麻省理工多变量微积分教程-内容包括向量和矩阵、偏导数、二重和三重积分等-公开课视频-星火视频教程
&&&&&&&&&&&&&&&麻省理工多变量微积分教程
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麻省理工多变量微积分教程相关介绍
　　麻省理工大学的这部多变量微积分教程是一部非常棒的教程。其中内容包括向量和矩阵，偏导数，二重和三重积分，二维和三维空间的向量微积分。对这方面知识感兴趣的朋友可不要错过哦!　　微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。　　到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。　　十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。　　十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)。　　牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
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接着理解矩阵。
上一篇里说&矩阵是运动的描述&，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白&高等数学是研究运动的数学&这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，&运动&的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个&运动&，一下子就&跃迁&到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的&运动&，或者说&跃迁&，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，&运动&这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是&跃迁&。因此这句话可以改成：
&矩阵是线性空间里跃迁的描述&。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语&&变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着&为了使用中方便&，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学&&几何工具算法详解》。
一旦我们理解了&变换&这个概念，矩阵的定义就变成：
&矩阵是线性空间里的变换的描述。&
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个&对立矛盾统一体&。这样一来，&选定一组基&就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
&矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。&
理解这句话的关键，在于把&线性变换&与&线性变换的一个描述&区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。
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一星助理工程师, 积分 75, 距离下一级还需 25 积分
功能很是强大，很多功能都没用过，有矩阵、微积分、方程组、表达式、行列式、多项式等等，共12种计算功能。
20:56 上传
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五星助理工程师, 积分 392, 距离下一级还需 108 积分
谢谢谢谢谢谢
技术员, 积分 26, 距离下一级还需 24 积分
谢谢楼主，很好很强大
8-1(商易宝)
8-2(英才网)
8-3(媒体广告)西南财经大学－微积分
西南财经大学经济数学学院
&&&&1982年毕业于西安建筑科技大学基础部数学师资班．现任教于西南财经大学经济数学学院，担任《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《数理经济学》、《数学建模与数学试验》等本科课程及《经济中的数学方法》研究生课程的教学工作。
&&&&研究方向：运筹学与最优化方法等．迄今主持完成的科研课题及论文（发表于《系统工程理论与实践》、《中国管理科学》、《山东大学学报》、《西南交通大学学报》等刊物）十余项（篇），其中代表性成果为：《AHP中新元素导入的保序性》、《广义AHP判断矩阵的一致性研究》等．此外还主编或参编了四部教材，代表作为：《概率论与数理统计》（西南财经大学出版社）、《微积分教程》（西南财经大学出版社）等．主持教改课题《高等经济、管理人才数学素质研究》获2005校优秀教学成果二等奖，主研教改课题《的分层分类教学改革》获2005校优秀教学成果一等奖，2006年被评为校优秀教师，主研教改项目项目“启迪智慧 拓宽思维 广泛深入开展数学建模活动”获2007校优秀教学成果一等奖，2007年被评为四川省“大学生数学建模竞赛”优秀指导教师。
