保持到最后一刻,日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭,那时天王星刚发现不久,欧拉写出了计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝完茶后,突然疾病发作,烟斗从手中落下,口里喃喃地说：“我死了”,欧拉终于“停止了生命和计算”. 欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的. 欧拉一生谦逊,从没有用自己的名字给他发现的东西命名.只有那个大约等于2.71828的自然对数的底,被他命名为e.但因他对数学广泛的贡献,因此在许多数学分支中,反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理. 相对于π是希腊文字中圆周第一个字母,e的由来较不为人熟知.有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底. 其实欧拉选择e的理由,较为多数人所接受的说法有二：一为在a,b,c,d等四个常被使用的字母后面,第一个尚未被经常使用的字母就是e,所以,他很自然地选了这个符号,代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母,虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文,可事实上法文、德文的“指数”都是它.究竟e的来历是什么?至今仍然是个谜.