&&&&教学成果：主持“高等经济、管理人才数学素质教育研究”项目获西南财经大学2003年优秀教学成果二等奖
&&&&&&&&&&&&&&主持“经济、管理人才数学基础知识结构研究”项目获西南财经大学2005年优秀教学成果二等奖
&&&&&&&&&&&&&&参与“《高等数学》的分层分类教学改革”项目获西南财经大学2005年教学成果一等奖
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西南财经大学经济数学学院
&&&&1946年4月生，1969年毕业于南开大学数学系数学专业．现任教于西南财经大学经济数学系，担任《微积分》、《复变函数》、《线性代数》、《概率论》、《数理统计》、《经济决策技术》等本科课程及《经济数量分析》等研究生课程的教学工作。
&&&&研究方向：决策分析、多元统计分析等．迄今主持完成的科研课题及论文（发表于《系统工程理论与实践》、《数学的实践与认识》、《中国管理科学》等刊物）二十余项（篇），其中代表性成果为：《AHP中排序向量的LAM算法》、《广义判断矩阵与普通判断矩阵》等．此外还主编或参编了十二部高等学校教材，其中包括：作为总主编之一在高等教育出版社出版的高等学校经济管理学科基础系列教材《微积分（上册）》、《微积分（下册）》、《线性代数》、《概率论与数理统计》，在科学出版社出版的《概率论与数理统计》，以及由西南财经大学出版社出版的《线性代数》、《经济管理数学基础》等。
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西南财经大学经济数学学院
&&&&1957年2月出生，1982年本科毕业于重庆大学应用数学系，现任教于西南财经大学经济数学学院，主要担任《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统汁》、《微分方程》、《数学建模与数学实验》等课程的教学工作．
&&&&主要研究经济数学，先后参加编写与出版的教材有《矩阵理论》、《微积分》、《线性代数》、《概率与数理统汁》等多部，其中《矩阵理论》获西南西北地区优秀科技图书二等奖，迄今发表论文15篇，其中《21世纪我国经济人才数学素质培养的研究》被《中国学校教育研究》编审委员会评为优秀论文一等奖；《加快经济数的教学改革提高财经类学生的数学素质》、《一类线性时变系统cauchy矩阵的表示及稳定性的判据》等．曾获西南财经大学2003年优秀主讲教师。
&&&&主要成果：
&&&&&&&&&&&&&&主持“更新教学观念，深化大学教学课程教学改革”项目获西南财经大学2006年优秀教学成果一等奖
&&&&&&&&&&&&&&参与“高等经济、管理人才数学素质教育研究”项目获西南财经大学2003年优秀教学成果二等奖
&&&&&&&&&&&&&&获西南财经大学2003年优秀主讲教师
&&&&&&&&&&&&&&参加制作《数学建模与教学实验》获西南财经大学年优秀课件评比优秀奖
&&&&&&&&&&&&&&参加制作《微积分》获得西南财经大学2004年度优秀课件评比优秀奖
&&&&&&&&&&&&&&制作课件《经济数学基础》在“第四届全国多媒体课件大赛”现场决赛中荣获大学组优秀奖
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西南财经大学经济数学学院
&&&&1986年毕业于四川大学数学系．现任教于西南财经大学经济数学学院，专业为应用数学，主要担任《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《数学建模与数学实验》、《运筹学》、《解析几何》、《离散数学》等课程的教学工作。
&&&&主要研究方向：数学模型、计算方法．先后发表“关于最优化问题的算法收敛准则”等论文十余篇、编写高教部规划教材“计算机数学基础”一部．曾获 “优质课竞赛”一等奖、“教学优秀奖”、“教学评估奖”等奖励，带队参加全国大学生数学建模竞赛多次获得国家级、省级奖励．主研教改课题《计算机数学基础》获山东高等教育教学成果三等奖，主持主研教改课题《的分层分类教学改革》获2005校优秀教学成果一等奖，主持教改项目“启迪智慧 拓宽思维 广泛深入开展数学建模活动”获2007校优秀教学成果一等奖，2006被评为西南财经大学优秀教师，2007年被评为四川省“大学生数学建模竞赛”优秀指导教师。
&&&&主要科研成果：主持“《高等数学》的分层分类教学改革”项目荣获西南财经大学2005年教学成果一等奖
&&&&&&&&&&&&&&&&&&2004 Mathematical Contest in Modeling Certificate of Achievement
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西南财经大学经济数学学院
&&&&1989年本科毕业于重庆师范大学数学系，2001年研究生毕业于电子科技大学数学学院，现任教于西南财经大学经济数学系，专业为控制论，主要担任《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《数值计算》、《泛函分析》、《常微分方程》、《复变函数》、《积分变换》、《组合数学》等课程的教学工作。
&&&&主要从事系统稳定性的研究．发表有论文《一类具有时滞神经网络的稳定性》、《一类不确定时滞系统的鲁棒镇定分析》、《具有无穷时滞的积分微分系统的鲁棒稳定化》、《具有三个转向点方程渐近解的完全表达式》、《具有周期时变系数时滞神经网络周期解及稳定性》、《变系数时滞的神经网络的解的范围及稳定性分析》、《变系数时滞神经网络的周期解与稳定性》、《Exponential Stability of Stochastic Recurrent Neural Network With Time Delays》、《Stability Analysis of Stochastic Delayed Cellular Neural Networks
by LMI Approach》（同时被SCI和EI收录、获西南财大2006年度优秀科研成果奖）、《Integral Input-to-State Stability of Nonlinear Control Systems With Delays》（同时被SCI和EI收录）、《浅谈多媒体数学教学》、《利用现代教育技术推动经济数学教学改革》、《利用网络教学平台进行数学辅助教学的探索》等．参编的教材教辅有《微积分教程习题解答》、《微积分》下册、《微积分习题解答》下册等。
&&&&主研有校管课题《时滞线性神经网络的非线性动态行为研究》（国家自然科学基金项目），参与的《更新教学观念、深化大学数学课程的教学改革》获西南财大2006年度教学成果一等奖；参与的《创新数学教学模式，提高学生数学实践应用能力》获西南财大2007年度教学成果一等奖。
&&&&制作的课件《组合数学》（于2004年获“第四届全国多媒体课件大赛”大学组优秀奖）、《微积分》（获西南财大2004年度优秀课件奖）
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西南财经大学经济数学学院
陈小平（笔名哑石）
1987年7月毕业于北京大学数学系数学专业，获理学学士学位.现任教于西南财经大学经济数学学院，讲授《数学分析》、《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《系统思想与经济分析》等课程．
&&&&主要研究数学与哲学和经济数学，并热爱写作与评论． 在数学哲学、数量经济学、教改研究等方面发表多篇学术论文，参编、主编了多部教材，在国内外发表大量现代诗歌、诗论，获得“首届华文青年诗人奖”（2003）、“成都二十年诗歌（1980 ～ 2000）”（2000）等奖项．
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西南财经大学经济数学学院
&&&&1982年毕业于四川大学数学系．现任教于西南财经大学经济数学学院，担任《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》《线性规划》等本科课程教学工作。
&&&&研究方向：基础数学教学与研究．主编参编教材及学习指导书5部，代表作有《线性代数与概率论数理统计》(西南财经大学出版社)、《微积分教程》(西南财经大学出版社) 《微积分（上册）》(西南财经大学出版社)等．主研教改课题《的分层分类教学改革》获2005校优秀教学成果一等奖，1987年获优秀教学质量奖，2002年被评为校优秀教师，2007年“精彩一课”教学比赛获二等奖。
&&&&教学成果：参与“《高等数学》的分层分类教学改革”项目获西南财经大学2005年教学成果一等奖
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1961年10月
西南财经大学经济数学学院
&&&&1988年毕业于南京理工大学，获硕士学位．现任教于西南财经大学经济数学学院，担任《微积分》、《线性代数》、《运筹学》、《概率论》、《概率论与数理统计》等本科课程教学工作。
&&&&研究方向：运筹学及其应用。
&&&&主要教学课程：微积分学，线性代数，概率论与数理统计，运筹学等
&&&&主要成果：
&&&&1．论文：ARMA序列的一种新的建模方法。《中国工业与应用数学学会第五次大会论文集（1998）》
&&&&2．教材：《微积分教程》 西南财经大学出版社出版（2002.7）
&&&&3．论文：关于如何提高财经专业学生在考研中的数学成绩的思考。《高等财经教育研究》（2003）
&&&&4．教材：《概率统计简明教程》西南财经大学出版社出版（2004.3）
&&&&5．论文：数学期望计算中一个值得商榷的公式。《当代高教理论研究》（2007.4）
&&&&6．教材：《经济管理数学基础》西南财经大学出版社出版（2007.5）
&&&&7．Analysis for
Insurance Risk Based on Fuzzy Comprehensive
Evaluation. 《ADVANCES IN STUDIESON RISK ANALYSIS
AND CRISIS RESPONSE》
&&&&8．多媒体技术在高校“概率论与数理统计”教学中的应用。《中国教育理论与实践杂志》(2007.2)
&&&&9．参与项目《经济、管理人才数学基础知识结构研究》获西南财经大学2005年教学成果二等奖
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